Реферат : Числові характеристики системи випадкових величин та їх граничні теореми 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Числові характеристики системи випадкових величин та їх граничні теореми




Числові характеристики системи випадкових величин та їх граничні теореми

1. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції

Кореляційним моментом (коваріацією) випадкових величин і називається математичне сподівання добутку відповідних ним центрованих величин:

. (1)

Властивості коваріації:

1.

2.

3.

Перші дві з них очевидні, остання доводиться також легко:

Коефіцієнтом кореляції називається кореляційний момент нормованої випадкової величини:

Теорема. Для будь-яких випадкових величин , коефіцієнт кореляції причому знак рівності можливий тоді і тільки тоді, коли і з імовірністю 1 пов'язані лінійно.

Доведення. Обчислимо дисперсію лінійної комбінації випадкових величин і з довільним коефіцієнтом та врахуємо, що з властивостей дисперсії вона є невід'ємною.

При цьому отримаємо невід’ємну квадратичну форму відносно змінної з невід’ємним коефіцієнтом при .

Це можливо лише за умови, що її дискримінант . З урахуванням визначення (1) цю нерівність можна переписати у вигляді:

або

або мовою середніх квадратичних відхилень випадкових величин

.

Тобто

Доведемо тепер другу частину теореми: тоді і тільки тоді, коли і з імовірністю 1 пов'язані лінійно.

Необхідність:

Достатність:

, , ,

, .

Випадкові величини , називаються некорельованими, якщо їх коваріація дорівнює нулю. Якщо випадкові величини , незалежні, то вони некорельовані.

.

Зворотне твердження, взагалі кажучи, не має місця.

Наприклад,

.

.

Для опису зв'язків, що існують між проекціями випадкового вектора (,), крім коваріації можна використовувати числові характеристики умовних законів розподілу , .

Умовним середнім значенням і умовною дисперсією випадкової величини за умови =y називаються величини:

,

.

Аналогічно визначаються характеристики і .

Для опису випадкового вектора також вводять початкові і центральні моменти:

, .

2. Комплексна випадкова величина, характеристичні функції

Комплексна випадкова величина, що вводиться за формулою , є іншим способом опису випадкового вектора (,).

Випадкові величини і називаються незалежними, якщо незалежними є випадкові вектори (,) і (,).

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Характеристичною функцією випадкової величини називається середнє значення виразу .

.

Функцію називають також характеристичною функцією відповідного закону розподілу:

(2)

Як видно з (2), характеристична функція є перетворенням Фур'є відповідної їй щільності імовірності:

Властивість 1. При додаванні незалежних випадкових величин їхні характеристичні функції перемножуються.

Властивість 2. Розкладання характеристичної функції в ряд за ступенями дозволяє знайти всі моменти , , ,…випадкової величини .

3. Види збіжності випадкових величин

Послідовність випадкових величин 1, 2…називається такою, що збігається з випадковою величиною в розумінні середнього квадратичного, якщо границя математичного сподівання квадрата абсолютного значення відхилення від прямує до нуля за умови, що , тобто

.

Величина називається ще СК границею послідовності {n}.

чи .

Оскільки

,

СК збіжність рівносильна виконанню умов:

.

Послідовність випадкових величин збігається з випадковою величиною при за імовірністю, якщо для кожного будь-якого >0

,

.

Збіжність послідовності до випадкової величини за ймовірністю символічно позначається таким чином:

.

Для будь-якої випадкової величини при будь-якому >0

.

.

Наслідок.

Зі збіжності у СК випливає збіжність за ймовірністю.

4. Граничні теореми теорії ймовірностей

Нерівність Чебишева.

.

(3)

Як випливає з нерівностей (3) зі зменшенням дисперсії , основна частина площі під кривої f(x) виявляється зосередженою в околі точки .

Рисунок 1

Внаслідок своєї загальності нерівність Чебишева дає дуже грубу оцінку ймовірності, що входить до неї.

Наприклад, .

, якщо .

Вважають, що послідовність функцій розподілу , , ,...., ,... збігається до функції розподілу , якщо

в усіх точках неперервності.

Якщо , то .

Практичне використання теорії ймовірностей засновано на такому принципі: випадкову подію, ймовірність якої досить близька до 1, можна вважати достовірною та неможливою при дуже малій ймовірності.

Теореми, що забезпечують виконання такої схеми обробки даних, називаються законами великих чисел.

Теорема Чебишева

Нехай 1, 2…–послідовність попарно незалежних випадкових величин, дисперсії яких обмежені

, k=1,2 …

Тоді при будь-якому 0

.

Теорема Бернуллі.

Нехай n – число появ деякої події А в серії з n незалежних іспитів, р – ймовірність появи А в окремому іспиті.

