Контрольная работа : Методы оптимизации при решении уравнений 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Контрольная работа >> Математика


Методы оптимизации при решении уравнений




Контрольная работа

«Методы оптимизации при решении уравнений»

Задание №1

Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.

Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:

Используем краевые условия:

Решаем систему уравнений и получаем:

Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида

Так как

то функционал на прямой достигает минимума.

Задание №2

Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление , минимизирующее функционал для системы, описываемой уравнениями

,

при начальных и конечных условиях соответственно:

A

B

t0

tf

x0

xf

a

b

0 1

0 0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

Решение

Формируем задачу по исходным данным:

(1)

(2)

Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:

и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):

(3)

(4)

Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):

и находим общее решение

(5)

Подставим его в первое уравнение (1):

и находим общее решение:

(6)

Для из (6) и из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С1, С2, С3, С4,:

Таким образом, решение имеет вид:

которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.

Задание №3

Для системы, описываемой уравнениями

с заданными условиями на начальное и конечное значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал

A

B

t0

tf

x0

xf

g0

a

b

0 1

0 0

0

1

0

t

1

0

x1(tf) = -tf2

0

0

1

Решение. Формулируем задачу по исходным данным

(1)

(2)

т.е. , подвижна на правом конце, координата - свободна на правом конце,

Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)

(3)

и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

(4)

(5)

(6)

Составим вспомогательную функцию

,

где . Таким образом:

. (7)

Поскольку и подвижны, то используем условия трансверсальности:

(8)

(9)

Так как не фиксирован момент времени , то используем условие трансверсальности

Найдем значение при из (3), но учтем, что , а из (9). Тогда, учитывая (4):

и используя (10) получим:

(11)

Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:

(12),

(13)

Используя начальные условия, можем записать:

Запишем условие с учетом (13). Тогда:

(14)

Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С1, С2 и :

Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим:

,

а подставляя 1-е в третье, получим:

Таким образом, решение имеет вид:

Задание №4

Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы

A

B

t0

tf

F

a

b

0 1

0 0

0

1

0

0

1 0

0 2

1

Решение:

Формируем задачу по исходным данным.

(1)

не ограничено, то есть .

Составим уравнение Беллмана с учетом того, что (S-функция Беллмана)

(2)

(3)

(4)

Из (3) находим:

(5)

Подставим (5) в (4)

(6)

Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы

(7)

причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит

(8)

т.е. матрица должна быть положительно определённой.

Вычисляя выражения:

(9)

подставим их в (6) и обратим коэффициенты при , и в ноль, т.к. справа у нас ноль:

Отсюда:

(10)

(11)

(12)

Если , то S < 0, что нельзя допустить. Тогда:

а следовательно а12 и а22 должны быть одного знака, так как а11 > 0.

Тогда а12 = 1/2, а22 = 1, а11 = 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)):

Задача 5

Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы

в задаче:

А

В

t0

tf

х0

xf

|u|

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0

0

1

0

1

0

0

0

x1max

0

0

1

Решение:

Формируем задачу по исходным данным:

(4)

Составим функцию Гамильтона

Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид:

(5)

(6)

(7)

Поскольку – подвижна, то используем условие трансверсальности:

Но из (5) видно, что 1 = С1 С1 = 1. Тогда из (7) видно, что 3 = t2/2-C2t+C3, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень 3 = 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.

Из принципа максимума следует:

,

а следовательно:

Тогда, поскольку 3 меняет знак дважды, (пусть в моменты t1 и t2) можем записать

(8)

Подставим в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3)

(9)

Используя начальные и конечные условия для х3 и условия непрерывности в t1 и t2 получим:

(10)

Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:

(11)

Используя начальные и конечные условия для х2 и условия непрерывности в t1 и t2, получим:

Используем непрерывность при и :

Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:

(12-14)

Подставив (12) в (13), получим уравнение

.

Подставим (13) в полученное уравнение (вместо ):

Тогда t1 из (12) равно

и, наконец,

Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):

(15)

Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:

Таким образом: моменты переключения: t1=1/4, t2=3/4, а заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.

