Лабораторная работа : Методы интегрирования 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Лабораторная работа >> Математика


Методы интегрирования




Методы интегрирования

Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

Калмыцкий Государственный Университет



Лабораторный практикум для студентов

факультета математики и физики

Методы интегрирования



Элиста 2006

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1



Первообразная. Неопределенный интеграл



Опр1. Пусть функция определена на некотором конечном или бесконечном промежутке числовой оси R. Функция , определенная на этом промежутке, называется первообразной функцией (или просто первообразной) функции на , если

функция непрерывна на ;

во всех внутренних токах x промежутка функция имеет производную и ;

Пример1. Пусть . Тогда функция , является первообразной для так как:

функция определена на области определения функции (т.е. на R);

==.

Заметим, что функции вида , и им подобные также являются первообразными для функции , т. к.

Функции , непрерывны на R (области определения функции);

; .

Таким образом, если - первообразная функции на промежутке , то для любой постоянной функция тоже является первообразной функции на .

Опр 2. Совокупность всех первообразных функции , определенной на некотором промежутке , называется неопределенным интегралом функции на этом промежутке и обозначается . Символ называется знаком интеграла, - подынтегральной функцией.

Если какая-либо первообразная функции на , то пишут .

Основные свойства неопределенного интеграла:

Пусть функция непрерывна на промежутке и дифференцируема в его внутренних точках, тогда или, что тоже самое .

Пусть функция имеет первообразную на промежутке, тогда для любой внутренней точки промежутка имеет место равенство или, что то же .

Если функции и имеют первообразные на , то и функция также имеет первообразную на , причем .

Обобщение:.

Если функция имеет первообразную на промежутке и – число, то функция также имеет на первообразную, причем при справедливо равенство



Таблица основных интегралов







Таблица дифференциалов:







Вообще







Этой таблицей можно пользоваться.

Так, например, выражение мы будем представлять в виде или выражения в виде и говорить, что подводим функцию или , соответственно, под знак дифференциала.

Замечание: .

Интегралы, получающиеся из табличных «линейным сдвигом» аргумента (т.е. интегралы вида , , ,…) будем называть почти табличными интегралами.

Пример2.







Варианты



Вычислить интегралы:

В-1







В-2















Вопросы к лабораторной работе №1



Дайте определение первообразной функции или интеграла от заданной функции в заданном промежутке.

Какова общая формула записи всех первообразных от заданной функции ?

Что называется неопределенным интегралом от ; как он обозначается? Что такое подынтегральное выражение и подынтегральная функция?

Сформулируйте свойства неопределенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения.

В чем разница между выражениями: и ?

Рассмотрите таблицу основных интегралов. Покажите, как каждая из ее формул получается из соответствующей формулы для производной.

Докажите, что , где - постоянная, не равная нулю.

Чему равен неопределенный интеграл от суммы дифференциалов?

Чему равен интеграл , если известно, что ?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2



Методы интегрирования (Замена переменной. Интегрирование по частям)



Замена переменной

Пусть функции и определены соответственно на промежутках

и ; функция непрерывна на промежутке и дифференцируема в его внутренних точках. Тогда, если функция имеет первообразную на и, следовательно, то функция имеет на первообразную и поэтому

Замечание: то есть, полагаем ;

Пример 1: Вычислить . Делаем замену .

Тогда .

Пример 2: Вычислить Делаем замену ,

Тогда

Интегрирование по частям.

Если функции и непрерывны на некотором промежутке, дифференцируемы в его внутренних точках и на этом промежутке существует интеграл , то на нем существует и интеграл причем

Пример 3



Вычислить Полагаем Тогда

Обычно в интегралах вида

в качестве u берется , где - многочлен степени

В интегралах вида



в качестве берутся , -многочлен степени

3) Интегралы вида







В интегралы указанного вида входит выражение , которое называют квадратным трехчленом.

Всякий квадратный трехчлен, у которого коэффициент при х в первой степени равен нулю, называется каноническим.

Он имеет вид .

Покажем на примерах, как квадратный трехчлен приводится к каноническому виду.

Пусть дан трехчлен . Дополняем его до полного квадрата. Чтобы избежать дробных слагаемых, поступаем так:







Тогда



Варианты



Вычислить интегралы:













Вопросы к лабораторной работе №2



На каком свойстве дифференциала основан метод замены переменной или подстановки?

При каких условиях этот метод применим?

Покажите, что правило интегрирования по частям есть следствие правила дифференцирования произведения функций.

Назовите классы интегралов, которые можно вычислить интегрированием по частям.

