Реферат : Эрмитовы операторы 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Эрмитовы операторы




Эрмитовы операторы

Содержание

Линейные операторы

Линейные уравнения

Эрмитовы операторы

Линейные операторы

Пусть M и N — линейные множества. Оператор L, преобразующий элементы множества M в элементы множества N, называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство

L(λ+ μg) = λLf + μLg (1)

При этом множество M = ML называется областью определения оператора L. Если Lf = f при всех f Є M, то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.

Линейные уравнения

Пусть L — линейный оператор с областью определения ML . Уравнение

Lu = F (2)

называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из ML решением этого уравнения.

Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение

Lu = 0 (3)

называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).

В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.

Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения ио этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)

и = ио + ŭ.

Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в ML, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в ML . Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в ML. Обозначим через Rl область значений оператора L, т.е. (линейное) множество элементов вида {Lf}, где f пробегает ML. Тогда для любого F Є Rl уравнение (2) имеет единственное решение и Є ML , и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из Rl соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к оператору L и обозначается через L-1, так что

и = L-1F. (4)

Оператор L-1, очевидно, является линейным и отображает Rl на ML. Непосредственно из определения оператора L-1, а также из соотношений (2) и (4) вытекает:

L L-1F = F, F Є Rl ; L-1Lu = u, и Є ML,

т.е. L L-1=I, L-1L = I.

Если линейный оператор L имеет обратный L-1, то системы функций {φk} и {Lφk} одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φk принадлежат ML.)

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Lu = λu, (5)

где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из ML. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из ML, называются собственными значениями оператора L, а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 r, линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.

Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u1,...,и2соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация

u0 = c1u1 + c2u2 + ... + crur

также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения

Lu = λ u + f (6)

существует, то его общее решение представляется формулой

и = и* +∑сkиk, (7)

где и* — частное решение (6) и сk, k = l,2,...,r, — произвольные постоянные.

Эрмитовы операторы

Линейный оператор L, переводящий MLСL2(G) в L2(G), называется эрмитовым, если его область определения ML плотна в L2(G) и для любых f и g из Ml справедливо равенство

(Lf,g) = (f,Lg ).

Выражения (Lf, g) и (Lf, f) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L.

Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (Lf, f), f Є Ml, где Ml плотна в L2(G), принимала только вещественные значения.

Линейный оператор L, переводящий Ml С L2(G) в L2(G), называется положительным, если Ml плотна в L2(G) и

(Lf, f) 0, f Є Ml .

В частности, всякий положительный оператор эрмитов.

Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть λ0 — собственное значение, u0 — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L, L u0 = λ0u0. Умножая скалярно это равенство на u0, получим

(Lu0, u0) = (λ0 u0, u0) = λ0 (u0, u0) λ0|| u0||2 = λ0. (8)

Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Lf, f) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ0 — вещественное (неотрицательное) число.

Докажем, что любые собственные функции и1 и и2, соответствующие различным собственным значениям λ1 и λ2, ортогональны. Действительно, из соотношений

Lu1 = λ1 и1, Lu2 = λ2и2,

из вещественности λ1 и λ2 и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств

λ112) = (λ и12) = (Lи12) = (и1,Lu2) = 12и2) = =λ212),

т.е. λ112) = λ212). Отсюда, поскольку λ1 λ2, вытекает, что скалярное произведение 12) равно нулю. Теорема доказана.

Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ12,..., повтори λk столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и12,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция иk:

Luk = λk , иk, k = 1,2,...

Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {φk} состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ1,ψ2,... линейно независимых функций из L2(G) преобразуется в ортонормальную систему φ1,φ2, — следующим процессом ортогонализации Шмидта:

φ1 = ψ1 /||ψ2 || , φ2 = ψ2 – (ψ2, φ1) φ1 / || ψ2 – (ψ2, φ1) φ1 ||

φk = ψk – (ψk, φk-1)φk-1 – … – (ψk,φ1)φ1 / || ψk – (ψk, φk-1)φk-1 – … – – (ψk,φ1)φ1||

При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Таким образом, если система собственных функций {ик} эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:

(Luk,ui ) = λkk,ui) = λkδki

Список литературы

1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.

3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.

Похожие работы:

  • Теория симметрии молекул

    Дипломная работа >> Химия
    ... операторы удобно обозначать , а матрицу оператора в фиксированном базисе – в виде А. 2. Унитарные, ортогональные, эрмитовы операторы ... и матрицы Определение 2. Линейные операторы эвклидова (унитарного) ...
  • Уравнение Дирака в квантовой теории

    Курсовая работа >> Математика
    ... соотношениям (3.15) Пусть операторы . Эти операторы будут эрмитовыми и удовлетворяют перестановочным соотношениям ... другим путем. Оператор Гамильтона коммутирует с эрмитовым оператором (4.11) Где (4.12) Оператор называется оператором спиральности, ...
  • * Алгебры и их применение

    Дипломная работа >> Математика
    ... со всеми операторами π(х). Действительно, В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В* Поэтому эрмитовы операторы В1=, В2 ... = также перестановочны со всеми операторами π(х) и, следовательно, кратны ...
  • *-Алгебры и их применение

    Дипломная работа >> Математика
    ... со всеми операторами π(х). Действительно, В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В* Поэтому эрмитовы операторы В1=, В2 ... = также перестановочны со всеми операторами π(х) и, следовательно, кратны ...
  • Владимира Иннокентьевича Бабецкого (3 семестр)

    Реферат >> Физика
    ... собственных векторов равно: , собственные векторы эрмитова оператора ортогональны, а соответствующие им собственные значения ... n собственных векторов, эти собственные векторы эрмитова оператора ортогональны, если в качестве базиса выбрать ...
  • Соотношения неопределённостей Гейзенберга

    Учебное пособие >> Химия
    ... волновой функции, используя свойство ассоциативности эрмитовых операторов: = . Оператор называется коммутатором (по-русски «перестановщик» ... которых образует спектр собственных функций эрмитова оператора (оператора динамической переменной). Эта ситуация может ...
  • Введение в аксиоматику квантовой механики

    Реферат >> Физика
    ... те, что являются собственными значениями эрмитова оператора данной динамической переменной: . (5.3) Операторные уравнения ... которых образует спектр собственных функций эрмитова оператора (оператора динамической переменной). Эта ситуация может ...
  • Элементарные частицы и космология

    Реферат >> Математика
    ... . Как известно, из свойства эрмитовости оператора следует [6] (47) Из ... ) в стационарных состояниях оператор является оператором полной производной состояния. ... выделить две составляющие оператора, обозначим соответственно внутренний оператор , а внешний ...
  • Хаос, необратимость времени и брюссельская интерпретация квантовой механики

    Реферат >> Наука и техника
    ... невозможно, поскольку мы имеем дело с эрмитовым оператором и используем формализм гильбертова пространства. Одна ... не так. Рассмотрим теперь оператор U+, сопряжённый с оператором U (сопряжённый оператор определяется соотношением =
  • Жизнь и научная деятельность американского математика и физика Яноша фон Неймана

    Реферат >> История
    ... обрела свой естественный язык - язык операторов, действующих в гильбертовом пространстве состояний. ... работу "Общая спектральная теория эрмитовых операторов". В 1929 году фон ... В 1949 выходит работа "О кольцах операторов. Теория разложения". Джон фон Нейман ...