Реферат : Интерполирование и приближение функций 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Интерполирование и приближение функций




Міністерство освіти і науки України

Національний технічний університет

“ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

Кафедра “Обчислювальної техніки та програмування”

Реферат з курсу “Численные методы

Тема: “ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Виконав:

студент групи

Перевірив:

Харків

Содержание

1. Разделенные разности

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

3. Интерполяционный многочлен Ньютона

4. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Литература

1. Разделенные разности

Часто экспериментальные данные функциональной зависимости представляются таблицей, в которой шаг по независимой переменной не постоянен. Для работы с таким представлением функции конечные разности и конечно-разностные операторы не пригодны. В этом случае первостепенную роль играют разделенные разности.

Разделенную разность функции f(x) для некоторых двух точек и определяют следующей дробью:

Для построения степенного многочлена, проходящего через заданные точки, необходимо иметь число точек на единицу больше, чем степень многочлена. Согласно определению разделенной разности число их для n точек равно числу сочетаний из n по 2. Это во много раз больше, чем необходимо для построения кривых, проходящих через n точек. Из опыта работы с конечными разностями видно, что разделенных разностей из всего множества достаточно выбрать всего n, но выбрать так, чтобы в их образование входили все (n+1) точек таблицы.

Вполне разумно вычислять разделенные разности только для соседних значений функции в таблице. В этом случае говорят об упорядоченных разделенных разностях. Аргументу табличной функции присваиваются индексы из чисел натурального ряда, начиная с нуля, в результате чего обозначения разделенных разностей для i-той строки таблицы будут .

Повторная разность от разделенной разности есть разделенная разность второго порядка:

В общем случае разделенная разность n-го порядка имеет вид:

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Произведения из скобочных сомножителей в знаменателе каждого слагаемого напоминают своим видом некий степенной многочлен от переменной , который своими корнями имеет значения , исключая . Многочлен от x с корнями в этих же точках, включая и , будет иметь вид:

Удаляя тот или иной сомножитель из , можно по желанию исключить ненужный нуль многочлена. Если взять i-тое слагаемое без из выражения для разделенной разности n-го порядка и умножить его на , в котором отсутствует сомножитель , то многочлен степени n будет обладать следующими свойствами:

Если умножить на , то полученный многочлен степени n будет проходить через точку с координатами и будет равен нулю во всех точках . Сумма таких многочленов по всем определяет интерполяционный многочлен Лагранжа степени n.

.

3. Интерполяционный многочлен Ньютона

Интерполяционный многочлен в форме многочлена Лагранжа не удобен в случаях, когда необходимо добавлять экспериментальные данные в таблицу с целью повышения точности интерполяции. При этом необходимо проводить все вычисления заново.

Если задачу поставить так, что добавление лишней точки требовало бы лишь добавки некоторого многочлена степени (n+1) к многочлену Лагранжа n-й степени, то эту добавку можно искать, выполнив в общем виде преобразование разности двух многочленов Лагранжа: степени (n+1) и n. Несложные преобразования приводят к следующему соотношению для добавочного многочлена степени (n+1):

,

где – многочлен степени (n+1),

– разделенная разность (n+1)-го порядка.

Если считать разделенную разность нулевого порядка равной значению функции в точке , то

Поступая аналогичным образом и находя последовательно , в конце концов, получим общее выражение для другой формы представления интерполяционного многочлена Лагранжа, которая в литературе называется интерполяционным многочленом Ньютона для неравных интервалов и записывается так:

Надо отметить, что дополнительную точку в таблицу необходимо записывать в самую нижнюю строку таблицы, чтобы не нарушить уже имеющегося упорядочения разностей и ускорить вычисление новых.

И, наконец, надо отметить, что и многочлен Лагранжа, и многочлен Ньютона удобны для вычислений, но после раскрытия скобок и приведения подобных дают один и тот же степенной многочлен.

4. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Основным недостатком интерполяционных многочленов является наличие у них большого числа экстремумов и точек перегибов, что определяется суммированием в них многочленов , n раз меняющих свой знак. Кроме того, исходные табличные значения функции заданы неточно по разным причинам, поэтому строить многочлены выше 4-5-й степени, зная, что из теоретических исследований функция в интервале таблицы совсем не такая, не имеет особого смысла.

Если табличные значения функции можно интерпретировать как теоретическое значение плюс погрешность, то, задав некоторый критерий близости теоретической кривой к заданному множеству табличных точек, можно найти нужное число параметров этой кривой.

Наиболее популярным критерием близости является минимум среднего квадрата отклонения:

,

где – точка экспериментальных данных из таблицы,

– значение искомой зависимости в точке .

Если искомую зависимость желательно представить многочленом степени n, то (n+1) коэффициент в нем будут представлять неизвестные параметры. Подставив в сумму квадратов отклонений искомый многочлен, получим функционал, зависящий от этих параметров:

Чтобы функционал был минимален, необходимо все частные производные функционала по параметрам приравнять нулю и систему разрешить относительно неизвестных параметров . Эти действия приводят к следующей системе линейных уравнений

Здесь – постоянный коэффициент, равный сумме (j+k)-тых степеней всех значений аргументов. Для их ручного вычисления удобно к исходной таблице данных добавить еще столбцов. – числовые значения в правой части системы линейных алгебраических уравнений, для подсчета которых тоже

удобно к исходной таблице данных добавить еще n столбцов.