Как вычисляются интегралы вида , , , где - многочлен целой степени относительно х?

В чем особенности вычисления интегралов:



, ?



Выведите рекуррентную формулу для вычисления интеграла



ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3



Интегрирование рациональных выражений



Метод неопределенных коэффициентов

Так как из неправильной рациональной дроби можно выделить целую часть, интегрирование которой не представляет трудностей, то достаточно заняться интегрированием правильных дробей (у которых степень числителя ниже степени знаменателя).

Остановимся на так называемых простых дробях. Это дроби следующих четырех типов:





где = 2,3,4,…..;

-вещественные числа.

Рассмотрим интегралы от данных дробей I-IV:









Для интегрирования дробей вида III,IV в трехчлене выделим полный квадрат:





Делаем подстановку:



и



В случае III имеем:

Если



, то





.

Если

, то



В случае IV будем иметь:







Первый интеграл вычисляется с помощью подстановки: ,

,



а второй интеграл вычисляется с помощь рекуррентной формулы. Пусть



, где =2,3,4…



Проинтегрируем интеграл по частям, положив



,



А затем, добавив и вычтя в числителе получившиеся под знаком интеграла функции и произведя деление так, как это указано ниже, получим

,



то есть





,



m=2,3,4….(*)

Интервал легко вычисляется. Формула (*) позволяет вычислить ; зная же , по этой же формуле можно найти значение и , продолжая процесс дальше, можно найти и выражение для любого интеграла .







Пример1







Пусть и - многочлены с действительными коэффициентами.

Метод неопределенных коэффициентов состоит в следующем: для данной дроби пишется разложение:







в котором коэффициенты считаются неизвестными ( ; ;). После этого равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты. При этом, если степень многочлена равна , то, вообще говоря, в числителе правой части равенства (**) после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени , т.е. многочлен с коэффициентами; число же неизвестных так же равняется : . Таким образом, мы получаем систему уравнений с неизвестными.







раскроем скобки, располагаем степени по убывающей, получаем:





Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :







Решаем полученную систему, находим неизвестные коэффициенты:





Варианты



Вычислить интегралы:













Вопросы к лабораторной работе №3



Приведите примеры интегралов, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции.

В чем заключается характерная особенность класса рациональных функций?

Перечислить четыре типа простых дробей.

Покажите, как вычисляется интеграл вида

Покажите подробно, как вычисляется интеграл вида и какую при этом выгодно применить подстановку.

Покажите подробно, как вычисляется интеграл вида и какие подстановки следует при этом применять.

В чем состоит применение метода неопределенных коэффициентов к разложению правильной дроби в сумму простых?

8) С помощью каких функций выражается в конечном виде интеграл

от любой рациональной функции?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4



Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского



Метод Остроградского позволяет чисто алгебраическим путем выделить рациональную часть интеграла.

Пусть имеем правильную дробь , которую будем предполагать несократимой, и пусть знаменатель ее Q разложен на простые множители



(*)



Тогда интеграл от этой дроби представится в виде суммы интегралов от дробей вида:



(1)



или



(2)

Если (или ) больше единицы, то интегралы всех дробей группы (1) или (2) , кроме первой, преобразуются по формуле







или



Объединяя все результаты, окончательно придем к формуле вида



(3)



Рациональная часть интеграла , получена от сложения выделенных выше рациональных частей; следовательно, прежде всего она является правильной дробью, а ее знаменатель имеет разложение







Что касается дроби , оставшейся под знаком интеграла, то она получилась от сложение дробей вида I и II (Л. Р.№2), так что она тоже правильная и . Очевидно , Q= (см.(*)).

(3)называется формулой Остроградского. Дифференцируя, можно представить ее в равносильной форме

(4)



Так как производная содержит все простые множители, на которые разлагается, то является наибольшим общим делителем и , так что может быть определено по этим многочленам (последовательным делением). Тогда определяется простым делением на . Обратимся к определению числителей и в формуле (4).

Для этого используем метод неопределенных коэффициентов.

Перепишем (4) в виде:



(5)



Покажем теперь, что первую дробь всегда можно привести к знаменателю , сохранив целым числитель. Именно,



, (6)



где означает частное . Освобождаясь от общего знаменателя , придем к тождеству двух многочленов (сравни (5) и (6)).

Пример.

Имеем





.



