Контрольная работа : Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Контрольная работа >> Математика


Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения




Бабаев Х.

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского

для смешанно-составного уравнения.

РЕФЕРАТ

В данной работе для смешанно-составного уравнения ставится и исследуется одна нелокальная краевая задача, которая является некоторым аналогом задачи Бицадзе-Самарского. Единственность решения изучаемой задачи доказывается принципом максимума, а существование решения доказывается сведением изучаемой задачи к эквивалентному ей интегральному уравнению.

Библиография 4 названия

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского

для смешанно-составного уравнения

В первые в работе [1] была поставлена и иcследована нелокальная краевая задача для элиптического уравнения, которая является обобщением задачи Дириxле. В данной работе иcследуется один из аналогов этой задачи для уравнения.

Пусть: Д область ограниченная отрезками OB, BE, AE, OC, AC, прямыx x=0, y=1, x=1, x+y=0, x-y=1, где А, B, O, C, E точки с координатами (1;0), (0;1), (0;0), (;), (1;1) соответственно.

Задача. Найти регулярное в области Д/OА решение уравнения (1) довлетворяющее краевым

(2)

(3)

(4)

(5)

условиям и условиям склеивания

(6)

Где -задание функции, причем -известные постоянные; постоянная β удовлетворяет неравенству -внутренняя нормаль.

Любое регулярное решение уравнения (1) в области

представлено в виде

(7)

где z(X,У)-регулярное решение уравнения

(8)

W (y)-дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Без ограничения общности можно предположить, что W (0)=0б W (1)=0, сперва приводим доказательство единственности решения изучаемой задачи.

Теорема. Если то функция U (Х,У)=0 в области Д.

Доказательство. На основании (2), (7) задача редуцируется к определению регулярного решения уравнения (8) при У>0 удовлетворяющего краевым условиям

φ(У)-W(У), Z()=φ(У)-W(У)

где U(1,У)= φ(У), U()=φ(У) (9)

Из (6) следует

Учитывая (3) и условие (9) получим:

L φ(x)

общее решение уравнения (1) в области Д={(x,yD, y<0}даётся известной формулой Даламбера

реализуя условие (10) из (11) имеем

φ(x)

или φ(x)-

отсюда φ(x+y)-

тогда из (11) получим U(X,Y)= φ(X+Y)- (12)

Используя (4) (ψ(X)≡0) из (12) найдем

φd+φ (13)

дифференцируя выражение (13) имеем

φ+φ=0

разделяя на (x)≠0 получим

φ(x)+ φ=0 (14)

предпологая

имеем:φ(x)-L(x) φ(βx)=0 (15)

функциональное уравнение (15) не имеет нетривиальных решений.

Действительно применяя метод итерации находим

φ(х)=L(х)φ(βx)

φ(βx)=L(βxφ()

φ(βx)=L(βx) φ(βx)

из этих равенств имеем

φ(х)=L(x)L(βx)…L(βx)φ(βx) (16)

(0≤x≤1)

из (16) следует, что при n→∞ функция φ(х)≡0

Следовательно из (12) получим

U(X,Y)= -(1)+ (X-Y)

Отсюда

Или

Обозначим U(X,1)=ψ(X). тогда условие (5) примет вид

U(x,y)=

Следовательно из (7)

теперь нетрудно убедиться, что функция Z(X,Y) не достигает максимума на линии У=1. Из условий

следует, что Z(X,Y) не достигает максимума (минимума) и на отрезках OB и OA.

Функция Z(Х,Y) не достигает максимума (минимум) и на отрезке АЕ. Действительно, если Z(X,Y) достигает максимума (минимума) на АЕ, то из условия Z(X,Y)=φ(Y)-W(Y)

Следует, что этот максимум (минимум) должен реализоваться и внутри области, что противоречит известным свойствам решений элиптических уравнений.

Итак Z(X,Y) ≡ 0 в области Д, W(Y) ≡ 0 при 0≤Y≤1. U ≡ 0 и в области Д (Задача Коши).

Таким образом U(X,Y)≡0 в области Д.

Теперь переходим к доказательству существования решения изучаемой задачи.

Реализуя условие (3) имеем:

φ(x)+ψ(x)-

тогда из (11) получим

φ(Х+У)+ψ(Х+Y)-(1)+ (X-Y) (18)

используя условие (4) после простых преобразований приходим к функциональному уравнению.

Φ(х)-L(x)φ(βx)=δx (19)

Где δ(x)=

Единственное решение функционального уравнения (19) можно найти применением метода итерации.

