Статья : Уравнение Пуассона. Его применение для расчета полей в вакууме 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Статья >> Математика


Уравнение Пуассона. Его применение для расчета полей в вакууме




Уравнение Пуассона. Его применение для расчета полей в вакууме

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Уравнение Пуассона для ε = 1 выглядит:

(16)

Это уравнение - основа практических численных расчетов.

В задачах, решаемых аналитически, φ и ρ обычно зависят только от одной координаты. При интегрировании можно вычислять интегралы как неопределенные, не забывая выписывать +const, а затем отдельно находить эти константы. Если раccматриваются отдельные диапазоны координат, то на незаряженных границах необходимо "сшивать" потенциал: φ и - для вакуума - d φ/dx (или dφ/dr) не должны иметь разрыва. Если граница заряжена (σ), то dφ/dx испытывает скачок на величину –σ/ε0. Кроме того, если ρ и суммарный заряд конечны, то φ всюду конечен.

Другой вариант - сразу правильно писать пределы интегрирования. Для этого используется известное (или очевидное из симметрии задачи) значение поля () в одной какой-либо точке и значение потенциала в какой-либо точке (не обязательно в той же, где знаем поле). Если в задаче не оговорено иное, то следует принимать φ|∞ = 0. Так, например, для случая зависимости потенциала только от одной сферической координаты r

(17)

после переноса r2 в правую часть и двух последовательных интегрирований получаем:

=

(18)

φ(r)

=

(19)

При этом взято φ|r = ∞ = 0 и учтено то обстоятельство, что при всюду конечном ρ поле в центре равно нулю (–dφ/dr|r = 0 = 0).

Задача. Пластина ширины 2a (ее ε≈ 1) заряжена равномерно по объему (ρ(x) = ρ0); при x = 0 (центр пластины) φ = 0. Найти φ(x).

Ответ: , |x|<a; , |x|>a

Задача. Пластина ширины 2a (ее ε≈ 1) заряжена как ρ(x) = α x2; при x = 0 (центр пластины) φ = 0. Найти φ(x).

Решение: Мы работаем в декартовой системе координат, причем очевидно, что и поле, и потенциал зависят только от x. Если ρ>0 (α >0) то поле - из симметрии задачи - направлено по оси x при x>0 и против оси x при x<0. Согласно уравнению Пуассона:

=

=

0 x>a или x<–a

После первого интегрирования (интеграл берем как неопределенный)

=

=

AL, x<–a

=

AR, x>a

Неверным было бы записать одну общую константу для dφ /dx при x>a и x<–a. Второе интегрирование дает:

φ(x)

=

φ(x)

=

ALx+BL, x<–a

φ(x)

=

ARx+BR, x>a

Для нахождения шести констант у нас есть четыре условия сшивания (по два для границ x = –a и x = a). Кроме того, дано указание взять φ(0) = 0. Видно также, что Ex|x = 0 = –dφ/ dx|x = 0 = 0. Последнее очевидно из симметрии задачи. Отсюда сразу

Ac = 0, Bc = 0

Из симметрии следует также, что φ(x) = φ(–x) и что Ex(x) = –Ex(–x), вследствие чего

AR = –AL, BR = BL

Это делает достаточным рассмотрение условий сшивания только на одной из границ, например при x = a:

=

(ARx+BR)|x = a

=

AR|x = a

Сначала получаем AR (AR = –α a3/3ε0), а затем BR (BR = α a4/4ε0), после чего остается выписать ответ:

φ(x)

=

φ(x)

=

φ(x)

=

Альтернативой было бы интегрирование с выписыванием пределов сразу:

Ex(x)

=

φ

=

Такое интегрирование верно всегда, в том числе при x<0. Точки x = ± a при этом ничем не выделены, но надо помнить, что вне участка –a<x<a ρ = 0 и учитывать это при подстановке плотности заряда в выражение для интеграла. После взятия интеграла в таком виде сшивание потенциала не требуется.

Задача. Шар радиуса R заряжен как ρ(r) = ρ0(1–r/R). Найти полный заряд шара Q, поле Er(r), а также потенциал φ(r) при r = 0... +∞.