Задание №6

Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:

где

.

Решение:

Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);

Y = (B, AB, A2B):

Таким образом

Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что

.

Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.

Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):

H=(CT, ATCT, (AT)2 CT);

.

Таким образом

Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что

Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.

Задание №7

Для линейной системы и квадратичного критерия

выполнить синтез оптимального управления с обратной связью

A

B

Q

R

0 1

1 0

1

0

1 0

0 0

1

Решение: Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:

где

,

причем матрица >0 (положительно определена).

Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:

Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы , получим:

Тогда для уравнения, которое имеет вид

получим:

Похожие работы:

  • Экзаменационные билеты по методам оптимизации за весенний семестр 2001 года

    Реферат >> Математика
    ... , где можно использовать методы оптимизации. Сущность оптимальной стратегии при пассивном одномерном поиске. ... МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ Билет № 25 Метод Ритца решения уравнения Эйлера. Оцените эффективность метода дихотомии и сравните ее с эффективностью метода ...
  • Сравнительный анализ методов оптимизации

    Курсовая работа >> Математика
    ... методы, применяемые при решении различного рода уравнений и их систем. В частности, были исследованы метод хорд, касательных, метод ... . лит., 1978. - 320 с. Щетинин Е.Ю. Математические методы оптимизации. Конспект лекций Гилл Ф., Мюррей У., Райт ...
  • Методы анализа управленческих решений

    Реферат >> Философия
    ... параболическая фор­мы связи. Анализ уравнения регрессии и его параметров ... реализуемых решений; • технико-экономическое обоснование решений. На ... методов анализа, прогнозирования, оптимизации и стимулирования улучшения использования ресурсов; применение при ...
  • Методы финансового планирования на предприятии

    Реферат >> Экономика
    ... При планировании финансовых показателей могут применяться следующие методы: нормативный, расчетно-аналитический, балансовый, метод оптимизации ... Метод оптимизации плановых решений. Сущность метода оптимизации плановых решений ... связь выражается уравнением вида: ...
  • Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

    Курсовая работа >> Коммуникации и связь
    ... методами оптимизации. Отличительной чертой этих методов является то, что система уравнений ... методы оптимизации. При использовании методов оптимизации ... решения каких либо СЛАУ. Эти методы принципиально отличаются от методов Ньютна и квазиньютоновских методов ...
  • Методы оптимизации портфеля бескупонных облигаций

    Реферат >> Инвестиции
    ... . В связи с этим возникают сложности при оптимизации; перед инвестором встают следующие вопросы ... численного решения уравнения (1) методом хорд. Выбор в пользу численного решения уравнения (1) по сравнению с приближенным аналитическим решением сделан ...
  • Методы оптимизации функций многих переменных

    Лабораторная работа >> Математика
    ... уравнений с 2 (n+m) неизвестными x1,…,xn,v1,…,vn, λ1,…, λm,y1,…,ym. Решения этой системы, при ... с. Аттетков А.В. Методы оптимизации / А.В. Аттетков, С.В. Галкин, В.С. Зарубин. М.: МГТУ, 2004.432 с. Васильев В.П. Численные методы решения экстремальных ...
  • Решение уравнений средствами Excel

    Учебное пособие >> Информатика, программирование
    ... широкий круг задач оптимизации, в том числе решение различных уравнений и систем уравнений, задачи линейного и нелинейного ... результаты при решении нелинейных задач. Разности (производные) - эта группа служит для указания метода ...
  • Метод экспертных оценок

    Реферат >> Менеджмент
    ... управлении сейчас приобретают методы оптимизации, основанные на ... при груп­повом экспертном оценивании. Решение этой задачи за­висит от использованного экспертами метода измерения. При решении ... к предельным значениям, определяемым уравнениями (5.46), (5.47). ...
  • Решение задач на экстремум

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... учащиеся должны владеть универсальным методом решения задач на оптимизацию, методом, включающим в себя построение некоторой ... часто встречаются экстремальные задачи, при решении которых получается одно уравнение с несколькими переменными, заданными ...