Курсовая работа : Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине (работа 2) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Курсовая работа >> Математика


Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине (работа 2)




Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО СЕТОЧНЫМ МЕТОДАМ

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Преподаватель: Станкевич И.В.

Группа: ФН2-101

Студент: Смирнов А.В.

Москва 2002

Содержание

Постановка задачи 3

Решение 4

Триангуляция. 5

Метод конечных элементов 6

Список литературы: 12

Постановка задачи

Рассчитать установившееся температурное поле в плоской пластине, имеющей форму криволинейного треугольника с тремя отверстиями (см. рисунок).

К внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью . На внутренних границах конструкции происходит теплообмен со средой, характеризующийся коэффициентом теплообмена и температурой среды . Коэффициент теплопроводности материала пластины

Рис. 1

Решение

Введем декартову систему координат , выбрав начало координат и направим оси x и y так, как показано на рис.2.

Рис. 2

Задача теплопроводности в пластине запишется в виде

(1)

(2)

(3)

где - направляющие косинусы вектора внешней нормали к граничной поверхности, - граничная поверхность, на которой происходит теплообмен с коэффициентом теплообмена , - граничная поверхность, на которой задан тепловой поток плотности .

Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменить задачей поиска минимума функционала

. (4)

Решать поставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этого сначала проведем триангуляцию нашей области.

Триангуляция.

Результат триангуляции представлен на рис.3.

Рис. 3

Все выбранные узлы заносятся в список, который содержит информацию о координатах узлов. Номер узла определяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем вести еще список треугольников. В глобальном списке треугольников будет храниться информация о каждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3) трех узлов, составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника определяется его номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника границе может принадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то вершины, которые она соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1 и Top2). Обход треугольника совершается против часовой стрелки.

Метод конечных элементов

Выберем произвольный треугольник (с номером e). Обозначим его вершины и . Каждому узлу треугольника поставим в соответствие функцию формы

, (5)

где , A – площадь треугольника. Тогда температуру в пределах треугольника можно определить с помощью функций форм и значений температуры в узловых точках

. (6)

Функционал (4) можно представить в виде суммы функционалов , каждый из которых отражает вклад в функционал (4) элемента с номером e

. (7)

Минимум функционала (4) находим из условия

(8)

Функционал можно представить в виде

(9)

Здесь , глобальный вектор температур , - матрица градиентов, которая для функций формы (5) примет вид , . Локальный вектор температур . Здесь матрица геометрических связей имеет размерность . Элементы этой матрицы определяются следующим образом: ; все остальные элементы равны нулю.

Продифференцируем функционал (9):

Из выражения (8) с учетом последнего соотношения получаем , где матрица теплопроводности элемента ; вектор нагрузки элемента .

В силу особенностей проведенной триангуляции можно выделить три группы конечных элементов. В первую входят треугольники, у которых сторона ij принадлежит одной из внешних границ. Во вторую – те, у которых та же сторона принадлежит одной из внутренних границ. И, наконец, третью группу составляют элементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой области.

В зависимости от того, к какой группе принадлежит конечный элемент с номером e, матрица и вектор будут определяться несколько различным образом.

Обозначим

.

Поверхностные интегралы можно посчитать с помощью относительных координат . Отрезки, соединяющие любую фиксированную точку P треугольника e c его вершинами, разбивают этот элемент на три треугольные части площадью . Координаты определяются из соотношений .

Используя относительные координаты, можно получить следующие соотношения:

Если конечный элемент с номером e принадлежит к первой группе, то . Если ко второй, то . Наконец, если элемент принадлежит к третьей группе, то .

Вектор температур, удовлетворяющий условию (8) минимума функционала (4), находим решением системы линейных алгебраических уравнений

, (10)

где глобальная матрица теплопроводности K и глобальный вектор нагрузки F определяются по формулам

, . (11)

Для решения задачи (10) применялся следующий алгоритм:

  • Вычисление разложения матрицы ().

