Учебное пособие : Метод конечных разностей или метод сеток (работа 2) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Учебное пособие >> Математика


Метод конечных разностей или метод сеток (работа 2)




Метод конечных разностей, или метод сеток

Рассмотрим линейную краевую задачу

(2.24)

(2.25)

,

где , , и непрерывны на [a, b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длины, или шага

.

Точки разбиения 

называются узлами, а их совокупность – сеткой на отрезке [a, b]. Значения в узлах искомой функции  и ее производных   обозначим соответственно через

.

Введем обозначения

Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями:

(2.26)

Формулы (2.26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a, b].

Для граничных точек положим

.  (2.27)

Используя формулы (2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при , (i=1, 2,..., n–1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений

(2.28)

Кроме того, в силу формул (2.27) краевые условия (2.25) дополнительно дают еще два уравнения:

. (2.29)

Таким образом, получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющими собой значения искомой функции  в узлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу (2.24), (2.25) обычно называется разностной схемой. Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной.

Преобразуем уравнения (2.28):

. (2.30)

Введя обозначения

получим

, (i=0, 1,..., n-2). (2.31)

Краевые условия по-прежнему запишем в виде

. (2.32)

Метод прогонки состоит в следующем.

Разрешим уравнение (2.31) относительно :

. (2.33)

Предположим, что с помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий. Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде

, (2.34)

где  и  должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0 из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что

Исключая из этих двух уравнений , найдем

.

Выразим теперь отсюда :

(2.35)

Но, согласно формуле (2.34),

(2.36)

Сравнивая теперь (2.35) и (2.36), найдем, что

(2.37)

Пусть теперь i >0, то есть i=1, 2,..., n2. Выражая  по формуле (2.34), получим:

.

Подставляя это в формулу (2.33), будем иметь

.

Разрешая полученное уравнение относительно, находим

, или

. (2.38)

Отсюда, сравнивая формулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов и рекуррентные формулы:

 

(2.39)

Так как  и  уже определены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можно последовательно определить коэффициенты  и  до  и  включительно. Эти вычисления называются прямым ходом метода прогонки.

Из формулы (2.33) при i=n2 и второго краевого условия (2.32) получаем

Разрешая эту систему относительно, будем иметь

. (2.40)

Теперь, используя (2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти . Это − обратный ход метода прогонки.

Итак, получаем следующую цепочку:

(2.41)

Для простейших краевых условий  

формулы для и  упрощаются. Полагая в этом случае из формул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь

Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. При этом возникает три вопроса.

1) Существует ли решение алгебраической системы типа (2.31)?

2) Как фактически находить это решение?

3) Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0?

Можно доказать, что если краевая задача имеет вид

причем р(x)>0, то решение системы (2.31), (2.32) существует и единственно. Фактическое отыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопрос дает ответ следующая

Теорема

Если  и  дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой

равномерно сходится к точному с погрешностью  при

Таким образом, схема (2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что аппроксимация производной

имеет низкий порядок точности − погрешность этой аппроксимации

Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных:

, (2.42)

, (2.43)

i=1, 2,..., n.

Погрешность формулы (2.42) выражается так:

то есть формула (2.42) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h. Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему:

(2.44)

Где .

Система (2.44) снова трехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты

(2.45)

Затем определяют коэффициенты  по следующим рекуррентным формулам:

(2.46)

Обратный ход начинается с нахождения :

(2.47)

После этого находим по формулам:

, (2.48)

. (2.49)

Относительно схемы (2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при

и ,

и это решение может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеет место

Теорема

Пусть решение граничной задачи (2.24), (2.25) единственно и непрерывно дифференцируемо на [ab] до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия

, , 

то схема (2.44) будет равномерно сходиться к решению задачи (2.24), (2.25) с погрешностью .

Заметим, что условия, приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтому в практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызывает заметного ухудшения расчетных схем.

Похожие работы:

  • Метод конечных разностей или метод сеток

    Реферат >> Математика
    ... решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток. Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного ... называемый точечный или скалярный метод Зейделя, анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для ...
  • Некоторые дополнительные вычислительные методы

    Реферат >> Математика
    ... теплопроводности. Метод конечных разностей (метод сеток) Численные методы, основанные на разностной аппроксимации производных называется разностным методом, методом конечных разностей или методом сеток. Пусть ...
  • Основы теории и технологии контактной точечной сварки

    Учебное пособие >> Промышленность, производство
    ... — это так называемая «методика координатных сеток», которая широко используется для исследований ... . Очевидно, что численные методы расчета температуры при КТС методами конечных разностей или конечных элементов (см. п. 2.4.2), хотя ...
  • Технико-криминалистическая экспертиза документов

    Дипломная работа >> Государство и право
    ... Пьезоэлектрический метод Метод газовых пузырей Метод drop-on ... несовмещенные участки гильоширных сеток. Такая попытка ... или другого вида воздействия на конечный носитель записи, поступающий к пользователю, или ... постоянного веса. По разности в весе (до ...
  • Конечно-разностный метод решения для уравнений параболического типа

    Контрольная работа >> Математика
    ... и простоты реализации вычислительного алгоритма. Метод сеток еще называют методом конечных разностей. 1 Теоретическая часть 1.1 Постановка задач ... α, β – известные коэффициенты теплообмена между газообразной или жидкой средой и соответствующей границей. Для ...
  • Методы численного моделирования МДП-структур

    Реферат >> Математика
    ... числа сосредоточенных элементов или отдельных секций, отражающих ... которая затем решается прямыми или итерационными методами. 3.1. Алгебраизация ФСУ, ... точностью. Метод конечных разностей наиболее удобно реализуется на непрерывных а) б) Рис.2.Виды сеток и ...
  • Экзаменационные билеты по численным методам за первый семестр 2001 года

    Реферат >> Остальные работы
    ... диагональной, единичной, верхней или нижней треугольной, симметричной, ... глобальной интерполяции? В чем заключается метод сеток для решения уравнений в частных ... уравнения методом конечных разностей? Дать определение первых и вторых конечных разностей для ...
  • Методичка курса Экономика предприятия

    Учебное пособие >> Экономика
    ... материальная заинтересованность работника в конечном результате труда; стремление ... на основе различных тарифных сеток I 1 2– на ... доход представляет собой разность между выручкой от ... помощью математических программ или методом аппроксимации. Этот показатель ...
  • Приближенное решение интегрального уравнения

    Курсовая работа >> Математика
    ... : МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ, МЕТОД ЦЕНТРАЛЬНЫХ РАЗНОСТЕЙ, МЕТОД ПРОГОНКИ, МЕТОД ГАЛЕРКИНА, МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ, МЕТОД РИТЦА, МЕТОД ЛИБМАНА, ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ, МЕТОД СЕТОК, ... Издательство «Лань», 2007.- 192с.: ил.- (Учебники для вузов. Специальная литература ...
  • Решение параболических уравнений

    Курсовая работа >> Математика
    ... и простоты реализации вычислительного алгоритма. Метод сеток еще называют методом конечных разностей. Пусть дано дифференциальное уравнение ... использовании которых небольшие ошибки в начальных или промежуточных результатах не приводят к большим ...