Статья : Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Статья >> Математика


Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора




Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора

Выведены формулы (возможно ранее неизвестные, в широко доступной литературе не встречаются) для решений уравнения Пифагора x^2 + y^2 = z^2. Формулы отличаются от общеизвестных формул древних индусов и вавилонян. Формулы древних индусов:

x= a b, y=2ab, z= a+ b, a > b.

Вывод других формул

Известно, что уравнение x + y = z (1)

имеет целые решения, например, общеизвестные тройки чисел Пифагора. Таких решений, доказал ещё Евклид, имеется бесконечное множество. Тройку целых положительных чисел x,y,z не имеющих общих делителей, назовём оригинальным решением уравнения (1). Далее оригинальные решения будут обозначаться большими буквами X,Y,Z. Пусть далее везде x < y < z.

Так как x, y и z числа целые, то существуют целые положительные числа a и b, такие, что x = za и y = zb, где b < a, так как по условию x < y. Тогда уравнение (1) запишется следующим образом: ( z - a)+ (z - b) = z (2).

После возведения в степень и группирования из (2) получится следующее уравнение:

z2 (a + b ) z + ( a+ b) = 0 (3).

В результате решения уравнения (3) относительно z получим:

z = + a + b; x = + b; y = + a; (4).

Корень не может быть отрицательным в результате решения уравнения (3), потому что по условию не может быть отрицательным или равным нулю ни одно из чисел x,y.

Все три числа целого решения содержат корень , который определяет такие решения и должен быть целочисленным. Кроме того, для получения оригинальных решений числа a и b должны быть взаимно просты, т.е. не иметь общих делителей отличных от 1.

Число является целым в следующих случаях:

- случай 1: a=2c, b=d,=2cd; после подстановки значений a и b в (4) получим:

X=d(2c+d); Y=2c(c+d); Z=2c(c+d)+ d; (5),

здесь a>b, a чётное число, b нечётное, следовательно, X,Z – нечётные, Y чётное;

- случай 2: a=c, b=2d,=2cd; после подстановки значений a и b в (4) получим:

X=2d (c+d); Y=c(c+2d); Z=c(c+2d)+ 2d (6),

здесь a>b, a – нечётное число, b – чётное, следовательно, X – чётное, а Y и Z – нечётные;

примечание: в случаях 1 и 2 числа c и d целые и взаимно простые, потому что таковыми являются a и b. Если определены и целы c и d, то определены и целы все числа X,Y,Z.

Следствия

Общие формулы (46) для решений уравнения (1) доказывают бесконечность множества троек целых решений и могут быть использованы для получения целых решений, не имеющих общих делителей. При этом должно всегда быть a>b, а также a и b должны быть взаимно просты. Так как число b меньшее из последних двух, то удобно обозначать ряды решений по его значению, например, если b=1, то ряд решений P1 (Пифагор).

Ряд P1: b= d=1, a=2c, =2c , где c=1,2,3,…

Подставляя d и c в (5) получим неограниченный ряд оригинальных целых решений X, Y, Z:

X = 2c+1; Y = 2c(c+1); Z = 2c(c+1)+1.

Первые решения этого ряда: 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41; 11,60,61; 13,84,85; 15,112,113; 17,144,145; 19,180,181; 21,220,221; 23,264,265; 25,312,313; 27,364,365; 29,420,421; …

Ряд P2: b=2d=, a=c, =2c , где c=3,5,7,…

Последовательность c начинается с 3, потому что a > b, и нечётна, чтобы не было общих делителей с b. После подстановки d=1 и c в (6):

X = 2(c+1); Y = c(c+2); Z = c(c+2)+2.

Первые решения этого ряда: 8,15,17; 12,35,37; 16,63,65; 20,99,101; 24,143,145; 28,195,197; 32,255,257; 36,323,325; 40,399,401; 44,483,485; 48,575,577; 52,675,677; 56,783,785;…

Ряд P8: b=2d=, a=c, =4c , где c=3,5,7,…

X = 4(c+2); Y = c(c+4); Z = c(c+4)+8.

20,21,29; 28,45,53; 36,77,85; 44,117,125; 52,165,173; 60,221,229; 68,285,293; 76,357,365; 84,437,445; 92,525,533; 100,621,629; 108,725,733; 116,837,845; 124,957,965; …

Ряд P9: b= d=3, a=2c, =6c . где c mod 30, c=4,5,7,8,10,11,…

33,56,65; 39,80,89; 51,140,149; 57,176,185; 69,260,269; 75,308,317; 87,416,425; 93,476,485; 105,608,617; 111,680,689; 123,836,845; 129,920,929; 141,1100,1109; 147,1196,1205; и т.д.

Диофант в своей «Арифметике» рассматривал особую группу троек целых решений уравнения (1), так называемые «хромые» треугольники, катеты которых, т.е. X и Y, отличаются на 1.

Для случая 1 условие существования таких решений: d= 2c1.

Ряд D1: 3, 4, 5; 119, 120, 169; 4059, 4060, 5741; 137903, 137904, 195025; 4684659, 4684660, 6625109; 159140519, 159140520, 225058681; 5406093003, 5406093004, 7645370045; 183648021599, 183648021600, 259717522849; …

Для случая 2 условие существования таких решений: 2d= c1.

