Учебное пособие : Основные правила дифференцирования 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Учебное пособие >> Математика


Основные правила дифференцирования




Лекция № 1

Основные правила дифференцирования

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u v) = u v

2) (uv) = uv + uv

3), если v 0

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций:

1)С = 0; 9)

2)(xm) = mxm-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

Логарифмическое дифференцирование

Дифференцирование многих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этого поступают следующим образом. Если требуется найти y' из уравнения y=f(x), то можно:

  1. Прологарифмировать обе части уравнения (по основанию е) ln y = ln f(x) = j(x).

  2. Продифференцировать обе части равенства, считая ln y сложной функцией от переменной x: .

  3. Выразить y' = y·j'(x) = f(x)·(lnx)'.

Примеры.

  1. y = xa – степенная функция с произвольным показателем.

.

Показательно-степенная функция и ее дифференцирование

Показательно-степенной функцией называется функция вида y = uv, где u=u(x), v=v(x).

Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.

Примеры

  1. .

Таблица производных

Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать u=u(x), v=v(x), С=const. Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

а).

б) .

  1. .

  2. .

.

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. .

  7. .

  8. .

  9. .

Примеры

  1. . Найти y'(–1).

Производная обратных функций

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

т.к. g(y)  0

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

Известно, что

По приведенной выше формуле получаем:

Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Понятие дифференциала функции. Связь между дифференциалом и производной

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции в некоторой точке х0  [a; b] определяется равенством

Следовательно, по свойству предела

Умножая все члены полученного равенства на Δx, получим:

Δy = f '(x0Δx + a·Δx.

Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f '(х0) ≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx. Главную часть приращения функции, т.е. f '(х0)·Δx называют дифференциалом функции в точке х0 и обозначают через dy.

Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f '(x) в точке x, то произведение производной f '(x) на приращение Δx аргумента называют дифференциалом функции и обозначают:

dy = f '(x)·Δx

(1)

Найдем дифференциал функции y= x. В этом случае y' = (x)' = 1 и, следовательно, dy=dx=Δx. Таким образом, дифференциал dxнезависимой переменной xсовпадает с ее приращением Δx. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:

dy = f '(x)dx

Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную f '(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке.

Справедливо и обратное утверждение.

Если для данного значения x приращение функции Δy = f(x+Δx) – f(x) можно представить в виде Δy = A·Δx + α, где α – бесконечно малая величина, удовлетворяющая условию , т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x, то эта функция имеет производную в точке x и f '(x)=А.

Действительно, имеем , и так как при Δx→0, то .

Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.

Примеры. Найти дифференциалы функций:

  1. .

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM1. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка

M1(x+Δx; y+Δy).

Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT.

Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.

Теорема об инвариантности дифференциала

Ранее мы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функции y=f '(u) имеет вид dy = f '(u)du.

Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимой переменной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)). Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:

.

Следовательно, по определению

,

но g'(x)dx= du, поэтому dy= f'(u)du.

Мы доказали следующую теорему.

Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(u), для которой u=g(x), имеет тот же вид dy=f'(u)du, какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.

Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример. . Найти dy.

Учитывая свойство инвариантности дифференциала, находим

.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.

Откуда

f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

Примеры:

  1. y = x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3,01.

Имеем Δy≈dy=f'(x)·Δx.

f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.

Поэтому Δy ≈ 4·0,01 = 0,04.

  1. Вычислить приближенно значение функции в точке x = 17.

Пусть x0= 16.

Тогда Δx = x – x0= 17 – 16 = 1,

,

.

Таким образом, .

  1. Вычислить ln 0,99.

Будем рассматривать это значение как частное значение функции y=lnx при х=0,99.

Положим x0 = 1. Тогда Δx = – 0,01, f(x0)=0.

, f '(1)=1.Поэтому f(0,99) ≈ 0 – 0,01 = – 0,01.

Похожие работы:

  • Правила дефферинцирования

    Реферат >> Математика
    ... государственный гуманитарно-технологический колледж 2010 Основные правила дифференцирования Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х. 1) (u  v) = u  v 2) (uv) = uv + uv 3), если ...
  • Основные правила оформления схем

    Курсовая работа >> Коммуникации и связь
    ... и построение схем 4 Основные правила форматирования 5 Общие правила составления рисунка 6 Основные обозначения II Основные типы электрических ... х:у Деление частоты FR или fr Дифференцирование D/DT или d/dt Зона нечувствительности ...
  • Основные правовые системы современности

    Реферат >> Право
    ... основных правовых семей со­временности выступает необходимой предпосылкой многоаспект­ного, разностороннего дифференцированного ... обновлению законодательства, обеспечению господства права и верховенства закона, незыблимости основных прав и свобод личности, ...
  • Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

    Курсовая работа >> Математика
    ... функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования сложной функции. 4. Пусть F и G — два ... , относящиеся к нелинейному функциональному анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые применения этих понятий. Некоторые ...
  • Дифференцированный подход как условие личностно-ориентированного обучения

    Курсовая работа >> Педагогика
    ... и одноклассниками по законам четко формулируемых правил» [6, с. 417]. Именно в ... начале эксперимента; 3. реализовать основные компоненты дифференцированного подхода как условия личностно- ... фактов, понятий, законов и правил, но и на усвоение наиболее ...
  • Дифференцированное обучение как средство повышения эффективности урока

    Курсовая работа >> Педагогика
    ... ориентированного процесса обучения. [11] Основная задача дифференцированной организации учебной деятельности — раскрыть ... постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает, право и гарантированную воз­можность уделять преимуще­ственное внимание ...
  • Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)

    Реферат >> Математика
    ... . 2.1.Первообразная функция и неопределённый интеграл. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение ... обозначения dх, dу и др., выводятся правила дифференцирования алгебраических выражений, определяется дифференциальное исчисление ...
  • Основные положения охраны труда

    Шпаргалка >> Безопасность жизнедеятельности
    ... окружающих людей. Основные права нанимателя на охрану труда Права нанимателя в ... , а также для определения дифференцированных тарифов (взносов) на государственное ... условиях труда, обоснования размера дифференцированных тарифов (взносов) на государственное ...
  • Право собственности

    Курсовая работа >> Государство и право
    ... могут существовать в отрыве от этого основного права. Данным обстоятельством определяется их юридическая ... дифференцирован в рамках двух прямо предусмотренных законом для таких ситуаций ограниченных вещных прав. 2.4 Право ...
  • Право и процесс

    Реферат >> Уголовное право и процесс
    ... основан на конституционных нормах об основных правах и свободах человека как неотчуждаемых ... исправление. Пределы тако­го срока дифференцированны: в случае назначения лишения ... наказания. Уголовный кодекс предусматривает дифференцированные сроки, по отбытии ...