Курсовая работа : Програма, яка знаходить квадратні корені коплексних чисел 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Курсовая работа >> Математика


Програма, яка знаходить квадратні корені коплексних чисел




Курсова робота

Тема:

Програма, яка знаходить квадратні корені комплексних чисел

Зміст

Вступ 3

Теорія 4

Програма 8

Контрольні приклади 10

Висновок 11

Література 12

Вступ

Протягом курсу елементарної алгебри кілька разів відбувається збагачення запасу чисел. Школяр, що приступає до вивчення алгебри, приносить з арифметики знайомство з позитивними і дробовими числами. Алгебра починається власне кажучи з уведення негативних чисел, тобто з оформлення першої серед важливішої числових систем – системи цілих чисел, що складаються з усіх позитивних і всіх негативних цілих чисел і нуля, і більш широкої системи раціональних чисел, що складається з усіх цілих чисел і всіх дробових чисел, як позитивних, так і негативних.

Подальше розширення запасу чисел відбувається тоді, коли в розглядання вводяться ірраціональні числа. Система, що складається з раціональних і всіх ірраціональних чисел, називається системою дійсних (чи речовинних) чисел. Строга побудова системи дійсних чисел міститься звичайно в університетському курсі математичного аналізу; для нас, однак, було досить у попередніх главах і буде досить надалі того знайомства з дійсними числами, якої володіє читач, який приступає до вивчення вищої алгебри.

Нарешті, у самому кінці курсу елементарної алгебри система дійсних чисел залишається для читача менш звичної, звичайно, чим система дійсних чисел, хоча насправді вона має багатьма дуже гарними властивостями.

Теорія

Переходимо до питання про зведення комплексних чисел у степінь і знаходження з них кореня. Для зведення числа a=a+bi у цілу позитивний степінь n досить застосувати до вираження (a+bi) n. Формулу бінома Ньютона (ця формула справедлива і для комплексних чисел, так, як її доказ заснований лише на законі дистрибутивності), а потім скориставшись рівностями i2= - 1, i3= - i, i4=1, відкіля взагалі

i4k= 1, i4k+1= i, i4k+2= - 1, i4k+3= - i.

Якщо число б задано в тригонометричній формі, то при цілому позитивному n випливає наступна формула, називана формулою Муавра:

(1)

тобто при зведенні комплексного числа в ступінь модуль зводиться в цей ступінь, а аргумент збільшується на показник ступеня. Формула (1) вірна і для цілих негативних показників. Дійсно, через б-n=(б-1) n, досить застосувати формулу Муавра до числа б-1.

Окремий випадок формули Муавра, а саме рівність

дозволяє легко одержати формули для синуса і косинуса кратного кута. Дійсно, розкриваючи ліву частину цього рівності по формулі бінома і дорівнюючи окремо дійсні і мнимі частини обох частин рівності, ми одержимо:

Тут є обічне позначення біноміального коефіцієнта:

При n=2 ми приходимо до відомих формул

а при n=3 до формул

Витяг кореня з комплексних чисел представляє вже багато більше труднощів. Почнемо з витягу квадратного кореня з числа б=a+bi. Ми не знаємо поки, чи існує таке комплексне число, квадрат якого дорівнює б. Припустимо, що таке число u+vi існує тобто, уживаючи звичайну символіку, можна написати:

З рівності

(u+vi) 2=a+bi

випливає

(2)

Зводячи в квадрат обидві частини кожного з рівностей (2), а потім складаючи їх одержуємо:

відкіля

позитивний знак узятий тому, що числа u i v дійсні, і тому ліва частина рівності позитивна. З цієї рівності і з першого з рівностей (2) одержуємо:

Ми приходимо, витягаючи корені, до двох значень для u, що відрізняється друг від друга знаком, а також до двох значень для v. Усі ці значення будуть дійсними, тому що квадратні корені будуть шукаються при будь-яких a і b з позитивних чисел. Отримані значення для u і v не можна комбінувати між собою довільним образом, тому що, через другий з рівностей (2), знак добутку uv повинний збігатися зі знаком b. Це дає дві можливі комбінації значень u і v, тобто два числа виду u+vi, що можуть служити значеннями квадратного кореня з числа б. Ці числа відрізняються друг від друга знаком. Елементарна, хоча і громіздка, перевірка (зведенням отриманих чисел у квадрат, окремо для випадку b>0 і для випадку b<0) показує, що знайдені нами числа дійсно є значеннями квадратного кореня з числа б. Таким чином, витяг квадратного кореня з комплексного числа завжди можливо і дає два значення, що відрізняються друг від друга знаком.

