Учебное пособие : Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики (работа 2) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Учебное пособие >> Математика


Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики (работа 2)




Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), axb, и имеет плотность 1) =(x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно коорди­натных осей Ox и Oy равны

моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычис­ляются по формулам

а координаты центра масс и — по формулам

где l— масса дуги, т. е.

Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох

и Оу дуги цепной линии y=chx при 0x1.

1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и =1.

◄ Имеем: Следовательно,

Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.

◄ Имеем:

Отсюда получаем:

В приложениях часто оказывается полезной следующая

Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости ду­ги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.

Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности

◄Вследствие симметрии . При вращении полуокружности вок­руг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем

Отсюда , т.е. центр масс C имеет координаты C.

2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.

Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражает­ся формулой (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью (t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом

то имеем:

Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело удаляется в беско­нечность?

<4| Работа переменной силы / (#), действующей вдоль оси Ох на от­резке [а, Ь], выражается интегралом

2


Похожие работы:

  • Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab

    Реферат >> Математика
    ... и дифференциального исчисления 2. Дифференциал в физике 3. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики 4. Дифференциальные уравнения 5. Примеры решения задач в matlab Список использованных источников ...
  • Математика и физика в средней школе

    Реферат >> Педагогика
    ... случае [9] для решения основной задачи механики достаточно оперировать двумя ... всех сил, приложенных к телу. В некоторых учебных пособиях это ... интеграл на уроках физики и математики [13]. Рис 3.1 При решении предлагаемых задач используются определения ...
  • Физические модели при изучении интеграла в курсе алгебры и начал анализа в 10-11 классах

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... 2.4. Приложения интеграла в физике Заключение Библиография Приложение Введение. Как известно, эффективному обучению во многом способствует решение задач ...
  • Бернулли

    Реферат >> Математика
    ... приложением рядов к интегрированию и на этом пути открыл общую формулу разложения в ряд интеграла ... решению физико-механических задач, в том числе задачи и цепной линии — одной из первых задач механики ... решении некоторых задач механики; ... к определенному пределу, ...
  • Ряды Фурье и их приложения

    Реферат >> Математика
    ... некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией. 2. Определение ... каждый интеграл, ... физике и её приложениях к конкретным задачам механики и физики ... решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение ...
  • Применение интегралов к решению прикладных задач

    Курсовая работа >> Математика
    ... Институт Физико-математический факультет. Курсовая работа на тему Применение интегралов к решению прикладных задач ... потребуется интеграл. Остановимся на определении статического момента относительно оси x масс, расположенных вдоль некоторой ...
  • Технология теории решения изобретательных задач (ТРИЗ)

    Контрольная работа >> Математика
    ... физики имеют одну и ту же математическую структуру. Например, если в механике ... что интеграл от дифференциала ... является определенным распределением ... решения. Пространственный анализ задачи по таблице Бартини в некотором ... ], где в приложении есть время даже ...
  • Интеграл Лебега-Стилтьеса

    Дипломная работа >> Математика
    ... физиков и математиков переходом от момента точки к моменту отрезка приводило к новому определению интеграла ... определенного интеграла Римана. Затем в этих же общих приложениях ... если равна функции задачи 3). Решение: Массы величины ... по Стилтьесу было еще ...
  • Решение проблемы механизации садоводства и виноградарства

    Реферат >> Ботаника и сельское хоз-во
    ... Продукт, в некотором роде, характеризует ... приложенных нагрузок, меняет свои параметры. Согласно законов строительной механики ... кривой эллиптического интеграла Лежандра (1771 ... решение задачи сводилось к определению ... основе изучения физико - механических ...