Решение: Полный заряд шара находится как

Q

=

=

При вычислении мы использовали выражение для элемента объема dV в сферических координатах (не следует смешивать фигурирующий при этом φ с обозначением потенциала). Уравнение Пуассона записывается:

=

Поcле однократного интегрирования в пределах 0... r имеем

=

=

Заметим, что - с точностью до знака - мы уже получили поле, поскольку . Для нахождения потенциала φ(r) требуется повторное интегрирование:

r>R

:

r<R

:

=

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r

Похожие работы:

  • Лекции по твердотельной электронике

    Реферат >> Радиоэлектроника
    ... нулевого уровня в вакууме) Табл. 1.1. ... электрического поля в образце устанавливается с помощью уравнения Пуассона: (1.63) Для ... обеспечило ему широкое применение в выпрямителях ... его работе в импульсном режиме 2 4.7.2. Расчет времени включения 2 4.7.3. Расчет ...
  • Реверсная магнитная фокусирующая система мощного многолучевого клистрона

    Реферат >> Радиоэлектроника
    ... поле удовлетворяет двумерному уравнению Пуассона: ... уравнения связывают значения потенциала в отдельных дискретных точках, поэтому для расчета поля ... применение при расчетах полей на ЭВМ. При расчете траектории электронов в ЭОС, широкое применение ... вакууме ...
  • Лекции по физике

    Реферат >> Физика
    ... его устройство, сколько его применение для ... 10.4. Пятно Пуассона E С помощью ... Для вакуума это лишь тождественное преобразование выражения, но в магнитном поле ... уравнения Шрёдингера. Наши оценочные расчеты никак не избавляют от необходимости решать это уравнение ...
  • Материалы и расчетные характеристики подшипников качения для условия сухого трения

    Курсовая работа >> Промышленность, производство
    ... его толщины, средний полуугол контакта определяют по формуле jо= где μ1 и μ2 — коэффициенты Пуассона для ... высоких температур, применение уплотнительных устройств для отделения коррозионной среды и т. п.). Методика расчета подшипников жидкостного ...
  • Важнейшие достижения естествознания 19 века

    Реферат >> Биология
    ... и магнитостатике С.Пуассона и Д.Грина были ... вывел систему уравнений, описывающих взаимосвязь ... и показали расчеты, оказалась около ... поле создает магнитное поле ... электрическими разрядами в вакууме опыты привели к ... гонке вооружений. Его применение для военных целей, ...
  • Концепция современного естествознания

    Реферат >> Физика
    ... Пуассон " ... полей и процесс распространения переменных электромагнитных полей в пространстве. Следствием уравнений ... для гравитационных полей, закон Кулона для электрических полей и закон Био-Савара-Лапласа для магнитных полей ... его расчеты ... в вакууме ... его применении ...
  • Моделирование работы МДП-транзистора в системе MathCad

    Курсовая работа >> Коммуникации и связь
    ... применение ... поле уменьшает поле ... и его проводимости ... уравнению Пуассона. Смещая начало координат в точку xК, уравнение Пуассона для ... для дальнейших расчетов. Такими константами являются: заряд электрона, диэлектрическая проницаемость оксида кремния, вакуума ...
  • Анализ погрешностей волоконно-оптического гироскопа

    Реферат >> Радиоэлектроника
    ... Выводы по расчету Безопасность ... на его потенциальных возможностях применения в ... по закону Пуассона (в ... фундаментальное решение скалярного волнового уравнения для поля основной моды, определяемой в ... и магнитная проницаемость вакуума. С увеличением расстояния ...
  • Исследование работ Фарадея по электричеству

    Дипломная работа >> Физика
    ... исследования: применение научных открытий ... сложной для расчетов. ... поля. Эти уравнения имеют вид: 1) 2) 3) 4) В современной интерпретации: Уравнение 1 выражает закон Гаусса. Для статистических полей ... его физическим вакуумом, ... 1855), С.М. Пуассона (1781-1840), ...
  • Состав коллекторов пласта месторождения. Типы коллекторов нефти и газа

    Учебное пособие >> Геология
    ... по применению классификации ... для восстановления его ... вакууме ... для расчета значения эффективной проницаемости для ... угловатым. Используя уравнения, связывающие параметры ... естественное поле напряжений ... поперечной деформации (коэффициент Пуассона). Eсли принять, ...