Тоді

тобто для кожного >0

Застосовуючи теорему Чебишева, одержимо формулу, що очікуємо при необмеженій кількості випробувань.

р.

Збіг теоретичних розрахунків із закономірностями, що фактично спостерігаються, свідчить про правильну схему побудови теорії ймовірностей. збіжність випадковий величина ймовірність

Центральна гранична теорема.

Нехай 1,2,…послідовність незалежних випадкових величин, що мають дисперсію D1,D2,…Dn…Треті абсолютні центральні моменти їх обмежені mk=M|k-Mk|3C.

Тоді випадкова величина

розподілена асимптотично нормально із середнім і , тобто

Р(<Sn<)Ф()-Ф()

при n.

Теорема Муавра-Лапласса (окремий випадок).

Нехай n – число появ деякої події А у серії з n незалежних випробувань, р – ймовірність появи події А в окремому випробуванні. Тоді

Теорема дозволяє при досить великих n одержати ймовірність:

Приклад 1. Обчислити ймовірність Р(715<n<725) того, що кількість появ герба в 1500 киданнях буде в межах від 715 до 725.

Похожие работы:

  • Системи випадкових величин

    Реферат >> Математика
    ... компонент системи двох випадкових величин . Події , ,..., є несумісними, тому за теоремою додавання ... ) 2. Характеристики системи двох випадкових величин Система двох випадкових величин з достатньою точністю може характеризуватися початковими та центральними ...
  • Система факсимильной связи (Система факсимільного звязку)

    Реферат >> Радиоэлектроника
    ... розмір ніж гранична величина ділянки , ... число переданих градацій. Число ... тлооптична система Світлооптична система ... випадкову форму і природу. На основі поняття ентропії введено характеристики сигналів та ... снує 2 фундаментальні теореми: 1. Для каналу ...
  • Основи теорії експлуатації і надійності електронної побутової апаратури

    Реферат >> Коммуникации и связь
    ... припустимого. Ознаки граничного стану встановлюються ... теореми додавання та множення формулюється теорема повно ... доводиться визначати числові характеристики випадкової величини за обмеженим ... типи: системи з відмовами та системи з очікуванням. У системах з ві ...
  • Математична обробка результатів вимірів

    Учебное пособие >> Математика
    ... РОЗДІЛ 3. СИСТЕМИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН. ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ 1. Поняття та закон розподілу системи випадкових величин До цього ... нормальний закон розподілу. 3. Числові характеристики системи двох випадкових величин. Кореляційний момент, коефіціє ...
  • Математична статистика

    Реферат >> Математика
    ... ) Нехай - система нормальних випадкових величин з одинаковими математичними сподіваннями та середньоквадратичними відхиленнями ... характеристик дискретних розподілів Нехай X дискретна випадкова величина із розподілом .(1.2) Множина значень випадкової величини ...
  • Критерій відношення правдоподібності для великих вибірок

    Курсовая работа >> Математика
    ... характеристик( математичного сподівання, дисперсії та ін.), залежностей між випадковими величинами ... ї гіпотези. Теорема. Нехай потрібно ... чином, матриця граничних значень коефіціє ... генерує випадкові числа. 4. Опис програми ... під операційною системою – Windows XP ...
  • Динамічні процеси та теорія хаосу

    Курсовая работа >> Физика
    ... та. Ця орбіта показана на мал. 1.1. Величинах ... снують унаслідок теореми Колмогорова—арнольда—мозера ... стрижня з нелінійною граничною умовою. 3.2 Тривимірн ... володіти і така характеристика системи, яка, взагалі ... ї невипадкової межі. Випадковими є числа, оскільки вони ...
  • Статистичне моделювання сітьового графіка побудови судна

    Курсовая работа >> Информатика, программирование
    ... характеристиками в обмежені строки та ... ї системисистема нормування ... граничної теореми Ляпунова припускаються наближено нормальними випадковими величинами ... випадкової величини Х. Його суть полягає в наступних діях: спочатку генерується випадкове число ...
  • Дисертація: вимоги до написання та захист

    Учебное пособие >> Педагогика
    ... нформації щодо характеристик системи, ніж натурний ... бути гранично економним, ... доведення результату (теореми, формули, закону) ... ілюстрацій випадкових, пов'язаних ... умовних зображень величин та їх сп ... числові сітки; числові дані, що доповнюють або уточнюють величину ...
  • Модель дослідження стійкості та якості перехідних процесів слідкувальної системи

    Курсовая работа >> Информатика, программирование
    ... систематичної і випадкової помилок. ... обуреннях. Теорема Ляпунова ... комплексною величиною, визначуваною ... граничне ... системи більше нуля число переходів фазової характеристики ... та якості перехідних процесів слідкувальної системи». І Призначення системисистема ...