Статья : Краткое доказательство великой теоремы Ферма 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Статья >> Математика


Краткое доказательство великой теоремы Ферма




1


Файл FERMA-KDVar © Н. М. Козий, 2008

Свидетельство Украины № 27312

о регистрации авторского права

КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

Аn+ Вn = Сn* /1/

где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n – целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех чисел А, В или С - целые положительные числа, одно из этих чисел не является целым положительным числом.

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим оба случая.

1. Случай первый: показатель степени n - нечетное число.

В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:

Аn + Вn = Сn = (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2- …-A·Bn-2+Bn-1] /2/

Полагаем, что A и B – целые положительные числа.

Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа С.

Допустим, что число С - целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

Сn = An + Bn =(A+B)n∙ Dn , /3/

где множитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /3/ следует:

/4/

Из уравнения /3/ также следует, что число [Cn = An + Bn] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число (A+B)n . Однако известно, что:

An + Bn < (A+B)n /5/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /6/

- дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При нечетных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Из анализа уравнения /2/ следует, что при нечетном показателе степени n число:

Сn = Аn + Вn = (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2- …-A·Bn-2+Bn-1]

состоит из двух определенных алгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени n неизменным остается алгебраический множитель (A+B).

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.

  1. Случай второй: показатель степени n - четное число.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом:

An = Cn - Bn /7/

В этом случае уравнение /7/ преобразуется следующим образом:

An = Cn - Bn = (С+B)∙(Cn-1 + Cn-2 · B + Cn-3∙ B2 +…+ CBn-2 + Bn-1 ). /8/

Принимаем, что С и В – целые числа.

Из уравнения /8/ следует, что при заданных значениях чисел B и C множитель (С+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа A.

Допустим, что число А – целое число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

Аn = Сn - Bn =(С+B)nDn , /9/

где множитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /9/ следует:

/10/

Из уравнения /9/ также следует, что число [Аn = Сn - Bn] при условии, что число А – целое число, должно делиться на число (С+B)n . Однако известно, что:

Сn - Bn < (С+B)n /11/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /12/

- дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При четных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах и при четном показателе степени n >2.

Из изложенного следует общий вывод: уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах А, В и С при условии, что показатель степени n >2.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОБОСНОВАНИЯ

В том случае когда показатель степени nчетное число, алгебраическое выражение (Cn - Bn) раскладывается на алгебраические множители:

C2 – B2 = (C-B) ∙ (C+B); /13/

C4 – B4 = (C-B) ∙ (C+B) (C2 + B2); /14/

C6 – B6 = (C-B) ∙ (C+B) · (C2 –CB + B2) ∙ (C2 +CB+ B2); /15/

C8 – B8 = (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C2 + B2) ∙ (C4 + B4). /16/

Приведем примеры в числах.

ПРИМЕР 1: В=11; С=35.

C2 B2 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) = 24 · 3 · 23;

C4 B4 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) = 24 · 3 · 23 · 673;

C6 B6 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (312) ·(3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 312 ∙ 577;

C8 B8 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) ∙ (2 · 75633) = 25 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633.

ПРИМЕР 2: В=16; С=25.

C2 B2 = (32) ∙ (41) = 32 ∙ 41;

C4 B4 = (32) ∙ (41) · (881) =32 ∙ 41 · 881;

C6 B6 = (32) ∙ (41) ∙ (22 ∙ 3) ∙ (13 · 37) · (3 ∙ 7 · 61) = 33 · 7 ∙ 13· 37 ∙ 41 ∙ 61;

C8 B8 = (32) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 ·26833) = 32 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 ·26833.

Из анализа уравнений /13/, /14/, /15/ и /16/ и соответствующих им числовых примеров следует:

- при заданном показателе степени n, если он четное число, число Аn = Сn - Bn раскладывается на вполне определенное количество вполне определенных алгебраических множителей;

- при любом показателе степени n, если он четное число, в алгебраическом выражении (Cn - Bn) всегда имеются множители (C-B) и (C+B);

- каждому алгебраическому множителю соответствует вполне определенный числовой множитель;

- при заданных значениях чисел В и С числовые множители могут быть простыми числами или составными числовыми множителями;

- каждый составной числовой множитель является произведением простых чисел, которые частично или полностью отсутствуют в составе других составных числовых множителей;

- величина простых чисел в составе составных числовых множителей увеличивается с увеличением этих множителей;

- в состав наибольшего составного числового множителя, соответствующего наибольшему алгебраическому множителю, входит наибольшее простое число в степени, меньшей показателя степени n (чаще всего в первой степени).

ВЫВОДЫ: дополнительные обоснования подтверждают заключение о том, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

Автор: Николай Михайлович Козий,

инженер-механик

E-mail: nik_krm@mail.ru

Похожие работы:

  • История доказательства Великой теоремы Ферма

    Реферат >> Педагогика
    ... к доказательству в кратких записях на полях «Арифметики» Диофанта. Хотя Ферма не оставил развернутого доказательства Великой теоремы, он ...
  • Пьер де Ферма

    Реферат >> Математика
    ... Паппа, содержащий краткую сводку результатов Аполлония о свойствах конических сечений. Ферма, полиглот, знаток ... , которому принадлежит первое абсолютно строгое доказательствоВеликой теоремы Ферма” для n=3. Доказательство для случая n=5 предложили почти ...
  • Пьер де Ферма

    Реферат >> Математика
    ... Паппа, содержащий краткую сводку результатов Аполлония о свойствах конических сечений. Ферма, полиглот, знаток ... , которому принадлежит первое абсолютно строгое доказательствоВеликой теоремы Ферма” для n=3. Доказательство для случая n=5 предложили почти ...
  • Научная контрреволюция в математике

    Реферат >> Математика
    ... великими кризисами в основаниях математики, хотя их и разделяют тысячелетия? Если быть кратким ... Остается подозрение, что доказательство теоремы Кантора представляет собой ... страницах, как знаменитое доказательство Великой теоремы Ферма, недавно анонсированное ...
  • Нестандартные методы решения уравнений и неравенств

    Курсовая работа >> Математика
    ... уже с V в. н. э. Квадратные уравнения классифицируются в трактате «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы» ... ) и Петер Дирихле (1805 — 1859) — для п = 5. Доказательство великой теоремы Ферма в общем случае не удавалось долгие ...
  • История математики. Александрийская школа

    Реферат >> Математика
    ... использованию более кратких записей при помощи ... доказательств. Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней. В прошлом веке Куммер, занимаясь Великой теоремой Ферма ... М.: Наука, 1967 Стройк Д. Краткий очерк истории математики. М.; ...
  • Исторические экскурсы в курсе алгебры 7 класса как средство развития познавательного интереса

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... 2′; г) D1 (-4; 7); D2 (-4; 4); D3 (-4; - 1); D4 (-4; - 4) - самостоятельно 2′. 5.4 Доказательство тождества № 715 (а) - самостоятельно 5′: а) (а - 4) (а + 2) + 4 = (а + 1) (а - 3) - ... великой теоремы Ферма", ... кроссвордов); 6 - краткое упоминание о личности ...
  • Развитие точных наук в 20-м веке и христианская апологетика

    Реферат >> Наука и техника
    ... человеческой деятельности. В данном кратком обзоре приводятся факты и соображения ... знаменитым результатом явилось доказательство в 1995 так называемой Великой теоремы Ферма, поставленной в ... Свв. Отцами: Василием Великим, Иоанном Златоустом, Феофилактом ...
  • Разработка методического пособия на тему "Генерация простых чисел"

    Дипломная работа >> Математика
    ... теста Ферма лежит теорема Ферма. Ее формулировка приведена в тексте пособия (без доказательства) Теорема Ферма (малая ... числа. Если расхождение слишком велико, то можно сделать вывод, ... простых чисел». А именно: краткое изложение теории, задания для выполнения ...
  • Введение в физику черных дыр

    Реферат >> Наука и техника
    ... эйнштейновской теории гравитации. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОБЩЕЙ ... квантовых эффектов, Доказательство этой теоремы основано на том ... состояния идеального (вырожденного) ферми-газа, для высоты ... Энергия вырожденных электронов настолько велика, что энергетически более ...