Таким образом неизвестная функция φ(х) определена единственным образом. Из (18) найдём

U(X,0)+U(X,0)=(X) (20)

Где известная функция

регулярное в области Д решение уравнения (8) удовлетворяющее краевым

условиям

задается формулой [2]:

Отсюда находим (X,0):

22)

исключая (х,о) из формул (20), (22) для определения V(х) получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода, разрешимость которого следует из единственности решения изучаемой задачи.

Заметим что V(x) содержит неизвестные функции ψ(Х), W(У). Подставляя значение V(Х) в формулу (21) и реализуя краевые условия

.Для определения неизвестных функций ψ(Х), W(У) имеем систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода, которая однозначно разрешима.

Литература.

  1. Бицадзе А. И., Самарский А. А. о некоторых простейших обобщениях простейших линейных элиптических краевых задач. –Докл. АН СССР, 1969 Т 189, N4, -c.739-740.

  2. Базаров Д. О некоторых нелокальных краевых задачах для модельных уравнений уравнений второго порядка. –изв. вузов. Математика, 1990, N3.

  3. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979-238с

  4. Салахидинов М. С., Толипов А. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной и двумя линиями вырождения. //Дифференциальные уравнения, 1972 г. Т. 8, №1 c 134-142

Похожие работы:

  • Об имморализме в психологии

    Реферат >> психология, педагогика
    ... старшего поколения данная процедура вызывает аналогию с внедрением “науки” марксизма-ленинизма ... открытие Гинбергена и Лоренца (оба лауреаты Нобелевской премии) “ ... определяет цели и задачи исследования. Одна из задач христианской психологии - предотвратить ...
  • Аналогия и гипотеза

    Контрольная работа >> Философия
    ... , касающаяся какого-либо одного явления, например, гипотеза об авторстве вновь найденной художественной ... доказательствах используется только строгая аналогия, а при решении задач (арифметических, геометрических и др.) применяется ...
  • Задачи в школьном курсе математики

    Учебное пособие >> Педагогика
    ... методы решения задач, и учение об общих методах поиска решения задач. Эвристический метод ... лучшем случае прибегают к аналогии, а одной аналогии для обучения решению задач недостаточно. При такой ... первом месте, когда одно или оба выражения являются двучленами ...
  • Задача обработки решеток

    Реферат >> Радиоэлектроника
    ... о продолжимости можно говорить как об общем аналоге положительной определенности. Пример 3.1 : ... соответствующие выборочной основе имеют /оба/ квадратное поперечное сечение. Границы ... различным граничным задачам электродинамики, составляются по одному и тому же ...
  • Внутренние законы развития языка и проблема грамматической аналогии

    Статья >> Языкознание, филология
    ... грамматической аналогии В. М. Жирмунский Изучение внутренних законов развития языка представляет одну из важнейших задач ... можем и должны говорить о грамматической аналогии как об одном из общих внутренних законов развития ...
  • Об адаптации сферы образования и науки транзитного общества к процессам глобализации

    Реферат >> Экономика
    ... и пространства, чему нет аналогов в предшествующие эпохи. Глобализация ... безболезненным процессом ни в одной стране. Особенно это ... самое можно сказать и об общественных и гуманитарных учебных ... методику их преподавания. Решение задачи усложняется еще и тем, ...
  • Об универсальном и специфическом в истории России

    Доклад >> История
    ... что нам не помогут никакие аналогии, мы - сами по себе ... кто выделился в хутора. С одной стороны - вековая мечта о "черном ... выразить в количественном виде. Задача науки состоит в том, чтобы ... литературы Григорий Гольц. Об универсальном и специфическом в истории ...
  • Умозаключения по аналогии в математике и физике

    Реферат >> Логика
    ... получили одинаковые оценки, оба не женаты. Об одном из них известно, ... в школу, учились в одном институте, на одном факультете, обе мечтали стать космонавтами. Короче ... раньше сходная задача? Но аналогию и здесь не следует переоценивать. Если одним методом ...
  • Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень

    Реферат >> Коммуникации и связь
    ... за вектором спостережень вибирається одна з них), оцінювання параметр ... і оцінювання параметра. Аналогічно задачі вибору гіпотез можна ... незсуненість, ефективність, обґрунтованість. Оцінка, математичне ... нка параметра називається обґрунтованою, якщо за умови ...
  • Об основаниях теории множеств

    Реферат >> Математика
    ... . Гораздо проще говорить об абстрактных множествах, чем ... что перенос методов из одной категории в другую и даже ... множество достижимо. Здесь усматривается аналогия с переходом от конечных ... непредикативных определений усложняет задачу интуиции, потому что ...