Контрольная работа : Криволинейный интеграл первого и второго рода 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Контрольная работа >> Математика


Криволинейный интеграл первого и второго рода




Криволинейный интеграл первого рода

Криволинейный интеграл второго рода

  1. Задача приводящая к понятию криволинейного интеграла.

Определение криволинейного интеграла по координатам.

  1. Свойства криволинейного интеграла (рис. 1).

  2. Вычисления

а)

б)

Рис. 1

Займемся обобщением понятия определенного интеграла на случай когда путь интегрирования – кривая -кривая , , . Т/н. А-работу силы при перемещении точки от к

1. Разобьем на n частей :

Обозначим вектор- хорда дуге.

Пусть предположим, что на тогда

Работа вдоль дуги вычисляется как скалярное произведение векторов и

Пусть

Тогда:

Работа

Если , то этот предел примем за работу А силы при движении точки по кривой от точки до точки

,-не числа, а точки концы линии .

  1. Свойства:

10 определяется

а) подынтегральным выражением

б) формой кривой интегрирования.

в) указанием направления интегрирования (рис. 2).

Рис. 2

-можно рассматривать как интеграл от векторной функции

Тогда - если -замкнутая то -называют циркуляцией вектора по контуру .

30

40 не зависит от того какую точку взять за начало

Вычисление криволинейного интеграла

Криволинейные интегралы вычисляются сведением их к обыкновенным интегралам по отрезку прямой (рис. 3).

Рис. 3

-гладкая кривая.

  1. Если -непрерывны, -непрерывные.

-непрерывны по , то

Пределы А и В не зависят ни от способа деления на , ни от вектора

Следовательно: .

2. В случае:

  1. Формула Грина.

  2. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

  3. Полный дифференциал.

Связь между определенным и криволинейным интегралами.

Пусть дано область D, замкнутая, ограниченная линией (рис. 4).

интеграл криволинейный грин формула

Рис. 4

непрерывны на

- определена и непрерывна в замкнутой области D.

- определена и непрерывна в замкнутой области D. Тогда

Аналогично

-Формула Грина.

В частности: вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла.

Пример.

Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Рис. 5

- непрерывные частные производные в (рис. 5).

Каковы условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования?

Теорема: -непрерывны в области , тогда для того, чтобы

в (рис. 6)

Рис. 6

Пусть

Обратно

Т.д.

Пусть из непрерывности и

-окрестность точки такая что в

предположение неверно. ч.т.д.

Замечание.

Определение. Функция -градиент которой есть вектор силы называется потенциалом вектора .

Тогда

Вывод: Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы пути интегрирования.

Литература

  1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд. МГУ, 1989 г.

  2. Виноградова И.А., Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250 летию МГУ 2005 г.

  3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд. Лань. 2002 г. – 880 с.

  4. Лунгу К.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005 г.

Похожие работы:

  • Интеграл по комплексной переменной

    Реферат >> Математика
    ... значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда : ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши ... конечное число точек разрыва первого рода). Для любого значения параметра ... конечного числа точек разрыва первого рода. Любой конечный промежуток оси ...
  • Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

    Реферат >> Математика
    ... значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда : ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши ... конечное число точек разрыва первого рода). Для любого значения параметра ... конечного числа точек разрыва первого рода. Любой конечный промежуток оси ...
  • Интеграл Лебега-Стилтьеса

    Дипломная работа >> Математика
    ... введения нового понятия интеграла. Во второй главе рассмотрены основные ... точек терпит разрыв первого рода. Тогда существует интеграл Стилтьеса и выражается ... интеграл из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная ...
  • Определенный интеграл

    Учебное пособие >> Математика
    ... первом этапе находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором ... геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной ... интегралом второго рода. Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от ...
  • Кратные интегралы

    Дипломная работа >> Математика
    ... χ(t), t0 ≤ t ≤ T, то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой (25) В частности, если кривая L задана на плоскости явным ... R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида: (35) Если D, D΄ и D΄΄ - проекции поверхности S на координатные плоскости ...
  • Применение интегралов к решению прикладных задач

    Курсовая работа >> Математика
    ... в первом квадранте, . Таким образом, длина дуги эллипса выражается эллиптическим интегралом второго рода; как ... , запишется в виде криволинейного интеграла первого типа . Так как , то . Перейдём к криволинейному интегралу второго типа . 4. Поверхностные ...
  • Интеграл и его применение

    Реферат >> Математика
    ... (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, ... — нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе ... ; выразить второй множитель через новую переменную; составить интеграл, найти ...
  • Интеграл и его свойства

    Реферат >> Математика
    ... дроби первого и второго типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления: Интеграл от ... . Вычисление площадей плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x) ≥ 0], прямыми x=a и x=b и ...
  • Шпора

    Реферат >> Математика
    ... производные и ; чтоб криволинейный интеграл не зависел от ... интеграл 1-го рода вычисл. С помощью интеграла двойного рода ... (1). Решением дифференциальное уравнение первого порядка называется всякая функция ... функций по желанию, а вторую так, чтобы удовлетворяла ...
  • Билеты по математике

    Шпаргалка >> Математика
    ... производные и ; чтоб криволинейный интеграл не зависел от ... интеграл 1-го рода вычисл. С помощью интеграла двойного рода ... (1). Решением дифференциальное уравнение первого порядка называется всякая функция ... функций по желанию, а вторую так, чтобы удовлетворяла ...