Откуда





Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях , получим:





Таким образом,



=-



Варианты



Вычислить интегралы:

В-1











Вопрос к лабораторной работе №4



1. В чем заключается метод Остроградского и когда им пользуются?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5



Интегрирование тригонометрических функций



Дифференциалы вида



, (I)



где - рациональная функция от двух переменных, могут быть приведены к более простому виду с помощью подстановки



.(*)



При этом используется формулы из тригонометрии:



; ;



Тогда:

; ; (**)



Подстановка (*) называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример1. Вычислить интеграл

Решение: Сделаем подстановку , пользуясь (**), получим

=



В некоторых случаях можно использовать более простые подстановки. Рассмотрим эти случаи.

Замечание 1: Если целая или дробная рациональная функция не меняет своего значения при изменении знака у одного из аргументов, например, т. е. , то она может быть приведена к виду , содержащему лишь четные степени .

Если же, наоборот, при изменении знака функция так же меняет знак, т.е. , то она проводится к виду .

Рассмотрим три случая:

1. Пусть теперь меняет знак при изменении знака , тогда

и рационализация достигается подстановкой .

2. Аналогично, если меняет знак при изменении знака , то

,



так что здесь целесообразна подстановка .

3. Предположим, наконец, что функция не меняет своего значения при одновременном изменении знаков и : . В этом случае, заменяя на будем иметь: . По свойству функции R , если изменить знаки и (отношение при этом изменяется):

а тогда, как мы знаем .

Поэтому





=



Поэтому здесь используется подстановка .

Замечание 2. Каково бы ни было рациональное выражение , его можно представить в виде суммы трех выражений рассмотренных типов:







Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака , второе меняет знак при изменении , а третье сохраняет значение при одновременном изменении знаков и . Разбив на соответствующие слагаемые, можно к первому из них применить подстановку , ко второму - подстановку и, наконец, к третьему - подстановку . Таким образом, для вычисления достаточно этих трех подстановок.

Пример 2. Вычислить интеграл:

Решение: =

Если в выражение подставим в место , то дробь изменит знак на противоположный, поэтому здесь выгодна подстановка .









Пример 3. Вычислить интеграл

Решение: в этом случае можно сделать замену .

=

Интегралы от квадратов и других четных степеней и находят, применяя формулы понижение степени:

.

Задача. Интегрируя по частям, вывести формулы понижения степени:





Варианты



Вычислить интегралы:

В-1









Вопросы к лабораторной работе №5



1) Назовите универсальную подстановку, с помощью которой всегда достигается рационализация дифференциала вида (1) , и покажите, как ею пользоваться.

2) В каких условиях рационализация дифференциала (1) достигается подстановкой ? Приведите доказательство.

3) В каких случаях рационализация дифференциала (1) достигается подстановкой ? Приведите доказательство.

4) В каких случаях рационализация дифференциала (1) достигается подстановкой



?



5) Что такое «интегральный логарифм», «интегральный синус» и «интегральный косинус»?

6) Выведите рекуррентные формулы для вычисления интегралов вида .

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6



Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы

Интегрирование выражений вида







Рассмотрим интеграл вида



, (1)



где означает рациональную функцию от двух аргументов, - натуральное число, постоянные, причем . Полагаем



;.



Интеграл (I) примет вид: здесь дифференциал имеет уже рациональный вид, так как - рациональные функции.

Вычислив этот интеграл как интеграл от рациональной функции, вернемся к старой переменной, подставив .

К интегралу вида (I) сводятся и более общие интегралы





где все показатели – рациональны; стоит лишь привести эти показатели к общему знаменателю , чтобы под знаком интеграла получить рациональную функцию от и от радикала .



Пример 1.







Здесь дробно-линейная функция сводится к линейной функции:







Разложим данную дробь на простейшие







Приведем к общему знаменателю правую часть равенства и приравняем числители, получим:





Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях, получим систему уравнений: . Решив систему, получим .







Интегрирование биноминальных дифференциалов



Биноминальными называются дифференциалы вида



, (2)



где –любые постоянные, а показатели - рациональные числа.

Если - число целое, то мы получим выражение, изученное в I. Именно, если через обозначить наименьшее общее кратное знаменателей , то будем иметь выражение вида для рационализации которого достаточна подстановка .

Пусть - целое. Преобразуем теперь данное выражение подстановкой . Тогда и положив для краткости будем иметь



(3)



Если – целое число, то снова приходим к выражению изученного типа (2). Если обозначить через знаменатель дроби , то выражение будет иметь вид Рационализации подынтегрального выражения можно достигнуть сразу подстановкой:







Пусть- целое.

Перепишем второй из интегралов (3) так: При – целом снова имеем случай (2). Преобразованное выражение имеет вид: Подынтегральное выражение рационализируется сразу подстановкой .

