Статья : Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Статья >> Математика


Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат




Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат.

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:

=

ρ

=

При этом

(4)

В вакууме ε = 1, так что

(5)

Потенциал φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное.

Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат:

=

(6)

(7)

(8)

=

(9)

(10)

(11)

Δ φ

=

(12)

(13)

(14)

Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r.

=

(15)

Задача. Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле . Требуется вычислить распределение заряда ρ(x) и распределение потенциала φ(x). При нахождении φ(x) принять φ|x = 0 = 0.

Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла:

ρ

=

ρ

=

Для нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал:

В условии сказано, что φ(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела:

В качестве переменной интегрирования мы используем , чтобы избежать путаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к окончательному ответу:

φ(x)

=

=

Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r - расстояние от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области.

Ответ: Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3

Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b - константы). Найти ρ(r).

Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала:

После этого сразу записывается (у нас ε = 1):

Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда:

Задача. В цилиндрической системе имеется электрическое поле , α>0. Выяснить, какому распределению заряда ρ(r) и какому потенциалу φ(r) такое поле соответствует.

Ответ: ρ(r) = Aε0exp(–α r)(2–α r),

Задача. Проверить, выполняется ли критерий потенциальности () для поля и для поля .

Ответ: Для первого поля - да, для второго - нет.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r

Похожие работы:

  • Исследование магнитных систем в программной системе конечно-элементного анализа ANSYS

    Дипломная работа >> Информатика, программирование
    ... лапласиан (оператор Лапласа) . Этот оператор может быть применен к скалярным и векторным функциям. В декартовой системе координат уравнение Лапласа ... магнитного поля двумя различными методами: с помощью виртуальной работы и тензора Максвелла. Сила магнитного ...
  • Лекции по физике В.И.Бабецкого

    Реферат >> Физика
    ... для этого нужна ещё одна характеристика. Берём в нашей системе координат ... хороший растворитель для различных минеральных солей, ... . Уравнения электростатики (первое и второе уравнения Максвелла) остаются ... на это уравнение подействуем векторно оператором , то ...
  • Несостоятельность теории электромагнетизма

    Реферат >> Математика
    ... системе уравнений электродинамики Максвелла Рассмотрим полную систему уравнений электродинамики Максвелла для ... оператор "rot" сводится к простому дифференцированию вектора A по линии распространения (т.е. по координате ... в векторной форме, различные электро- ...