Зокрема, тепер робиться можливим витяг квадратного кореня і з негативного дійсного числа, причому значення цього кореня будуть чисто мнимими. Справді, якщо a<0 і b=0, то , тому що цей корінь повинний бути позитивним, а тоді тобто u=0, відкіля .

Спроби витягу з комплексних чисел, заданих у виді a+bi, коренів більш високого ступеня, чим друга, зустрічаються з невизначеними ускладненнями. Так, якби ми захотіли в такий же спосіб витягти з числа a+bi кубічний корінь, те повинні були б вирішити деяке допоміжне кубічне рівняння. З іншого боку, тригонометрична форма дуже добре пристосована для витягу коренів будь-якого ступеня і, користаючись нею, ми зараз цілком вичерпаємо це питання.

Нехай потрібно витягти корінь n-й ступеня з числа Припустимо, що це зробити можна і що в результаті вийде число тобто

(3)

Тоді, по формулі Муавра, , тобто де в правій частині коштує однозначно визначене позитивне значення кореня n-й ступеня з позитивного дійсного числа r. З іншого боку, аргумент лівої частини рівності (3) є n0. Не можна затверджувати, однак, що n0 дорівнює , тому що ці кути можуть у дійсності відрізнятися на доданок, що є деяким цілим кратним числа . Тому , де до – ціле число, відкіля

Назад, якщо ми беремо число те при будь-якім цілому до, позитивним чи негативної, n-я ступінь цього числа дорівнює б. Таким чином,

(4)

Даючи до різні значення, ми не завжди будемо одержувати різні значення шуканого кореня. Дійсно, при

(5)

ми одержимо n значень кореня, що усі будуть різними, тому що збільшене то на одиницю спричиняє збільшення аргументу на . Нехай тепер до довільно. Якщо k=nq+r, то

тобто значення аргументу при нашому до відрізняється від значення аргумента при k=r на число, кратне , ми одержуємо, отже таке ж значення кореня, як при значенні до, рівному r, тобто вхідним у систему (5).

Опис програми

n-показник степеня кореня;

a,b,f – дійсна, уявна частини та аргумент z;

;

i – номер кореня;

x,y – масиви дійсних та уявних частин коренів.

Нижче наведений приклад програми у роботі:

Програма

uses crt; const dim=20; type ar=array [1. . dim] of real; var a1,b1: real; n1, i1: integer;

x,y: ar;

function sgn(xx: real): integer;

begin

if xx>0 then sgn: =1

else if xx<0 then sgn: =-1

else sgn: =0;

end;

procedure rootcom(a,b: real; n: integer; var x,y: ar);

var c,r,f: real;

i: integer;

begin

r: =a*a+b*b;

if r<>0 then r: =exp(ln(r) /2/n);

if a=0 then f: =sgn(b) *pi/2 else

if a>0 then f: =arctan(b/a) else

if b<0 then f: =arctan(b/a) - pi else f: =arctan(b/a) +pi;

f: =f/n;

c: =2*pi/n;

for i: =1 to n do

begin x [i]: =r*cos(f); y [i]: =r*sin(f); f: =f+c; end;

end;

begin clrscr;

textcolor(10);

write('ўўҐ¤iвм ¤i©б­г з бвЁ­г');

textcolor(white);

read(a1);

textcolor(10);

write('ўўҐ¤iвм гпў­г з бвЁ­г');

textcolor(white);

read(b1);

textcolor(10);

write('ўўҐ¤iвм Ї®Є §­ЁЄ б⥯Ґ­п');

textcolor(white);

read(n1);

rootcom(a1,b1,n1,x,y);

writeln('Љ Ћ ђ … H џ');

for i1: =1 to n1 do

writeln(i1,') ',x [i1]: 1: 2,'+i*(',y [i1]: 1: 2,') ');

readkey;

end.

Контрольні приклади

Приклад 1

Приклад 2

Приклад 3

Висновок

Таким чином, витяг коренів n-й ступеня з комплексного числа б завжди можна і дає n різних значень. Усі значення коренів n-й ступені розташовані на окружності радіуса з центром у нулі і поділяють цю окружність на n рівних частин.