Оба интеграла (3) выражаются в конечном виде, если оказывается целым одно из чисел: ; или одно из чисел ,

Пример 3. , где .

т. к. , то имеем 2-й случай интегрируемости.

Заметив, что , положим







Пример 4., где - третий случай интегрируемости, т. к. Заметив, что положим







III. Интегрирование выражений вида . Подстановки Эйлера.

Рассмотрим интеграл



(*)



где квадратный трехчлен не имеет равных корней.

Пусть >0. Тогда полагают . Возводя это равенство в квадрат, найдем отсюда:







Если полученные выражения подставить в (*) , то вопрос сведется к интегрированию рациональных функции от . В результате, возвращаясь к , нужно будет положить .

Пусть >0. В этом случае можно положить . Положим







Пусть имеем различные вещественные корни l и m .Тогда этот трехчлен разлагается на линейные множители Положим



Если подставить сюда , то получим







Применим 2-ую подстановку



; ;





=



Подставив получим



Варианты



Вычислить интегралы:







ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7



Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов



Опр. 1. Разбиением отрезка называется множество точек , таких что , внутри каждой части возьмем произвольную точку , набор точек называется разбиением с отмеченными точками

Обозначим

Опр. 2. Если функция определена на отрезке , а - разбиение с отмеченными точками этого отрезка, то сумма

Называется интегральной суммой функции , соответствующей разбиению с отмеченными точками отрезка .

Опр. 3. Число называется пределом интегральной суммы при , если для любого найдется число такое, что для любого разбиения с отмеченными точками отрезка , параметр которого имеет место соотношение

для любого набора

То этот предел называют определенным интегралом от функции по сегменту и обозначают

Опр. 4. Функция называется интегрируемой по Риману на отрезке, если существует предел вида II, причем функция называется подынтегральной функцией, число - нижний предел интегрирования, число - верхний предел интегрирования. Множество интегрируемых на функций будем обозначать

Пример 1. Вычислить исходя из определения интеграла .

Решение: по определению при ,.

Разобьем отрезок [0,1] на n равных частей точками деления Длина каждого частичного отрезка причем

В качестве точек возьмем правые концы частичных отрезков

Составим интегральную сумму

Предел этой интегральной суммы при равен

Следовательно,

Свойства определенного интеграла:

I. Теорема I: Если и – интегрируемые на отрезке функции, то их линейная комбинация интегрируема на данном отрезке, причем

, интегрируема на

Если < < и то , и имеет место равенство < <

Сформулируйте остальные свойства определенного интеграла.

Теорема Ньютона-Лейбница.

Если -ограниченная, с конечным множеством точек разрыва функция, то где -любая из первообразных функций на отрезке [a,b].

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение: функция определена на R.







Замечание: Вычисляя интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница, следует обратить внимание на условия законности ее применения.

Эта формула применяется для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке функции лишь тогда, когда равенство выполняется на всем отрезке .

Например, при вычислении интеграла нельзя брать в качестве первообразной функции , так как при нарушается равенство ( при это равенство имеет место). При функция разрывна и не может быть первообразной.

Пример 3. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу ?

Решение: Нет, нельзя! Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно, . Но подынтегральная функция и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке , принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, применение здесь формулы Ньютона-Лейбница незаконно.



Варианты



Вычислить интегралы: 1) – с помощью предельного перехода от интегральных сумм;

2)-7) по формуле Ньютона – Лейбница.



















Вопросы к лабораторной работе №7



Что называется определенным интегралом от функции на отрезке ?

Зависит ли величина определенного интеграла от способа разбиения ? А от выбора промежуточного значения точек ?

Каков геометрический смысл интегральной суммы определенного интеграла?

Укажите необходимое условие интегрируемости функции.

Как составляются суммы Дарбу? Какими свойствами они обладают?

Как связаны суммы Дарбу с интегральными суммами при фиксированном разбиении?

Каковы основные свойства определенных интегралов?

Сформулируйте и докажите теорему о среднем. Каков ее геометрический смысл?

Используя теорему о среднем, докажите непрерывность определенного интеграла с переменным верхним пределом как функции верхнего предела.

Известно, что непрерывная в данном промежутке функция всегда имеет в нем первообразную. Из какого свойства определенного интеграла это следует?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8



Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям



Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Утверждение 1: Если и дифференцируемы на отрезке с концами и ; то справедливо соотношение:



,



где



Пример 1. Вычислить интеграл

Решение: положим , т. к. функции непрерывны и имеют производные на отрезке .

Пользуясь формулой интегрирования по частям, получим

Замена переменной в определенном интеграле.

