Реферат : Вычисление интеграла по поверхности 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Вычисление интеграла по поверхности




Содержание

1)Поверхностный интеграл второго рода

2)Вычисление интеграла по поверхности

3)Теорема Остроградского-Гаусса

4)Дивергенция

Литература

интеграл теорема доказательство

Интеграл по поверхности

Поверхность будем рассматривать

  1. как образ замкнутой области при непрерывном отображении

  2. Отображение можно задать в векторном виде в каждой точке гладкой поверхности

  3. Для существует нормаль , перпендикулярный к касательным кривым в точке . Следовательно равен векторному произведению касательных к векторов:

,

поверхность

-

направление касательных прямых к и в т. к поверхности

.

Направляющие косинусы нормали к поверхности

Задание векторного поля характеризует задание вектор функции:

Примеры векторных полей:

- поле скоростей текущей жидкости или газа.

- гравитационное поле

- электростатистическое поле.

Если в какой то области , заполненной жидкостью (или газом), текущей с некоторой скоростью , к каждой точке можно поставить в соответствие векторное поле , то получим векторное поле скоростей текущей жидкости.

Поверхностный интеграл второго рода.

Определение интеграла по поверхности.

Вычисление.

Дано: - область ограниченная поверхностью

Дано: - поверхность

-векторное поле скоростей текущей жидкости или газа через поверхность в направлении нормали .

Функции - непрерывны в области с границей .

Т/н : поток жидкости (или газа) через поверхность в направлении .

Решение.

  1. Поверхность разобьем на произвольных частей.

  1. Выберем по точке

  1. Вычислим скорость течения жидкости в точке

  2. Определим , где -скалярное произведение

-единичная нормаль к поверхности в точке

- вектор в точке .

  1. Составим

  2. Найдем

Механический смысл интеграла по поверхности

-

объем цилиндра с основанием и высотой .

Если -скорость течения жидкости , то равно количеству жидкости или газа протекающий через поверхность за единицу времени в направлении нормали .

- общее количество жидкости или газа протекающей через поверхность в положительном направлении нормали равен потоку векторного поля через поверхность в направлении нормали .

Вычисление интеграла по поверхности

Пусть нормаль :

Заметим, что

Действительно, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно , -угол между касательной плоскостью к и его проекцией на плоскость

Следовательно

Вычисление интеграла по поверхности.

1.

Аналогично

Пример 1.

Найти поток вектора через часть поверхности параболоида

в направлении внутренней нормали.

-проектируется на с двух сторон и образует с осью Ох углы (острый и тупой )

Аналогично

Пример 2. Вычислить , где -сфера , нормаль внешняя.

Пример 3. Найти поток вектора через часть сферы в направлении внешней нормали

Пример 4.

Пример 5.

Теорема Остроградского-Гаусса.

Дивергенция.

-поток вектора через поверхность в направлении за единицу времени есть разность между количеством жидкости вытекающей из области и количеством жидкости втекающей в область .

1. . Следовательно из области жидкости вытекает столько же сколько втекает.

2. жидкости или газа вытекает больше, внутри существует источник.

3. жидкости или газа втекает больше чем вытекает , внутри существует сток.

Чтобы оценить мощность источников и стоков внутри нам необходима теорема Остроградского-Гаусса.

Если -непрерывна вместе с частными производными в области то:

Поток изнутри равен суммарной мощности источников и стоков в области

за единицу времени.

Величина потока вектора через замкнутую поверхность :

является глобальной характеристикой векторного поля в области и очень приблизительно позволяет судить о наличии источников и стоков в области .

  • Поток представляет собой избыток жидкости протекающей в сторону положительной нормали , а не абсолютное количество жидкости прошедшей через независимо от направления течения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределения стоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке):

Дивергенция:

Определение:- стягивается в точку.

Определение: Дивергенцией векторного поля в точке называется предел отношения потока векторного поля через поверхность к объему , ограниченному этой поверхностью, при условии что поверхность стягивается в точке .

Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля исходящего из точки , т.е. мощность источника и стока находящегося в точке .

- средняя объемная мощность потока .

-существует источник в точке .

- существует сток в точке

Теорема 2.

Доказательство:

ч.т.д.

Пример 1. . Найти поток вектора через всю поверхность тела , в направлении внешней нормали.

Решение:

1.

2.

Литература

  1. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). – М. Высшая школа, 1980

  2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, I,II ч. М. Издательство МГУ, 1987

  3. Шилов Г.Е. Математический анализ функции нескольких вещественных переменных. ч. 1 – 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.

  4. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа I,II ч. М. Наука 1981.

Похожие работы:

  • Интеграл по поверхности первого рода

    Реферат >> Математика
    Содержание 1) Интеграл по поверхности первого рода 2) Специальные ... Литература векторное потенциальное поле интеграл Интеграл по поверхности первого рода Физические ... -потенциальное, то для вычисления криволинейного интеграла достаточно найти разность 4) ...
  • Лекции по Физической оптике

    Реферат >> Физика
    ... поверхности. Обозначив радиус сферы через е,я2получимя2 я2- 35 -я2При вычислении интеграла по сфере дифференцирование по ... нормалия2можно заменить дифференцированием по радиусу сферы. ...
  • Лекции по физике

    Реферат >> Физика
    ... ... Приравнивая оба выражения, получаем: ... Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объёму ... Таким образом, ... Поскольку это ... расширении потока равна скоростному напору, вычисленному по ... скорости. ... Для других видов местных ...
  • Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

    Статья >> Математика
    Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке С.С. Трахименок, Новосибирский ... к (1.1) преобразование как  =(x,y),  =(x,y), отметим, что поверхность (x,y)=j совпадает с Гj. Любая луночка S однозначно ...
  • Вычисление интегралов методом Монте-Карло

    Курсовая работа >> Математика
    ... способ вычисления интеграла. 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 1.1 ... П., Нойман П., Шторм Р. Таблицы по математической статистике. – М.: Финансы ... 2 - квадратичное // 3 – сплайн - поверхности mcres.con_type=Read1double("con_type.txt" ...
  • Двойной интеграл в механике и геометрии

    Курсовая работа >> Математика
    ... ищется, ограни­чено сверху поверхностью а снизу—поверхностью , причем проекцией обеих поверхностей на пло­скость Оху ... Оху, Следовательно, интеграл по D будет выражать раз­ность соответствующих объемов. б) Вычисление площади плоской области ...
  • Физические модели при изучении интеграла в курсе алгебры и начал анализа в 10-11 классах

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... а верхний диаметр лежит на свободной поверхности жидкости (рис.1); удельный вес жидкости ... помощью ракеты тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту ... интеграла, затем этим же методом выводится формула для вычисления массы стержня по ...
  • Билеты по математическому анализу

    Реферат >> Математика
    ... . Сформулируйте и докажите свойство аддитивности определенного интеграла по области интегрирования. Найти . Какой вид ... . Выведите формулу для вычисления площади поверхности. Дайте определение криволинейного интеграла от вектор-функции ...
  • Лекции по физике В.И.Бабецкого

    Реферат >> Физика
    ... Интеграл по боковой поверхности ноль, потому что силовые линии скользят по боковой поверхности ... , никаких проблем, кроме вычисления интеграла, нет, но компьютер ... . Вся трудность вычисления интеграла эквивалентна трудности вычисления ёмкости. Стационарные ...
  • Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

    Шпаргалка >> Математика
    ... Основные св-ва 2ного интеграла 1. Двойной интеграл по области D = площади ... 1 Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла. Пусть дана кривая поверхность Р, заданная ... интегралов 1 и 2 рода Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода) Пусть ...