Зокрема, корінь n - й ступеня з дійсного числа б так само має n різних значень, дійсних серед цих значень буде два, одне чи ні одного в залежності від знака б і парності n.

Література

1. А.Г. Курош "Курс высшей алгебры", "Наука", Москва 1975

2. С.Т. Завало, В.М. Костарчук, Б.И. Хацет "Алгебра и теория чисел", Том 1,"Высшая школа", Киев 1974

3. С.Т. Завало, В.М. Костарчук, Б.И. Хацет "Алгебра и теория чисел", Том 2,"Высшая школа", Киев 1976

Похожие работы:

  • Алгебра логіки як розділ математики

    Контрольная работа >> Информатика, программирование
    ... modf і функції обчислення квадратного кореня sqrt. Необхідно відзначити ... Завдання до лабораторної роботи Скласти програму, яка спочатку запитує ім’я особи, ... програму для знаходження розв’язку квадратного рівняння. Визначити номер квадранта, в якому знаходиться ...
  • Фізико-географічна характеристика озер Північної Америки

    Курсовая работа >> География
    ... ік. Річ у тому, що кореневі системи рослин «міцно триматися ... і Віндзор, Онтаріо. Приблизно 430 квадратних миль (1100 км2) в район ... і розвинули спеціальну програму, яка торкається двох держав. ... в систему Великих озер, які знаходяться на межі Канадою і ...
  • Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики

    Реферат >> Педагогика
    ... застосування. Використовуючи програму Arbeit я розробила програму, яка може бути використана ... визначення логарифмічної функції, квадратного кореня, отримуємо систему , ... ’язків рівняння не має, так як функція, яка знаходиться в лівій частині, зростає , а в ...
  • Мова програмування С++

    Дипломная работа >> Информатика, программирование
    ... закінчуватися фігурними дужками, між якими знаходиться послідовність описів, оператор ... оператор2; Наприклад, для знаходження коренів квадратного рівняння використовується запис: ... s;// виводимо результат } Приклад 2: Програма яка підраховує скільки разів задане ...
  • Культурологія. Українська та зарубіжна культура

    Учебное пособие >> Культура и искусство
    ... є права і обов’язки громадян, які знаходяться в правових відносинах. У культурі ... до степеня, добування квадратних і кубічних коренів, обчислювали об’єм. Причому ... профілізацією – гімназії, ліцеї. Діє програма державної підтримки обдарованих дітей. В 2000 ...
  • Особливості вивчення математики в профільних класах у сучасних умовах

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... як скласти свою життєву програму, як пізнавати себе, як ... розв'язування ліній­них і квадратних рівнянь, нерівностей та ... дсоткові розрахунки; наближене визначення коренів многочленів і розв'язуван­ня ... виправдовує себе, оскільки знаходиться у деякій єдності зі ...
  • Основи внутрішньо-фірмового управління нововведеннями: стратегія і структура

    Статья >> Менеджмент
    ... ряду технологій, що кореняться, взагалі-то, в ... областей НТП, результати яких знаходять застосування в широкому ... і видавався продукт квадратного перетину, якому треба було всунути ... галузях з довгостроковими і дорогими програмами, як, наприклад, виробництво ЕОМ, ...
  • Фізичні основи роботи комп’ютера

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... роботи з учнями. Її корені ховаються в перших роках ... даних на квадратний дюйм [5]. 2.5 Прилади, в яких використовує ... записаною прошивкою – програмою, яку використовує мікропроцесор привода ... і фоторецептором, на якому знаходиться тонерний малюнок. Коротрон ...
  • Організація виробництва в підприємствах агропромислового комплексу

    Учебное пособие >> Ботаника и сельское хоз-во
    ... садиби до математичної, тобто до кореня квадратного з площі землекористування; П ... Виробнича програма рослинництва складається з оптимальної площі земель, які ... в залежності від району, в якому знаходиться господарство, напрямки вівчарства і наявності ...
  • Політологія

    Учебное пособие >> Политология
    ... як правовий, і як моральний чинник, який має юридичну силу. Глибокі історичні корен ... верств населення політична програма, яка відповідає і ... діяльність партій, які знаходяться на нелегальному становищі, ... Н. Вернека Содре, “рух квадратного колеса”. Також існує ...