Ряд D2: 20,21,29; 696 ,697, 985; 23660, 23661, 33461; 803760, 803761, 1136689; 27304196, 27304197, 38613965; 927538920, 927538921, 1311738121;

31509019100, 31509019101, 44560482149;

1070379110496, 1070379110497, 1513744654945; …

Первый и наименьший такой треугольник – 3,4,5, для которого c=d=1 (случай 1). С помощью простых формул, исходя из него, могут быть вычислены сколько угодно много других «хромых» треугольников (m=1,2,3,…):

d= c+ d; c= 2d + 1; X,Y,Z рассчитываются по (6);

c= c+ d; d= 2c 1; X,Y,Z рассчитываются по (5).

Например, вычислить 1-й треугольник ряда D2:

d= c+ d = 1 + 1 = 2; c= 2d + 1 = + 1 = 9; c = 3.

X = 2d (c+d ) = 2*2(3+2) = 20; Y = c(c+2d ) = 3(3+2*2 ) = 21;

Z = c(c+2d )+ 2d= 3(3+2*2)+2*2= 29.

Следующим является треугольник 2 ряда D1:

c= c+ d = 3 + 2 = 5; d= 2c 1 = 2*25 – 1 = 49; d = 7.

X = d(2c+d) = 7(2*5+7) = 119; Y = 2c(c+d) = 2*5(5+7) = 120;

Z = 2c(c+d) + d= 2*5(5+7)+7= 169.

Формулы (4) могут быть использованы для доказательства большой теоремы Ферма, методом бесконечного спуска, для всех нечётных (в т.ч. всех простых > 2) значений показателя степени n.

Похожие работы:

  • Нестандартные методы решения уравнений и неравенств

    Курсовая работа >> Математика
    ... опубликовал формулу для решения уравнения (1), а кубическое уравнение общего вида предлагал свести к уравнению (1). ... уравнение Пифагора (VI в. до н. э.) х2 + у2= z2 решают в натуральных числах. Его решениями ... неизвестной. При этом надо помнить, что возможно ...
  • Нестандартные методы решения задач по математике

    Курсовая работа >> Математика
    ... теорема Пифагора), ... для решения уравнений ... уравнение (58) в виде квадратного уравнения относительно неизвестной переменной , т.е. (59) Решением уравнения ... решениями уравнения (91) являются , и . Ответ: , , . Пример 59 Решить уравнение (93) Решение. Из формулы ...
  • Решение задач на экстремум

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... . Составим таблицу нескольких значений х и у, пользуясь формулой х -3 -2 -3/2 -1 -1/2 0 1 2 3 … у 7/4 ... уравнений с 2 неизвестными ... возможности и над чем нужно поработать. Воспитательная: воспитание потребности и умения работать в коллективе для решения ... Пифагора ...
  • Диофантовые уравнения

    Реферат >> Математика
    ... пифагоровых чисел можно получить по формулам х =2pq, у = p²-q², z = p2+q2, где ... Сложнее выяснить , для каких натуральных m существует пифагоров треугольник с гипотенузой ... решению линейного уравнения с двумя неизвестными. Оно имеет вид: аx+by=c. (2) Возможны ...
  • История математики. Александрийская школа

    Реферат >> Математика
    ... и формула для определения ... квадратные уравнения, неизвестно, так ... дано. Для решения уравнения 1-й степени ... э.) – олицетворяется Пифагором и его школой. Пифагору предписывают доказательство следующих ... ). В учении о возможности и действительности (потенциальном ...
  • Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... качестве примера рассмотрим теорему Пифагора. Теорема описывает прямоугольный ... указываем на возможность ре­шения еще одним ... уравнение или систему уравнений. 3) Решаем это уравне­ние или систему уравнений. 4) Исследуем получен­ные формулы для неизвестных ...
  • Содержание и значение математической символики

    Дипломная работа >> Математика
    ... по теореме Пифагора можно ... равенство было возможно для величин одинакового ... формулы Кардано». Выведем теперь ее. Рассмотрим уравнение х3 + px + q = 0. Введем новые неизвестные ... изложении метода Феррари для решения уравнения четвертой степени Виет провел ...
  • Алгебраические кривые и диофантовы уравнения

    Статья >> Математика
    ... решения называют пифагоровыми тройками. Вполне возможно, что поиски этих троек и привели к теореме Пифагора ... все рациональные решения уравнения (2) находятся по формулам (5) с ... . Неизвестно также ... в уравнение кривой C, получим для x уравнение третьей степени ...
  • Математизация науки и ее возможности

    Реферат >> Математика
    ... Известно выражение, приписываемое Пифагору: “Все есть ... уравнениями. Но в теории дифференциальных уравнений эти уравнения ... параметры и неизвестные факторы, то ... применять теоремы, формулы, факты установленные ... математикам. Возможно, что для их решения необходимы ...
  • История доказательства Великой теоремы Ферма

    Реферат >> Педагогика
    ... = z3. Найти целочисленные решения уравнения Пифагора, т.е. пифагоровы тройки, было ... уравнения (точно так же, как он доказал свою формулу для ... предрассудков, и для того, чтобы иметь возможность заниматься математикой, ... случай, если неизвестному любителю все же ...