Контрольная работа : Застосування подвійних інтегралів 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Контрольная работа >> Математика


Застосування подвійних інтегралів




Застосування подвійних інтегралів

Содержание

1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах

2. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки

1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах

Нехай функція неперервна в деякій замкненій і обмеженій області , тоді існує інтеграл

.

Припустимо, що за допомогою формул

(1)

ми переходимо в інтегралі до нових змінних та . Вважатимемо, що з формул (1) однозначно можна визначити та :

. (2)

Згідно з формулами (2), кожній точці ставиться у відповідність деяка точка на координатній площині з прямокутними координатами і .

Нехай множина всіх точок утворює обмежену замкнену область . Формули (1) називаються формулами перетворення координат, а формули (2) - формулами оберненого перетворення.

Справедлива така теорема.

Теорема. Якщо перетворення (2) переводить замкнену обмежену область в замкнену обмежену область і є взаємно однозначним, і якщо функції (1) мають в області неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від нуля визначник

, (3)

а функція неперервна в області , то справедлива така формула заміни змінних

. (4)

Функціональний визначник називається визначником Якобі або якобіаном.

Таким чином, виконуючи заміну змінних в інтегралі за формулами (1), ми маємо елемент площі в координатах замінити елементом площі в координатах і стару область інтегрування замінити відповідною їй областю .

Розглянемо заміну декартових координат полярними за відомими формулами. Оскільки

.

То формула (3) набирає вигляду

(4)

де область задана в декартовій системі координат , а - відповідна їй область в полярній системі координат.

У багатьох випадках формулу (4) доцільно застосовувати тоді, коли підінтегральна функція або рівняння границі області містить суму , оскільки ця сума в полярних координатах має досить простий вигляд:

.

Якщо область (рис.1, а) обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути та і кривими та , то полярні координати області змінюються в межах , (рис.1, б). Тому формулу (4) можна записати у вигляді

(5)

Рисунок 1 - Область: а) ; б)

подвійний інтеграл полярна координата

Якщо область охоплює початок координат, тобто точка є внутрішньою точкою області , то

(6)

де - полярне рівняння межі області .

Приклади

1. Обчислити інтеграл , якщо область - паралелограм,

обмежений прямими (рис.1, а).

Розв’язання

Безпосереднє обчислення цього інтеграла надто громіздке, тому що як в напрямі осі так і в напрямі осі область потрібно спочатку розбити на три області, а потім обчислювати три подвійних інтеграли.

Виконаємо таку заміну змінних: , тоді прямі та в системі переходять в прямі та у системі (рис.1, б), а прямі та відповідно в прямі та .

Таким чином, область (паралелограм) переходить у системі в прямокутник .

Рисунок 2 - Область: а) ; б)

Далі маємо

За формулою (3)

2. У подвійному інтегралі , де - круг, обмежений колом , перейти до полярних координат з полюсом в точці , і обчислити отриманий інтеграл.

Розв’язання

Область зображена на рис.2.

Рівняння, які пов’язують і полярні координати з полюсом у точці , мають вигляд , причому видно, що кут змінюється в межах від до .

Рисунок 3 - Область

Підставивши вирази для і в рівняння кола, отримаємо , звідки або . Ці дві криві на площині при обмежують область , яка є прообразом області при відображенні. Якобіан відображення дорівнює . Підінтегральна функція у нових змінних дорівнює . За формулою (3) маємо

.

Одержаний подвійний інтеграл за областю зводимо до повторного:

і обчислюємо повторний інтеграл, застосовуючи формулу Ньютона - Лейбніца:

2. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

1. Площа плоскої фігури. Якщо в площині задана фігура, що має форму обмеженої замкненої області , то площа цієї фігури знаходиться, як відомо, за формулою:

.

2. Об'єм тіла. Об'єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі і яке обмежене знизу областю площини , а зверху - поверхнею , де функція неперервна та невід'ємна в області , знаходиться за формулою (2):

3. Площа поверхні. Якщо поверхня , задана рівнянням

(7)

проектується на площину в область (рис.3) і функції , , неперервні в цій області, то площу поверхні знаходять за формулою

(8)

Рисунок 4 - Поверхня

Виведемо цю формулу. Розіб’ємо довільним способом область на частин , які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють . У кожній частині візьмемо точку ; на поверхні їй відповідатиме точка , де . Через точку проведемо дотичну площину [3]

.

На площині виділимо ту її частину, яка проектується на площину в область . Позначимо цю частину дотичної площини через , а її площу - через . Складемо суму

. (9)

Границю суми (9), коли найбільший з діаметрів областей прямує до нуля, назвемо площею поверхні (7), тобто за означенням покладемо

. (10)

Обчислимо цю границю. Оскільки область , яка має площу , проектується в область з площею , то , де - кут між площинами та (рис.3), тому .

Але гострий кут дорівнює куту між віссю і нормаллю до дотичної площини, тобто куту між векторами та . Знайдемо за формулою (4)

.

Отже,

.

Підставляючи значення в (10), отримуємо

.

Під знаком границі маємо інтегральну суму, складену для неперервної в області функції . Ця функція інтегровна в області , тому границя у формулі (10) існує і дорівнює подвійному інтегралу (8).

3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки

1. Маса пластини. Нехай на площині маємо матеріальну пластину, яка має форму обмеженої замкненої області , в кожній точці якої густина визначається неперервною функцією . Маса такої пластини визначається за формулою (1.8):

.

2. Центр маси пластини. Статичні моменти. Нехай матеріальна пластина в площині має форму області , густина пластини в точці дорівнює , де - неперервна функція в області Розіб'ємо область на частини , виберемо в кожній з них довільну точку і наближено вважатимемо, що маса частини дорівнює , де - площа області . Коли вважати, що кожна з цих мас зосереджена в точці , то пластину можна розглядати як систему цих матеріальних точок. Тоді координати та центра маси пластини наближено визначатимуться рівностями

.

Щоб знайти точні значення координат, перейдемо в цих формулах до границі при . Тоді інтегральні суми перейдуть у подвійні інтеграли і координати центра маси пластини визначатимуться формулами

. (11)

Величини

(12)

називаються статичними моментами пластини відносно осі та .

Враховуючи формули (8), (11) і (12), координати центра мас можна записати у вигляді

.

Якщо пластина однорідна, тобто має сталу густину , то у формулах (1.8), (11) і (12) слід покласти .

3. Моменти інерції пластини. Відомо, що момент інерції матеріальної точки відносно деякої осі дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані від цієї осі, а момент інерції системи матеріальних точок відносно однієї і тієї самої осі дорівнює сумі моментів інерції всіх точок системи.

Нехай матеріальна пластина має форму області у площині , а неперервна функція визначає густину в кожній точці цієї пластини. Розіб'ємо область на частини , площі яких дорівнюють , і виберемо в кожній з цих частин довільну точку . Замінимо пластину системою матеріальних точок з масами . Якщо пластину розглядати як систему цих матеріальних точок, то моменти інерції пластини відносно осі та відносно наближено визначатимуться за формулами

.

Перейшовши до границі в кожній із сум при , отримуємо точні формули для обчислення моментів інерції розглядуваної пластини відносно координатних осей:

. (13)

Знайдемо момент інерції пластини відносно початку координат.

Враховуючи, що момент інерції матеріальної точки з масою відносно початку координат дорівнює , аналогічно отримуємо, що

. (14)

Похожие работы:

  • Невласні подвійні інтеграли

    Курсовая работа >> Математика
    ... диференціальним числення, а також застосування їх до розв'язування практичних ... властивостей, методів обчислення невласних подвійних інтегралів. Відповідно до мети ... снування, методи, способи обчислення невласних подвійних інтегралів і розглянули деякі приклади. ...
  • Електронний уряд

    Дипломная работа >> Иностранный язык
    ... не можна) повинна бути частиною інтегрованої інформаційної системи. Ця ... зумовлює неможливість корпоративних домовленостей, застосування подвійних стандартів та інших мані ... суспільства. Це явище інтегрує ефекти попередніх революційних винаходів в інформаці ...
  • Потрійний інтеграл

    Контрольная работа >> Математика
    ... і звичайного визначеного інтеграла та подвійного інтеграла. Нехай функція визначена ... вона в цій області інтегрована. Властивості потрійних інтегралів. 1. Сталий множник можна винести ... 4. Деякі застосування потрійного інтеграла інтеграл потрійний обчислення ...
  • Інформаційні системи в маркетингу

    Учебное пособие >> Маркетинг
    ... на меті: створення умов застосування інформаційних технологій автоматизованої ідентифікац ... операції і т. ін.). Система MIRACLE (МІРАКЛ) — інтегрована система бухгалтерського обліку, фінансового ... , переміщувати. Після подвійного натискання курсором миші на ...
  • Редагування спецдокументації

    Учебное пособие >> Журналистика
    ... і типові часто повторювані помилки. Інтегрована лексикографічна система. „Словники Укра ... а відразу цілі слова. Особливість застосування автокореляційних методів полягає в тому, що для ... продемонструвати авторові можливість подвійного розуміння фрагмента тексту ...
  • Використання можливостей системи Wolfram Mathematica при вивчені математичного аналізу

    Курсовая работа >> Математика
    ... декількох подвійних визначених інтегралів. Хоча обчислення подвійного інтеграла передбачено в синтаксис ... опції та директиви. Їх застосування дозволяє будувати велику кількість ... і Normal. Нижче показані приклади застосування цих функцій. Рис. 2.6.3. Приклади ...
  • Глобальні інформаційні мережі

    Учебное пособие >> Информатика, программирование
    ... еквівалент. Технологію шаблонів із застосуванням різноманітних змінних в Outlook ... Передбачаються дві версії IE7 інтегрована в Windows Vista автономна для Windows ... Іноді значення повинні знаходитися в лапках (подвійних або одинарних). Правила запису значення ...
  • Місце України в глобалізаційних процесах

    Реферат >> Экономика
    ... принципову можливість розробки інтегрованої парадигми глоба­лістики в ... відтворення в його традиційних вартісній і натурально-фі ... обсяг на­укової діяльності подвоюється приблизно кожні 10 ... вищою фор­мою їх функціонального застосування. Міжнародну валютну систему ...
  • Он-лайн-технології в підготовці вчителя з загально-технічних дисциплін

    Курсовая работа >> Информатика, программирование
    ... Поняття інформаційних ресурсів 6 1.1. Необхідність застосування інформаційних ресурсів мережі ... інформаційне наповнення мережі, подвоюється кожні 50-60 діб. ... екон. Наук, проф. . М.Я. Швеца. – К., "Інтеграл", 2002 р. – 220арк. Великий тлумачний словник ...
  • Основи внутрішньо-фірмового управління нововведеннями: стратегія і структура

    Статья >> Менеджмент
    ... трудність досягнення синергичного ефекту від застосування результатів НДВКР в різних ... нововведень. Прикладом багатоланкової й інтегрованої організації керування нововведеннями ... оплати. Використання принципів "подвійних сходів дозволяє забезпечити службовий ...