Контрольная работа : Кривые второго порядка. Квадратичные формы 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Контрольная работа >> Математика


Кривые второго порядка. Квадратичные формы




Высшая математика

Кривые второго порядка

Квадратичные формы

Содержание

1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи

2. Знакоопределенность квадратичных форм

3. Критерии положительной и отрицательной определенностей

Литература

1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи

Квадратичной формой  (х1, х2, …, xn) n действительных переменных х1, х2, …, xn называется сумма вида

,(1)

где aij – некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что aij = aji.

Квадратичная форма называется действительной, если aij  ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица

то есть АТ = А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде  (х) = хТАх, где

хТ = (х1 х2xn). (2)

И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной.

Пример 1.

Записать матрицу квадратичной формы

 (х1, х2, x3) = – 6х1х2 – 8х1х3 + + 4х2х3

и найти ее ранг.

Решение.

r(A) = 3 

квадратичная форма невырождена.

2. Знакоопределенность квадратичных форм

Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (или строго положительной), если (х) > 0, для любого х = (х1, х2, …, xn), кроме х = (0, 0, …, 0).

Матрица А положительно определенной квадратичной формы (х) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот.

Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если (х) < 0, для любого х = (х1, х2, …, xn), кроме х = (0, 0, …, 0).

Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квадратичной формы также называется отрицательно определенной.

Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма (х) достигает минимального (максимального) значения (х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).

Отметим, что большая часть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являются ни положительными, ни отрицательными. Такие квадратичные формы обращаются в 0 не только в начале системы координат, но и в других точках.

Пример 2.

Определить знакоопределенность следующих квадратичных форм.

1)

т. е. квадратичная форма является положительно определенной.

2)

т. е. квадратичная форма является отрицательно определенной.

3)

данная квадратичная форма не является знакоопределенной, так как она равна 0 во всех точках прямой х1 = –х2, а не только в начале системы координат.

Когда n > 2 требуются специальные критерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их.

Главными минорами квадратичной формы называются миноры:

то есть это миноры порядка 1, 2, …, n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителем матрицы А.

3. Критерий положительной и отрицательной определенности

Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)

Для того чтобы квадратичная форма  (х) = хТАх была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть:

М1 > 0, M2 > 0, …, Mn > 0.

Критерий отрицательной определенности

Для того чтобы квадратичная форма  (х) = хТАх была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, то есть:

М1 < 0, M2 > 0, М3 < 0, …, (–1)n Mn > 0.

Пример 3.

При каких значениях а и в квадратичная форма будет положительно определенной?

 (х1, х2, x3) =

Решение.

Построим матрицу А и найдем ее главные миноры.

М1 = 1 > 0,

= а – 1 > 0  а > 1.

= ав – а – в > 0 в > .

Ответ:

а > 1, в > .

Пример 4.

При каких значениях а и в квадратичная форма будет отрицательно определенной?

 (х1, х2, x3) =

Решение.

М1 = –1 < 0,

= –а – 1 > 0  а < –1.

= –ав – а – в < 0 в > – .

Ответ

а < –1, в > –.

Пример 5.

Доказать, что квадратичная форма

 (х1, х2, x3) =

положительно определена.

Решение.

Воспользуемся критерием Сильвестра. Построим матрицу А и найдем главные миноры матрицы А.

М1 = 6 > 0, = 26 > 0, М3 =  А  = 162 > 0

  (х1, х2, x3)

положительно определенная квадратичная форма.

Литература

1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.

2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.

Похожие работы:

  • Кривые второго порядка

    Реферат >> Математика
    ... свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой: Так ...
  • Плоские кривые

    Дипломная работа >> Математика
    ... особенности формы получающихся при квадратичном преобразовании кривых 4-го порядка можно, осуществляя преобразование заданной кривой второго порядка аналитически ...
  • Единое пересечение кривых в пространстве

    Курсовая работа >> Математика
    ... для кривых второго порядка Пучок кривых второго порядка Теорема единственности для поверхностей второго порядка Список литературы Введение Впервые кривые второго порядка ...
  • Методические материалы по учебной дисциплине "Высшая математика" для студентов I курса заочной формы обучения

    Учебное пособие >> Математика
    ... 1.8 Понятие квадратичной формы. Положительно определенные квадратичные формы. Условия Сильвестра. Приведение квадратичной формы к каноническому ... точки до прямой. 2.3 Канонические уравнения кривых второго порядка; окружности, эллипса, гиперболы, параболы ...
  • Геометрия Лобачевского

    Реферат >> Математика
    ... Р2, порожденной векторным пространством V, квадратичная форма g(х, х) определяет линию второго порядка Q : Ф (X) = 0, где Ф (X) = g(х, х), и ... преобразования образуют стационарную подгруппу НQ кривой второго порядка Q. Пусть — ортонормированный базис ...
  • Проектирование антенны Кассегрена

    Курсовая работа >> Коммуникации и связь
    ... косинусоидальное амплитудное распределение и квадратичное фазовое. Взяв интеграл предполагая ... зеркала параболической формы подчиняется нормальному ... и вспомогательного зеркала – кривые второго порядка. Уравнение кривой второго порядка, записанное в полярных ...
  • Высшая математика для менеджеров

    Дипломная работа >> Математика
    ... координатной форме, d = xо cos + yо sin - р . Общее уравнение кривой второго порядка имеет ... ограничиваясь случаями линейной и квадратичной зависимости. Пусть требуется ... уравнения способа наименьших квадратов для квадратичной зависимости y = ax2 + ...
  • Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года

    Реферат >> Остальные работы
    ... на плоскости. Какую линию называют кривой второго порядка на плоскости? Уравнение эллипса, гиперболы ... характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение ...
  • Развитие аналитической геометрии

    Реферат >> Математика
    ... квадратных (коэффициенты которых, между прочим, квадратично ир­рациональны относительно исходных коэффициентов). Попутно ... уравнениям кривых второго порядка. Дело в том, что, как правильно писал Г. Цейтен, «геометрическая форма, приданная ...
  • Проявление симметрии в различных формах материи

    Реферат >> Естествознание
    ... (центра симметрии, поперечной оси второго порядка, зеркально-поворотной оси, поперечной ... то Е=р /2т. Это обычный квадратичный закон дисперсии. Однако с переходом ... неодинаковая встречаемость L и D форм, наличие в нем кривых линий и поверхностей. Послед­нее в ...