Контрольная работа : Геометрические свойства кривых второго порядка 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Контрольная работа >> Математика


Геометрические свойства кривых второго порядка




Цель курсовой работы

Исследовать и изучить геометрические свойства кривых второго порядки (эллипса, гиперболы и параболы), представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины, а также научиться строить графики данных кривых в канонической и прямоугольной декартовой системах координат.

Постановка задачи

Дано уравнение кривой второго порядка:

. (1)

Задание. Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром :

I. Определить зависимость типа кривой от параметра с помощью инвариантов.

II. Привести уравнение кривой при к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

III. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.

IV. Получить уравнения канонических осей в общей системе координат.

V. Построить график кривой в канонической и общей системах координат.

Получение канонической системы координат. Построение графиков

I. Тип кривой второго порядка в зависимости от параметра

В прямоугольной декартовой системе координат кривая второго порядка задается в общем виде уравнением:

,

если хотя бы один из коэффициентов , , отличен от нуля.

Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем:

Теперь определим тип данной нам кривой (1) с помощью инвариантов. Инварианты кривой второго порядка вычисляются по формулам:

;

;

.

Для данной кривой они равны:

1). Если , то уравнение кривой (1) определяет кривую параболического типа, но . Таким образом, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. При этом , то есть: если , то уравнение (1) определяет параболу.

2). Если, то данная кривая — центральная. Следовательно, при данная кривая — центральная.

  • Если , то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом . В соответствии с признаками кривых второго порядка получим: если, то уравнение (1) определяет эллипс.

    • Если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.

а) Если и , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:

Следовательно, если , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.

б) Если и , то данная кривая — гипербола. Но при всех за исключением точки . Следовательно, если , то уравнение (1) определяет гиперболу.

Используя полученные результаты, построим таблицу:

Значение параметра β

Тип кривой

Эллипс

Парабола

Гипербола

Две пересекающиеся прямые

Гипербола

II. Переход от общего уравнения кривой к каноническому

Рассмотрим теперь случай, когда, и исследуем данное уравнение кривой второго порядка с помощью инвариантов. Из вышеприведенной таблицы видим, что при уравнение (1) определяет гиперболу и принимает вид:

(2.1)

Приведем уравнение кривой (2.1) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой. Совершим параллельный перенос начала координат в точку . При этом координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координаты в новой системе координат связаны соотношениями

Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получим:

(2.2)

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:

(2.3)

В уравнении (2.3) коэффициенты при приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно

(2.4)

Решив систему (2.4), получим:

Центр кривой имеет координаты , . Поставим найденные значения в уравнение (2.3). В новой системе координат в уравнении (2.3) коэффициенты при равны нулю и уравнение примет вид

,

. (2.5)

Так как , то дальнейшее упрощение уравнения (2.5) мы достигаем при помощи поворота осей координат на угол . При повороте осей координат на угол координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координаты в новой системе координат связаны соотношениями

(2.6)

Подставляя (2.6) в уравнение (2.5), получим

Раскроем скобки и приведем подобные члены

Приводя подобные члены, получим уравнение

(2.7)

Теперь выберем такой угол , что в уравнении (2.7) коэффициент при произведении равен нулю. Получим уравнение относительно синуса и косинуса угла :

. (2.8)

Разделим правую и левую части данного уравнения почленно на . Мы можем это сделать, так как , потому что если (то есть ), то при подстановке в уравнение (2.8) получим, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Получим уравнение

. (2.9)

Решая уравнение (2.9), получим

, .

Зная значение тангенса, можно вычислить значения синуса и косинуса по следующим формулам: , . Подставляя соответствующие значения тангенса, получаем:

Возьмем для определенности . Тогда соответствующие значения синуса и косинуса есть

, (2.10)

Подставляя (2.10) в уравнение (2.7), получаем:

и преобразовав данное уравнение, получим уравнение вида:

И, соответственно, уравнение

(2.11)

— это каноническое уравнение исходной гиперболы.

III. Фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты кривой

Пусть и — фокусы, — эксцентриситет, — центр, а — директрисы данной гиперболы. Известно, что фокусы имеют координаты: , , где и . Для данного уравнения гиперболы (2.11) получаем, что , , и значит . Отсюда получаем , .

Эксцентриситет гиперболы (2.11)

.

