Реферат : Алгебра и алгебраические системы 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Алгебра и алгебраические системы




Алгебра и алгебраические системы

Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.

п.1. Бинарные и n-местные операции.

Пусть - непустое множество, то есть .

Определение. Бинарной операцией на множестве называется ото­бражение прямого произведения .

Другими словами: если каждой упорядоченной паре элементов мно­жества поставлен в соответствие единственный элемент из , то гово­рят, что задана бинарная операция на множестве .

Пример.

Пусть - произвольные высказывания

: - бинарная операция на множестве высказываний.

Пусть - произвольные множества

: - бинарная операция на множестве множеств.

Пусть

: - бинарная операция на множестве действительных чисел.

: - не является бинарной операцией на множестве , так как .

Если - произвольная бинарная операция на множестве и паре ставится в соответствие элемент (то есть ), то вместо записи пишут , то есть имеем . Элемент называется компози­цией элементов .

Определение. Пусть . Отображение назы­вается - местной операцией на множестве . Число - ранг опера­ции.

Определение. Нульместной операцией на множестве называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества . Число назы­вается рангом нульместной операции.

Определение. Одноместные операции называются унарными опера­циями. Другими словами: унарная операция каждому элементу из множе­ства ставит в соответствие элемент из множества , то есть унарная опе­рация – это отображение множества во множество .

Унарную операцию называют оператором.

Пример.

Пусть - множество натуральных чисел

- унарная операция

- не является унарной операцией

На множестве высказываний операция : - унарная опера­ция

На множестве подмножеств универсального множества операция до­полнения – унарная операция.

Определение. Отображение из множества называется частич­ной - местной операцией на множестве , если область определе­ния отображения не совпадает с .

Виды бинарных операций

Пусть - бинарные операции на множестве .

Операция - коммутативна на множестве .

Операция - ассоциативна на множестве .

Операция - дистрибутивна слева относительно операции .

Операция дистрибутивна справа относительно операции .

Пример.

Операция на множестве - коммутативна, ассоциативна.

Операция на множестве - коммутативна, ассоциативна.

На множестве множеств операции и дистрибутивны относи­тельно друг друга.

На множестве функций композиция функций - ассоциативная опера­ция, не является коммутативной операцией.

п.2. Понятие алгебры.

Определение. Алгебра , где , - множество опера­ций на .

Другими словами: если мы говорим об алгебре, то считаем, что за­дано множество и заданы операции.

Пример.

Пусть - множество высказываний

- алгебра логики высказываний.

Пусть - множество натуральных чисел

- алгебра натуральных чисел относительно операций и .

Определение. Алгебра называется подалгеброй алгебры , если множество ; - ограничение операции .

Определение. Алгебраическая система - это упорядоченная тройка , где , - множество операций на ; - мно­жество отношений на .

Список литературы

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/

Похожие работы:

  • Алгебраические системы замыканий

    Дипломная работа >> Математика
    ... алгебраических систем замыканий: Система S(A) подалгебр универсальной алгебры A является алгебраической системой замыканий. Обратно, если дана алгебраическая система замыканий ...
  • Алгебра октав

    Дипломная работа >> Математика
    ... алгебраической формой. Обозначим КхK=U и назовем U алгеброй октав. 1.2 Категоричность системы аксиом алгебры октав Теорема 2. Система аксиом алгебры ...
  • Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

    Контрольная работа >> Математика
    ... Вариант 6 Тема: Алгебра матриц Задание: Выполнить ... A-1: Определитель матрицы A: Алгебраические дополнения: Транспонированная матрица алгебраических дополнений (союзная матрица): ... если определитель матрицы системы ненулевой, то система из 4-х уравнении имеет ...
  • Алгебраические расширения полей

    Курсовая работа >> Математика
    ... зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1, a, ..., an, т. е. существуют в ... является алгебраическим. Теорема 2.8. Множество A всех алгебраических чисел замкнуто в кольце E = +С, +, —, •, 1, комплексных чисел. Алгебра A = +А, +, —, ...
  • Алгебра

    Реферат >> Математика
    ... развитие алгебры сильное влияние оказали разобранные Диофантом задачи, приводящие к сложным системам алгебраических уравнений ... , в том числе к системам, где число уравнений было ...
  • Многообразия алгебраических систем

    Статья >> Математика
    ... алгебраических систем Л. Н. Шеврин Алгебраической системой называется множество, на котором задан некоторый набор алгебраических операций ... , что разного рода алгебраические системы очень распространены в "математическом мире". Алгебра, являющаяся одной из ...
  • Линейные системы уравнений

    Реферат >> Математика
    ... равной . Аксиоматическое построение линейной (векторной) алгебры с рассмотренными базовыми операциями позволило установить ... уравнений. Итак, основными алгебраическими системами уравнений можно считать неоднородные системы уравнений с симметричными матрицами ...
  • Разработка формальной системы

    Реферат >> Математика
    ... 8. Тип и класс полученной алгебраической системы. Типом алгебраической системы является следующее множество { 0(0), 1(0), -1(1), +(2), *(2)} Алгебра, содержащая бинарную операцию ...
  • Линейная Алгебра. Теория групп

    Реферат >> Математика
    ... действий со степенями. Замечание В конкретных алгебраических системах алгебраическая операция чаще всего обозначается либо ... иррациональность” в знаменателе дроби (a+b)/(c+d). Из элементарной алгебры известно, что для этого достаточно ...
  • * Алгебры и их применение

    Дипломная работа >> Математика
    ... Алгебра W есть *- алгебра, если положить . () 1.3. Алгебры с единицей Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй ... Поэтому в М существует максимальная система {Нα}. Но тогда Н=Нα; в ... эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным ...