Статья : Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Статья >> Математика


Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях




Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях.

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Для решения задач применяется выражение

=

qinside

представляющее собой комбинацию уравнения Максвелла с теоремой Гаусса: - собственно теорема Гаусса, - уравнение Максвелла ().

Eсли - некоторый вектор, то - поток вектора через поверхность. В частности, в вышеприведенном выражении стоит поток вектора . Векторный элемент площади . Орт нормали зависит от геометрии задачи:

=

Задача. Заряд q расположен в точке (0, 0, l). Найти поток вектора через круг радиуса R c центром в начале координат, лежащий в плоскости xy.

Решение: В плоскости xy зарядом создается поле

При вычислении потока нам потребуется величина , где - вектор нормали к кругу, который во всех точках ориентирован одинаково, а именно по или . Примем для определенности

Тогда, поскольку , а , имеем:

В последнем выражении сделан переход к полярным координатам: r - это расстояние от начала координат в плоскости xy. Теперь можно производить интегрирование по площади круга:

Φ

=

=

=

Задача. Вычислить поток вектора через сферу радиуса R.

Ответ: Φ = 4π Ra

Теорема Гаусса верна всегда (это математический закон), но помогает только в симметричных случаях, когда очевидна геометрия поля. В декартовом случае заряд должен изменяться только вдоль одной координаты (например x), в цилиндрическом - только в зависимости от удаления от оси цилиндра r, а в сферическом тоже только от r, но r - удаление от центра шара. Тогда при правильном выборе гауссовой поверхности поток вычисляется очень просто, так как параллелен вектору на части поверхности и ортогонален ему на другой её части.

Выбор гауссовой поверхности при расчете поля в точке x (или r):

- плоскостная геометрия: цилиндрическая поверхность любой формы сечения yz и любой его площади (S), занимающая область (–∞... x) вдоль оси x;

- сферическая геометрия: сфера радиуса r

- цилиндрическая геометрия: цилиндрическая поверхность круглого сечения радиуса r, имеющая произвольную длину L вдоль оси z.

=

Dr(r)· 4π r2 – сферическая геометрия

Dr(r)· 2π r L – цилиндрическая

Dx(x) · S – Dx(–∞)· S – плоская геометрия

Dx(–∞)≠ 0 только в некорректных задачах. При этом Dx (–∞) = –qinside(x = +∞)/2S.

Как записать qinside для разных геометрий? Если мы различаем между зарядами ρ, σ, λ, q (то есть не пытаемся всё свести к ρ, приписывая ему и бесконечные значения), то

qinside

=

qc - точечный заряд в центре, σi - заряды концентрических сфер радиусов Ri (таких сфер может быть произвольное количество), а интегрирует объемный заряд. Аналогично в другой геометрии: λa - заряженная нить по оси цилиндра z, σi - заряды цилиндров радиусов Ri.

Задача. Пластина ширины 2a (ее ε≈ 1) заряжена как ρ(x) = α x2; при x = 0 (центр пластины) φ = 0. Найти φ(x), применяя теорему Гаусса.

Решение: Начать следует с нахождения поля как функции координаты Ex(x). Берем гауссову поверхность в виде цилиндрической поверхности, занимающей область (–∞... x) вдоль оси x и имеющей площадь сечения S в плоскости yz.

Поскольку

мы имеем выражение теоремы Гаусса в виде

=

В зависимости от того, в какой диапазон попадает x (x<–a, –a<x<a, x>a), левая часть дает

=

=

=

0, x<–a

Подставляя qinside в теорему Гаусса, с учетом Dx = ε0Ex получаем поле:

Теперь можно найти φ c учетом условия φ|x = 0 = 0, применяя формулу

в которой x может быть как больше, так и меньше нуля. Соответственно, для каждого из трех отрезков, на которых найдено Ex, получаем:

φ(x)

=

=

=

Как видим, в итоге получается тот же результат, который был ранее получен путем решения уравнения Пуассона.

Задача. Имеются две концентрические заряженные сферы (σ1, R1 и σ2, R2). Найти Er(r) и φ(r).

Решение: По теореме Гаусса,

qinside = 4π r2 Dr(r) = 4π ε0 r2 Er

причем

qinside

=

0 при r<R1

4πσ1R12 при R1<r<R2

4πσ1R12+4πσ2R22 при r>R2

Cоответственно, поле на каждом из участков будет

Er

=

0 при r<R1

При вычислении потенциала мы должны вычислить интеграл . При этом необходимо правильно выписывать Er на каждoм участке:

φ(r)

=

=

φ(r)

=

=

φ(r)

=

=

В этих выражениях для φ(r) возможны очевидные алгебраические упрощения, но мы оставим их в таком виде, поскольку в дальнейших задачах они нам потребуются именно такими.

Задача. Имеется равномерно заряженный по объему (ρ0) бесконечно длинный цилиндр круглого сечения радиуса R. Найти поле Er(r) и потенциал φ(r); при вычислении потенциала положить φ|r = 0 = 0.

Решение: В цилиндрической системе координат при наличии только объемного заряда имеем:

=

Dr(r)· 2π r L = qinside

qinside

=

Здесь L - произвольно выбранная длина вдоль оси цилиндра, которая далее сокращается. При вычислении qinside необходимо раздельно рассматривать случаи r<R и r>R:

qinside

=

После этого, так как Dr = ε0Er, получаем поле:

Er(r)

=

Er(r)

=

Потенциал находится интегрированием Er с оговоренным в задаче условием φ|r = 0 = 0:

φ(r)

=

φ(r)

=

=

Из вида получившегося φ(r) ясно, что на бесконечности потенциал оказывается бесконечным. Это следствие некорректности ситуации: описанный в задаче цилиндр имеет бесконечную длину и несет бесконечный суммарный заряд, чего на практике быть не может. Чтобы избежать проблем, возникающих при естественном условии φ|r = ∞ = 0, искусственно задано φ|r = 0 = 0.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r

Похожие работы:

  • Метод изображений в электростатике

    Статья >> Математика
    ... применение метода изображений - определение полей проводящих поверхностей ... потокполя через поверхность прямоугольного параллелепипеда. Потоки через боковые грани поверхности равны нулю, так как ... по теореме Гаусса имеем = 0, так как свободных зарядов ...
  • Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

    Реферат >> Авиация и космонавтика
    ... только площадь этой поверхности. Потоком скорости через поверхность с заданным вектором нормали называется поверхностный ... теореме Остроградского-Гаусса (1.10). Откуда в силу уравнения (1.11): (1.12) Вектор ¹ 0 тоже можно рассматривать, как поле вектора ...
  • Введение в физику черных дыр

    Реферат >> Наука и техника
    ... симметричный ... расчеты в подобном случае ... означает вектор А ... поток электрического поля через ее поверхность оказывается равным 4piQ в полном соответствии с теоремой Гаусса. Силовые линии электрического поля ... как теория еще далеко не завершена, а применение ... методами ...
  • Физика (Шпаргалка)

    Реферат >> Физика
    ... . поля вычисляют с помощью теор. Гаусса. Теор. Гаусса позволяет легко вычислять Е и D при симметричных расположениях заряда. Поток вектора ... применен. Теор. Гаусса надо построить замен. поверх. Нухно выбрать цилиндрич поверхн. Найдем поток вектора эл ...
  • Лекции по Физической оптике

    Реферат >> Физика
    ... магнитного поля;я2D - электростатическое смещение;я2B - магнитная индукция;я2P = - вектор Пойнтинга,плотность потока ... и их применение. я_я21.я.К методам возбуждения электронной подсистемы полупровод-я2ника относятся инжекция через p-n переход ...
  • Исследование работ Фарадея по электричеству

    Дипломная работа >> Физика
    ... химической реакции. В последнем случае такой процесс осуществляется, как правило, в виде последовательности элементарных ... собой закон Гаусса для магнитного поля. Он утверждает, что поток магнитного поля через замкнутую поверхность равен ...
  • Технология цифровой связи

    Учебное пособие >> Коммуникации и связь
    ... методам цифровой модуляции, методам синхронизации, методам и устройствам помехоустойчивого кодирования, принципам применение ... поверхностью земли) и земной поверхности ... симметричный канал. Двоичный симметричный ... теоремой ... как и в предыдущем случае, вектор ... расчетов ...
  • Проектирование устройства передачи данных по радиоканалу

    Дипломная работа >> Коммуникации и связь
    ... векторов сигнала) более двух. В этом случае ... методам модуляции, т.е. спектр модулированного сигнала располагается симметрично ... Применение фильтра Гаусса ... теореме ... Расчет ... через человека, имеющего контакт с землёй (например, через пол ... как высота рабочих поверхностей ...