Демонстрацию метода наименьших квадратов проведем для данных с количеством точек в таблице, равным 4. Максимальная степень аппроксимирующего многочлена для такого набора равна 3, так как должно выполняться соотношение: . Для максимальной степени аппроксимирующий и интерполяционный многочлены равны.

Пусть таблица данных после добавления в нее дополнительных колонок выглядит следующим образом:

В нижней строке размещаем итоговые суммы по каждой колонке.

Система уравнений для полинома третьей степени:

Решив систему, найдем:

Эта же таблица без добавления чего-либо позволяет найти коэффициенты аппроксимирующего многочлена второй степени. Для этого достаточно в системе для полинома третьей степени убрать 4-е уравнение, а из остальных уравнений исключить слагаемые с неизвестной . В результате система уравнений для полинома второй степени будет:

Решив систему, найдем:

Аналогично можно уменьшать число уравнений для построения аппроксимирующих многочленов первой и нулевой степеней.

На рисунке 1 показаны графики двух аппроксимирующих многочленов второй и третьей степени. Многочлен третьей степени проходит через 4 заданные точки, а многочлен второй степени проходит сквозь множество заданных точек с минимумом суммы квадратов отклонений от них, что хорошо видно на графиках.

Рисунок 1.

Литература

  1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1987. – 600 с.

  2. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. - М.: Наука, 1966. – 248 с.

  3. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977. – 304 с.

  4. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 248 с.

  5. Калашников В. И. Аналоговые и гибридные вычислительные устройства: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 196 с.

  6. Вержбицкий, В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк., 2001. 383 с.

  7. Волков, Е. А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. 248 с.

  8. Мудров, А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП "РАСКО", 1991. 272 с.

  9. Шуп, Т. Е. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высш. шк., 1990. 255 с.

  10. Бахвалов, Н. С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н. С. Бахвалов, А. В. Лапин, Е. В. Чижонков. М.: Высш. шк., 2000. 192 с.

Похожие работы:

  • Практическое применение интерполирования гладких функций

    Курсовая работа >> Математика
    ... интерполирование непосредственно гладкой функции и интерполирование гладкой функции в точке. Цель работы: изучение интерполирования гладких функций и практическое применение интерполирования функций ... : В теории приближения функции хорошо известен следующий ...
  • Построение интерполяционного многочлена и вычисление по нему значения функции для заданного аргумента

    Реферат >> Информатика, программирование
    ... имеет вид: В задаче приближения функции и на всём отрезке алгебраическое интерполирование высокого порядка выполняется ... первоначальных задачах интерполирования, приближение в каком- то смысле по средствам интерполирующих функций , о которой или ...
  • Интерполяция функции одной переменной методом Ньютона

    Курсовая работа >> Информатика, программирование
    ... следующая математическая модель: Интерполяция и приближение функций. 1. Постановка задачи. Одной ... и используется, обычно, при интерполировании вначале таблицы. Заметим, что ... точки зрения уменьшения погрешности интерполирования. Если имеется возможности выбора ...
  • Аппроксимация функций

    Контрольная работа >> Математика
    ... узла многочленом Лагранжа 2. Нахождение значения приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа Запишем интерполяционный ... : где - промежуток между последовательными узлами интерполирования, (в рассматриваемом случае промежуток постоянен); n – степень ...
  • Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами

    Реферат >> Математика
    ... следующий вопрос. как связаны приближения функции f с приближениями и дифференциальными свойствами её производных ... В.Л. Теория интерполирования и приближения функций.-М.-Л.,-1934. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. ...
  • Интерполяция функций

    Реферат >> Математика
    ... xn. При этом нахождение приближенной функции называется интерполяцией, а точки ... в (1) и перепишем Ln(x) в виде: Если функция f(x), подлежащая интерполяции, дифференцируема больше чем ... можно избежать, разбив отрезок интерполирования на несколько частей, с ...
  • Интерполяция функций

    Лабораторная работа >> Математика
    ... xn. При этом нахождение приближенной функции называется интерполяцией, а точки ... в (1) и перепишем Ln(x) в виде: i ≠ j Если функция f(x), подлежащая интерполяции, дифференцируема больше чем ... можно избежать, разбив отрезок интерполирования на несколько частей, с ...
  • Некоторые дополнительные вычислительные методы

    Реферат >> Математика
    ... полином, совпадающий с данной функцией в точках . Тригонометрическое интерполирование Пусть функция f(х) представлена на не­ко­то­ром ... интерполирующей или аппроксимирующей функцией φ(x) простого вида, а затем приближенно полагают: Функция φ(x) должна быть ...
  • Численные методы решения типовых математических задач

    Курсовая работа >> Математика
    ... BEGIN CLRSCR; Writeln('Программа осуществляет интерполирование функции, заданной в узлах'); Vvod(N,X,Y); ... уравнений, полиномиальная интерполяция, среднеквадратичное приближение функции, численное интегрирование функций. Представленные методы и реализованные ...
  • Выбор и построение интерполирующей функции

    Курсовая работа >> Математика
    ... называются узлами интерполирования, и значения некоторой функции в этих точках: . Нужно построить функцию ( функцию, которая интерполирует ... проходила через все точки. Поскольку приближенное уравнение изгиба пружинистого бруса имеет ...