  • Оценка числа обусловленности. Если число обусловленности больше ( определяется точностью вычислительной машины), то выдается предупреждение, так как малые отклонения в коэффициентах матрицы могут привести к большим отклонениям в решении.

  • . .

Реализация описанного выше метода проводилась на языке программирования С++ и FORTRAN в среде интегрированной среде разработки Microsoft Visual C++ 6.0. Конечные результаты данной работы приведены на рис.4 - 7.

Рис.4

Рис.5

Рис.6

Рис.7

Список литературы:

  1. Амосов А.А, Дубинский Ю.А, Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с.

  2. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.

  3. Станкевич И. В. Сеточные методы (лекции и семинары 2002 года).

Похожие работы:

  • Исследование магнитных систем в программной системе конечно-элементного анализа ANSYS

    Дипломная работа >> Информатика, программирование
    ... держателем и пластиной. Было получено ... элементы.[1] Классическим описанием двумерного симплекс-элемента является ... теплового баланса и ощущение теплового комфорта ... Г., Шамец С. П. Расчет стационарных магнитных полей и характеристик электротехнических устройств ...
  • Выращивание профильных монокристаллов кремния методом Степанова

    Шпаргалка >> Информатика, программирование
    ... : а - стационарный рост, а ... двумерное уравнение теплопроводности. А. И. Губанов и А. А. Нраньян выполнили расчет распределения температуры в пластинах ... тепловое поле вблизи области столба расплава, экранирует тепловое поле расплава в тигле от теплового поля ...
  • Измерение параметров лазеров

    Реферат >> Технология
    ... излучения в тепловую энергию (тепловой метод) и ... некоторой стационарной температуры, ... магнитном поле (рис. 1.5). Подвижная система 1 с приемной пластиной 2, ... одно- или двумерных электронных " ... j с точностью, обеспечивающей расчет (1-r)4 до 0.001 (т.е. ...
  • Виды теплообмена

    Курсовая работа >> Физика
    ... , могут стать существенными двумерные эффекты. 1.3 Цилиндрические ... для полого цилиндра и плоской стенки. Стационарное одномерное ... тепловой поток нужно не только при течениях в каналах, но и при обтекании пластин ... труб. Для расчета коэффициента теплоотдачи при ...
  • САПР (Cosmos/M)

    Реферат >> Кибернетика
    ... расчета ... полей деформации и на­пряжения; представленные полей деформации и напряжения в изолиниях; векторное представление полей ... стацио­нарные и нестационарные задачи течения жидкости, в которых также могут быть учтены и тепловые ... анализ; двумерный и ... пластины; ...
  • Основы проектирования и конструирования

    Учебное пособие >> Промышленность, производство
    ... штифтом; со срезной пластиной; с разрывным болтом ... В случае стационарных процессов с ... отражаются в двумерной таблице ... инструмента) и поля. Таким образом ... расчетов проектировщика. Последняя подсистема, которую следует упомянуть - САПР ТИ, т.е. подсистема тепловой ...
  • Оптико-электронные системы

    Реферат >> Радиоэлектроника
    ... идеальный фоторезистор; 3 –идеальный тепловой приемник; 4 – пироэлектрический приемник ... двумерные). При одноэлементном сканировании малое мгновенное поле ... с ОЭС стационарного наведения на ... когерентности. Расчет влияния турбулентности ... собой пластины оптического ...
  • Лекции по Физической оптике

    Реферат >> Физика
    ... я_я22. Равновесное тепловое излучение. ... поле и поглощающих энергию из поля. Если в среднемя2мощность излучения в поле ... я2нем стационарны, ... двукратного и двумерного преобразованияя2Фурье. ... точном расчете коэффициент ... мощностья2прошедшего через пластину излучения. ...
  • Подбор видеокарты для дизайнерского моделирования

    Дипломная работа >> Информатика, программирование
    ... Расчет материальных затрат 3.3 Использование ЭВМ 3.4 Расчет технологической себестоимости видеокарты 3.5 Расчет ... поле ... координаты в двумерные, привязанные ... алюминиевых пластин, соединённых ... теплового потока. Для обеспечения надёжного теплового ... - стационарные или ...