Директрисы гиперболы задаются уравнениями: и . Подставляя найденные значения и , получаем:

Прямые и в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. Для данной гиперболы (2.11) асимптоты имеют вид:

IV. Уравнения осей гиперболы в общей системе координат

Теперь напишем уравнения осей новой системы в исходной системе координат .

Так как система — каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой — , то есть оси и проходят через точку .

В пункте II было установлено, что угловой коэффициент оси .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом , имеет вид . Следовательно, ось в системе координат задана уравнением , или , где в роли точки выступает центр гиперболы точка .

Так как ось перпендикулярна оси , то ее угловой коэффициент . Следовательно, ось в системе координат задана уравнением , или .

V. Построение графиков гиперболы

Используя полученные в ходе выполнения задания данные, построим гиперболу (2.1) в исходной системе координат (см. рис. 1) и гиперболу (2.11) в канонической системе координат (см. рис. 2).

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Вывод

Таким образом, из вышеприведенного решения видим, что с помощью инвариантов можно отследить тип кривой второго порядка с параметром , а используя параллельный перенос и поворот осей координат, можно привести кривую второго порядка от общего вида к каноническому.

Список используемой литературы

1. Л.В. Бобылева, Л.С. Брюхина. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Исследование кривых второго порядка.— Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.

2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит , 2002.

3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.— М: Наука, 1966.

4. А.В. Ефремов, Б.П. Демидович. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа (Ч. 1). — М.: Наука, 1993.

Похожие работы:

  • Кривые второго порядка

    Реферат >> Математика
    ... плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола ... системы координат (полуинвариант): Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи ...
  • Кривые второго порядка

    Реферат >> Математика
    ... Рассмотрим основные виды так называемых кривых второго порядка, т. е. кривых, в уравнениях которых переменная ... (9) т. е. отношение расстояния ri от любой точки эллипса ... и от прямой у = 2. Найти вершину параболы ...
  • Плоские кривые

    Дипломная работа >> Математика
    ... . Наряду с исследованием геометрических свойств кривых исследуются и их механические свойства. Гюйгенс открывает изохронность ... директриса кривой второго порядка является полярой её фокуса. Новые методы исследования свойств кривых второго порядка развиваются ...
  • Исследование кривых и поверхностей второго порядка

    Курсовая работа >> Математика
    ... второго порядка. Закрепление полученных теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка ... поверхности второго порядка Теоретическая часть Поверхностью второго порядка S называется геометрическое ...
  • Кривые на плоскости

    Контрольная работа >> Математика
    ... кардиоиды, циклоиды, гипоциклоиды). Является алгебраической кривой второго порядка. Уравнения кардиоиды: В прямоугольной системе ... равносторонней гиперболы. Собственные свойства: Гравитационное свойство лемнискаты Кривая является геометрическим местом точек, ...
  • Пересечение кривых поверхностей

    Реферат >> Математика
    ... о поверхностях Поверхность – это геометрическое место линии, движущейся в ... процессе некоторого построения используется свойство пересечения двух конических поверхностей ... между собой по двум кривым второго порядка. Второе положение, известное под ...
  • Кривые Энгеля и их новая интерпретация

    Доклад >> Экономика
    ... геометрической задачей и куда более проще оказалось работать с проекциями кривых ... у потребителя. Про кривую второго характера говорят, что ... . Про кривую третьего порядка говорят, ... кривыми Энгеля, а связанная с целым рядом потребительских свойств товара ...
  • Автоматизация производственных систем

    Учебное пособие >> Информатика, программирование
    ... , проходящая через три точки с заданным дискриминантом Conic i = P ... . Параметрическое ребро ориентировано в петле ... изменяемом параметре. На месте параметра появится поле ввода или список выбора, ...
  • Большая коллекция шпор для МАТАНа (1 семестр 1 курс)

    Шпаргалка >> Математика
    ... x|xЄB и x¢A}=B∩A(вектор). СВОЙСТВА 1) AUB=BUA - свойства коммутативности (объединения), 1') ... непрерывность. §1. Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. ... и его св-ва: Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты ...
  • Развитие аналитической геометрии

    Реферат >> Математика
    ... одним неизвестным, но изучение свойств различных геометрических образов, прежде всего ... т. I, 130), выражали определяющие свой­ства этих кривых. В этом случае речь шла ... кривых второго порядка. Дело в том, что, как правильно писал Г. Цейтен, «геометрическая ...