Контрольная работа : Формула Бернулли. Локальная функция Лапласа 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Контрольная работа >> Математика


Формула Бернулли. Локальная функция Лапласа




Контрольная работа 3.

1. Прибор может работать в двух режимах  нормальном и ненормальном. Нормальный режим встречается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный  в 20%. Вероятность выхода прибора за время t в нормальном режиме равна 0,1, в ненормальном  0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.

Решение


Пусть гипотезы и состоят в том что прибор работает:

  • в нормальном режиме, вероятность

- в ненормальном режиме, вероятность

Гипотезы несовместны и сумма их вероятностей равна 1. Значит, гипотезы образуют полную группу.

Пусть событие А состоит в том, что прибор выходит из строя. При условии, что режим работы нормальный, вероятность наступления А равна

При условии что режим работы ненормальный вероятность наступления А

П
о формуле полной вероятности вычислим вероятность того что прибор выйдет из строя за время t

Ответ: 0,22

2. В лотерее каждый десятый билет выигрывает 10 рублей, сам же лотерейный билет стоит 1 рубль. Некто приобрел 10 билетов. Найти вероятность того, что он:

а) не будет в проигрыше;

б) будет в выигрыше.

Решение

Вероятность выиграть по произвольному билету, по формуле классической вероятности равна p=0.1

Проводится n=10 испытаний c одинаковой вероятностью наступления события в каждом.

Для того чтобы игрок не был в проигрыше, должен выиграть хотя бы один билет то есть k>=1

Для того чтобы игрок был в выигрыше, должно выиграть как минимум два билета или k>1

По формуле Бернулли,

Теперь найдем вероятность противоположного события p(k>=1)=1-p(k<1)=1-0.349=0.651 – вероятность не оказаться в проигрыше

P(k>=1)=p(k>1)+p(k=1) – вероятность суммы несовместных событий

P(k>1)=p(k>=1)-p(k=1)=0.651-0.387=0.264 – вероятность выигрыша

Ответ: а)0,651 б)0,264

3. Семена некоторых растений прорастают с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 2000 посаженных семян прорастает:

а) 1600 семян;

б) не менее 1600 семян.

Решение

Мы имеем дело с серией последовательных независимых испытаний, в каждом из которых с одинаковой вероятностью может произойти событие А (семя прорастает)

Количество испытаний n=2000

Вероятность наступления события А равна p(A)=0.8=p

q=1-p=1-0.8=0.2

Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. В силу того, что n достаточно велико, удобно применить для вычислений локальную теорему Муавра-Лапласа. Вероятность того, что событие А наступит ровно k=1600раз, приблизительно равна

Здесь - локальная функция Лапласа, значения которой можно взять из таблиц.

Получим

Ответ :0,0223

4. В коробке лежат 10 исправных и 3 неисправных батарейки. На удачу извлекаются 3 батарейки. Составить закон распределения случайной величины --- числа исправных батареек среди извлеченных.

Решение

Пусть Х- дискретная случайная величина- число неисправных батареек. Х может принимать значения 0,1,2 или 3. Найдем вероятности каждого из значений Х.

В
ероятность для каждой батарейки быть неисправной определяем по формуле классической вероятности.

Проводится n=3 испытания Бернулли в каждом из которых p=0.231, q=1-p=0.769

По формуле Бернулли

Проверка: p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)=0.455+0.410+0.123+0.012=1.00

Получаем закон распределения случайной величины Х:

Х

0

1

2

3

Р

0,455

0,410

0,123

0,012

5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону, причем P(X>2) = 0,5, а P(1<X<3) = 0,8. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение

Для случайной величины X с нормальным распределeнием вероятность попадания в интервал равна


,где Ф(х) – интегральная функция Лапласа,

значения которой табулированы.

По этой формуле

О
тсюда следует что

Из таблиц определяем a=2 – математическое ожидание Х

Кроме того


Значит


из таблицы определяем что -среднеквадратическое

отклонение

Дисперсия

Ответ : Математическое ожидание

Дисперсия

Похожие работы:

  • Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности

    Курсовая работа >> Математика
    ... Содержание 1. Введение 2. Формула Бернулли 3. Локальная формула Муавра-Лапласа 4. Формула Пуассона 5. Теорема Бернулли о частоте вероятности Список ... положительного числа , приближенно равна удвоенной функции Лапласа при : . Доказательство.Будем считать ...
  • Серьёзные лекции по высшей экономической математике

    Реферат >> Математика
    ... локальной" функции Лапласа. Если n достаточно велико, а p не сильно отличается от 0,5, имеет место интегральная формула Лапласа ... и считать вероятности всех частот: x=0,1,2,... по формуле Бернулли. Формула Бернулли при заданных числах p и n позволяет ...
  • Теория вероятности

    Реферат >> Статистика
    ... распределению. 9. Вероятность редких событий. Формула Пуассона. Применение формулы Бернулли сопряжено с расчетами трех факториалов ... способом решения задачи является интегрирование локальной функции Лапласа. Если вероятность p появления событий Е в каждом ...
  • Разложение функций. Теория вероятностей

    Учебное пособие >> Математика
    ... переоценены по формуле Бейеса: Формула Бернулли Пусть ... n достаточно большое. Локальная теорема Лапласа Вероятность того, что ... Лапласа. Преобразование по Лапласу функции f(t) называется F(p), зависящая от комплексной переменной и определяемая формулой ...
  • Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей

    Учебное пособие >> Математика
    ... наводяться такі формули, називаються граничними теоремами схеми Бернуллі. Локальна теорема Лапласа. Якщо ... рністю 0,75. Графік функції Лапласа наведено на рис. 309. ... 1. Випадковою величиною називається числова функція, визначена в просторі елементарних под ...
  • Функция многих переменных

    Учебное пособие >> Математика
    ... локального максимума (минимума) функции z=f(x;у), а число f(М0) - локальным максимумом (минимумом) этой функции. Точки максимума и минимума функции ... интеграл” ввёл Якоб Бернулли в 1690 году. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором ...
  • Теория вероятностей. От Паскаля до Колмогорова

    Курсовая работа >> Математика
    ... выдающиеся математики Я. Бернулли, Н. Бернулли, Муавр, Лаплас и др. ... а затем доказал локальную теорему, названную ... значения с вероятностями, задаваемыми формулами Бернулли. Н. Бернулли, Монмор и Муавр, ... условной сходимости функций распределения нормированных ...
  • Курс лекций по теории вероятностей

    Реферат >> Математика
    ... «неудача» — с вероятностью q = 1 - p. Теорема 10 (Формула Бернулли). Обозначим через vn число успехов ... а вероятность успеха постоянна. Локальная теорема Муавра – Лапласа Пусть .Предположим, что ... есть ЧИСЛО! E1. Для произвольной функции функция g : R  R ...
  • Экзаменационные билеты по математике

    Реферат >> Математика
    ... функции. Описать области определения и значений функции y = . Что такое схема Бернулли? Записать асимптотические формулы Муавра-Лапласа ... двух функций. Правило дифференцирования сложной функции. Определение точки локального минимума функции. Необходимое ...
  • Незалежні випробування

    Курсовая работа >> Математика
    ... 17. 2. Локальна формула Муавра-Лапласа Легко бачити, що користуватися формулою Бернуллі при бі ... приблизно дорівнює подвоєної функції Лапласа при : . Доказ. Будемо вважати ... . – К., 2004 Додатки Додаток 1 Таблиця значень функції 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.6 1109 1092 ...