Утверждение 2: Если непрерывно-дифференцируемое отображение отрезка a< t <b в отрезок такое что и , то при любой непрерывной на [;] функции , функция непрерывна на отрезке [a;b] и справедливо равенство .

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение: Применим подстановку считая , что функция на отрезке удовлетворяет всем условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, так как она непрерывно – дифференцируема, монотонна и и так , так как на промежутке. Таким образом







Варианты



Вычислить интегралы:

















Вопросы к лабораторной работе №8



При каких условиях применима формула замены переменной в определенном интеграле?

Выведите указанную формулу.

Приведите пример определенного интеграла, который можно вычислить по формуле замены переменной. Вычислите его.

Почему справедливо сделанное выше замечание?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9



Геометрические приложения определенного интеграла



Площадь плоской фигуры.

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции =, (і0), двумя прямыми = , = и осью OX , или площадь криво-линейной трапеции, ограниченной дугой графика функции = , в (рис.1), вычисляется по формуле :





рис 1.



Площадь фигуры , ограниченной графиками непрерывных функции и и двумя прямыми = , = (рис.2), определяется по формуле :







рис. 2



Пример1. Найти площадь фигуры, лежащей в правой полуплоскости и ограниченной окружностью и параболой

Решение:

найдем точки пересечения кривых ( рис.3), решив систему уравнений





рис. 3



Используя симметрию относительно оси OX , найдем искомую площадь как удвоенную сумму площадей криволинейных трапеций ,ограниченных соответственно дугами параболы , 0ЈxЈ2 и окружностью.







Иногда удобно использовать формулы , аналогичные (1) и (2) , но по переменной (считая x функцией от ), в частности







Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения =, =, прямыми = , = и осью OX, то площадь вычисляется по формуле :







где пределы интегрирование находятся из уравнений на отрезке .

Формула (4) применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой ( изменения параметра t от до должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке).

Пример2. Найти площадь петли кривой

Решение: Найдем точки пересечения кривой с координатами осями. Имеем : x=0 при t=; y=0 при t=0, t=.Следовательно, получаем следующие точки:

при t=1; при t=-1;

при t=0; при t=.

Точка является точкой самопересечения кривой. При

При (рис.4).

График функции ; , при







Площадь фигуры находим как удвоенную площадь верхней ее половины:





Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции и двумя лучами где - полярные координаты, или площадь криволинейного сектора , ограниченного дугой графика функции , , вычисляется по формуле:









Пример 3. Найти площадь лунки , ограниченной дугами окружностей Окружности пересекаются при ; рассматриваемая фигура ( рис.5) симметрична относительно луча .

График функции ; , при





Следовательно, ее площадь можно вычислять так:



Варианты















Вопросы к лабораторной работе №9



Какая фигура называется квадрируемой? Какие вы знаете условия квадрируемости?

Какими свойствами обладает квадрируемая фигура?

Как вычисляется площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми и непрерывными кривыми и , при условии, что для ?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №10



Геометрические приложения определенного интеграла



Длина дуги кривой

Если гладкая кривая задана уравнением , то длина ее дуги равна , где и – абсциссы концов.

Если же кривая задана параметрическими уравнениями то

Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями







Если задано полярное уравнение гладкой кривой то







Пример I. Найти длину дуги полукубической параболы от начала координат до точки (4;8).

Решение: имеем 3/2,

Пример 2. Найти длину астроиды .

Решение: имеем







откуда .



Пример 3. Найти длину кардиоиды >0.

Решение: имеем







откуда .



Варианты













Вопросы к лабораторной работе №10



Какая кривая называется спрямляемой? Что называется длиной дуги?

Всякая ли ограниченная кривая имеет конечную длину? Приведите пример.

Сформулируйте необходимое и достаточное условие спрямляемости плоской жордановой кривой.

Как вычисляется длина дуги в декартовых и полярных координатах?

ЛИТЕРАТУРА



Зорич В.А. Математический анализ, ч.I – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981

Ильин В.А., Позняк З.Г. Основы математического анализа, ч.I – М.: Наука, 1971

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.I, II, III. – М.: Наука, 1969

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.I. – М.: Высшая школа, 1981

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1986. В двух частях. Ч.I.

Берман Н.Г. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для вузов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985

Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск: Вышейшая школа, 1969

Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1964

Куницкая Е.С., Рывкин А.З., Смолянский М.Л. Задачник – практикум по математическому анализу. Ч.II Интегральное исчисление функций одной переменной. М.: Просвещение, 1968

Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. 3-е изд. М.: Айрис-пресс, 2003

Похожие работы: