Дипломная работа : Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Дипломная работа >> Математика


Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью




Учреждение образования

«Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Дипломная работа

Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью

Брест 2010

Содержание

Введение

§1. Пространство Минковского

§2. Кривые в пространстве 1R4

§3. Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях

§4. Торсы в пространстве 1R4

§5. Линии на торсах пространства Минковского

§6. Асимптотические линии на торсе пространства Минковского

Заключение

Список использованных источников

Введение

В работе исследуется геометрия поверхностей четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса один, т.е. пространства Минковского.

Изучение дифференциальной геометрии в пространстве Минковского является актуальной задачей, поскольку пространство Минковского является пространством специальной теории относительности, и все результаты по дифференциальной геометрии этого пространства получают физическое истолкование. Каждое событие характеризуется тремя пространственными координатами и моментом времени t. Если уравнения физической теории (релятивистской механики, релятивистской гидродинамики, электродинамики и др.) записаны в виде соотношений, связывающих векторы и тензоры, заданные в пространстве Минковского, то их вид будет одинаковым во всех инерциальных системах отсчета. Тем самым основной принцип специальной теории относительности будет выполняться автоматически.

Интервал (расстояние между точками) в пространстве Минковского играет роль, аналогичную роли расстояния в геометрии евклидовых пространств. Он инвариантен при замен е одной инерциальной системы отсчета на другую, так же, как расстояние инвариантно при поворотах, отражениях и сдвигах начала координат в евклидовом пространстве.

Данная работа состоит из шести параграфов.

В первом параграфе происходит знакомство с пространством Минковского, дается определение этого пространства, его основные особенности, перечисляются типы прямых и плоскостей.

Во втором параграфе исследуются кривые пространства 1R4, вводится понятие соприкасающегося флага. Для кривых с заданным соприкасающимся флагом строится канонический репер и выводятся деривационные формулы.

Третий параграф посвящен изучению развертывающихся и линейчатых поверхностей. Изучение основных понятий этого параграфа поможет перейти к рассмотрению торсов.

В четвертом параграфе рассматриваются торсы с псевдоевклидовой касательной плоскостью и соприкасающимся флагом вида {M, R1, 1R2, 1R3}. Для таких торсов строится канонический репер кривой пространства 1R4 и выводятся деривационные формулы.

В последующих двух параграфах исследуются линии на торсах указанного типа с помощью построенного канонического репера. Дается понятие геодезических линий, решается вопрос о существовании (1,2)-,(2,2)-,(1,3)-,(2,3)- геодезических линий на торсе с псевдоевклидовой касательной плоскостью. Вводится понятие нормальной кривизны кривой, вектора кривизны, определяются асимптотические линии.

§1. Пространство Минковского

Пространством Минковского называется четырехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1.

Герман Минковский предложил данное пространство в 1908 году в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности.

Интервал в пространстве Минковского играет роль, аналогичную роли расстояния в геометрии евклидовых пространств. Он инвариантен при замене одной инерциальной системы отсчета на другую, так же, как расстояние инвариантно при поворотах, отражениях и сдвигах начала координат в евклидовом пространстве.

После евклидовых пространств индекса k=0, т.е. собственно евклидовых, наибольший интерес представляют евклидовы простран­ства индекса k=1 (они, конечно, принадлежат к псевдоевклидовым пространствам). Евкли­дово пространство индекса 1 представляет интерес с точки зрения теории дифференциальных уравнений (волновое уравнение с п аргу­ментами) и особенно с точки зрения теории относительности. В по­следнем случае играет роль именно четырехмерное евклидово пространство индекса 1.

Данное пространство может быть получено на базе четырехмерного аффинного пространства А, с помощью введения скалярного умножения векторов.

Пусть некоторый репер аффинного пространства А4, где , .

Введем скалярное умножение по формуле:

. (1)



Пространство A4, для векторов которого введено скалярное умножение по формуле (1) называется четырехмерным псевдоевклидовым пространством индекса 1 или пространством Минковского. Обозначается 1R4.

Скалярный квадрат вектора определяется по формуле:

. (2)

При этом вектора репера будут иметь следующие скалярные квадраты:

(3)



Определение 1.1. Длиной вектора в пространстве Минковского будем называть число:

Определение 1.2. Векторы пространства Минковского называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Таким образом, в пространстве 1R4 будут существовать векторы трех типов.

Векторы действительной длины при .

Например, (2,1,1,2).

Векторы мнимой длины при .

Например, (3,1,1,1).

  1. Ненулевые векторы нулевой длины при .

Например, (6,2,4,4).

Такие векторы называются изотропными. Они лежат на изотропном конусе.



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

Уравнение конуса будет иметь вид

-(x0)2+(x1)2+(x2)2+(x3)2=0

Такой конус также называют световым.

Расстояние ρ(М,N) между точками М(x1,x2,x3,x4) и N(у1,у2,у3,у4) в пространстве 1R4 определяется как длина вектора (у1- x1, у2- x2, у3- x3, у4- x4) и равна

ρ(М,N)= (5)

В пространстве 1R4 существует три типа прямых.

1. Прямые действительной длины (R1), направляющий вектор которых является вектором действительной длины. Например, е = [].

2. Прямые мнимой длины (1R1), направляющий вектор которых является вектором мнимой длины. Например, е = [].

3. Изотропные прямые (), направляющий вектор которых является изотропным вектором. Например, e = [0, +].

В пространстве 1R4 существует три типа двумерных плоскостей.

  1. Евклидова плоскость R2, на которой существует базис, в котором скалярное произведение любых двух векторов этой плоскости записывается в виде

, где .

Например, евклидова плоскость - плоскость . Для векторов этой плоскости , .

Тогда,



Псевдоевклидова плоскость1R2, на которой существует базис, в котором скалярное произведение любых двух векторов этой плоскости записывается в виде , где .

Например, евклидовой плоскостью является плоскость . Для векторов этой плоскости, . Получим,

Полуевклидова плоскость, на которой существует базис, в котором скалярное произведение любых двух векторов этой плоскости принимает вид , где .

Например, полуоевклидова плоскость - плоскость . Для векторов этой плоскости



, .

Тогда получим,

т.к.

Псевдоевклидова плоскость по своим аффинным свойствам не отличается от евклидовой, однако метрические свойства этих плоскостей существенно различаются. Это видно, хотя бы на примере окружности, которую на псевдоевклидовой плоскости определим как совокупность всех точек, удаленных на одно и то же псевдоевклидово расстояние r от данной точки – центра.

Если центр совпадает с началом координат О(0,0), то по определению уравнение окружности имеет вид



.



Радиус окружности может быть вещественным (r=a), тогда .

Если радиус окружности мнимый, т.е. r=ia, то . В случае, когда радиус r=0, имеем .

Таким образом на существует три вида окружностей. На аффинной плоскости они представляют собой пару пересекающихся прямых – окружность нулевого радиуса – и две сопряженные гиперболы, для которых указанные прямые являются асимптотами. (Рис. 1.2)










В пространстве 1R4 существует три типа 3-плоскостей.

  1. Евклидова 3-плоскость R3, на которой существует базис, в котором скалярное произведение принимает вид:

.

Например, евклидовой 3-плоскостью является плоскость Для векторов этой 3-плоскости , Тогда получим, ,)=

2. Плоскость 1R3, на которой существует базис, в котором скалярное произведение принимает вид:

.



Например, плоскостью 1R3 является плоскость Для векторов этой 3-плоскости , Получаем,



,)=

3. Плоскость , на которой существует базис, в котором скалярное произведение принимает вид: .

Например, плоскостью является плоскость Для векторов этой 3-плоскости , .

Получим:

Поскольку каждая 3-плоскость ортогональна некоторой прямой, то существует только 3 типа 3-плоскостей.

Определение 1.3. Ортогональным дополнением к векторному пространству LÌ1R4 называется векторное пространство, образованное всеми векторами, ортогональными к пространству L.

Пример. Найдем множество векторов, ортогональных к вектору . Если вектор ортогонален , то . Отсюда,

=.

Таким образом, ортогональным дополнением к вектору является множество векторов . Эти векторы определяют 3-плоскость которое является 3-плоскостью вида 1R3. Следовательно, R1^1R3. Это означает, что к прямой R1 ортогональной является 3-плоскость типа1R3. Верно и обратное.

Аналогично найдем множество векторов ортогональных к вектору. Если вектор ортогонален , то . Отсюда,

=.

Множество векторов, ортогональных вектору , имеет вид и определяет 3-плоскость которое является 3-плосткостью вида R3. Следовательно, 1R1^R3. Это означает, что к прямой 1R3 ортогональной является 3-плоскость типа R3. Верно и обратное.

Рассмотрим вектор () и найдем множество векторов ортогональных к данному вектору. Если вектор ортогонален (), то .

Получаем, что

=.

Отсюда, , а — произвольные. - это множество векторов, ортогональных вектору () и определяет 3-плоскость которое является 3-плосткостью вида . Значит, ^. Это означает, что к прямой ортогональной является 3-плоскость типа . Верно и обратное.

Заметим, что Ì.

Найдем множество векторов, ортогональных к векторам . Если вектор ортогонален , то Отсюда,

Û

Таким образом, ортогональным дополнением к векторам является множество векторов . Эти векторы определяют 2-плоскость которая является 2-плосткостью вида 1R2. Следовательно, R2 ^1R2 (к двумерной плоскости R2 ортогональной является плоскость вида 1R2).

Найдем множество векторов, ортогональных к векторам . Если вектор ортогонален , то Отсюда,

Û

Таким образом, ортогональным дополнением к векторам является множество векторов . Эти векторы определяют 2-плоскость которое является 2-плосткостью вида R2, Следовательно, R2 ^1R2 (к двумерной плоскости R2 ортогональной является плоскость вида 1R2). Верно и обратное.

Найдем множество векторов, ортогональных к векторамЕсли вектор ортогонален , то



Отсюда,

Û

Û



Таким образом, ортогональным дополнением к векторам является множество векторов . Эти векторы определяют 2-плоскость которая является 2-плосткостью вида . Следовательно, ^.














Таким образом, получена теорема.

Теорема 1.1. В пространстве 1R4 существуют следующие типы прямых, плоскостей и 3-плоскостей:

- прямые: R1, 1R1,.

- 2-плоскости: R2, 1R2,.

- 3-плоскости: R3, 1R3,.

§2. Кривые в пространстве 1R4

В пространстве 1R4 выберем базис

,

где Точка MÎ1R4, имеющая в репере R координаты (): M()R.

Определение 2.1. Кривой в пространстве 1R4 называется множество точек этого пространства, координаты которых задаются уравнениями:

(6)



Или в векторном виде . (7)

Определение 2.2. Функция, имеющая непрерывные производные до k-го порядка включительно на отрезке [a,b], называется k раз дифференцируемой функцией на этом отрезке.

Определение 2.3. Кривая g называется дифференцируемой класса Сk, если функции (6), задающие параметрические уравнения, являются k раз дифференцируемыми функциями.

Пусть кривая g является кривой класса C3. Рассмотрим на дифференцируемой кривой g вектора:



.

Определение 2.4. Точка M, принадлежащая кривой g, называется неособой, если в этой точке вектора , линейно независимы. В противном случае точка M кривой g называется особой.

Определение 2.5. Прямая называется касательной к кривой в точке M, 2-плоскость называется соприкасающейся плоскостью кривой g, 3-плоскость называется соприкасающейся 3-плоскостью кривой g в точке M.



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

Очевидно, ÌÌ.

Теорема 2.1. Кривая g имеет в каждой точке касательную и притом единственную.

Если r=r(t) - векторное уравнение кривой, то касательная в точке Р, соответствующей значению параметра t, имеет направление вектора r'(t).

Теорема 2.2. Кривая g имеет в каждой точке соприкасающуюся плоскость. При этом соприкасающаяся плоскость либо единственная, либо любая плоскость, содержащая касательную к кривой, является соприкасающейся.

Если r=r(t) – уравнение кривой g, то соприкасающаяся плоскость в точке, соответствующей значению параметра t, параллельна векторам r'(t) и r''(t).

Теорема 2.3. Задание касательной, соприкасающейся плоскости и соприкасающейся 3-плоскости корректно, т.е. не зависит от параметризации кривой.

Для доказательства достаточно перейти к новому параметру и сравнить направляющие вектора.



Определение 2.5. Соприкасающийся флаг – это совокупность, состоящая из точки кривой, касательной к кривой в этой точке, соприкасающейся 2-плоскости к кривой в этой точке и соприкасающейся 3-плоскости к кривой в этой точке. [M, ], M ÌÌÌ.

Соприкасающийся флаг может быть следующих видов.



10. {M, R1, R2, R3}. Например,

20. {M, R1, 1R2, 1R3}. Например,

30. {M, R1, , 1R3}. Например,

40. {M, R1, , }. Например,

50. {M, 1R1, 1R2, 1R3}. Например,

60. {M, , , 1R3}. Например,

70. {M, , , }. Например,

80. {M, R1, R2, 1R3}. Например,

90. {M, R1, R2, }. Например,

100. {M, , 1R2, 1R3}. Например,

Более подробно в своей дипломной работе я рассмотрю кривые, имеющие соприкасающийся флаг вида 20.

Рассмотрим кривую g с соприкасающимся флагом 20.

Построим в произвольной точке M кривой g канонический репер {M, e1, e2, e3, e4}.

Введем на кривой g естественную параметризацию s следующим образом:

(8)



Теорема 2.4. Для кривой g: , заданной в естественной параметризации, получим

(9)



Доказательство.



.



Из (8) следует . Значит, и, следовательно,

, . (10)

Дифференцируем равенство (10): Отсюда,

Ч.т.д.

Вектор направлен по касательной в точке М: . Вектор выберем в соприкасающейся плоскости ∑subSupon2 перпендикулярно :

Условие перпендикулярности к в соприкасающейся плоскости: Отсюда: .

Вектор выберем в соприкасающейся 3-плоскости перпендикулярно векторам и .



(11)

Найти и можно используя условия ортогональности:

Подставив и в формулу (8) получим вектор .

Вектор выберем в 1R4 перпендикулярно ,,.

В нашем случае векторы ,, - векторы действительной длины, а вектор - вектор мнимой длины.

Пусть кривая g задана в естественной параметризации. Вектора ,, , канонического репера будут заданы тоже с помощью параметра s.

Рассмотрим векторы ,, . Эти векторы можно будет разложить по базису ,, :

(12)



Теорема 2.5. Производная вектора постоянной длины перпендикулярна этому вектору.

Доказательство.



Пусть



Ч.т.д.

Из теоремы 2.5. следует, что .

Домножим первое уравнение (12) скалярно на . Получим . Аналогично,

. (13)

Домножим первое уравнение (12) скалярно на , второе на , затем сложим их. (,)+(,)=+. Выражение =0.

Отсюда, = .

Аналогично, =, =, =, =,=.

Выберем , . При этом имеет действительную длину. Тогда



(14)

Исходя из (12) и (14), получим =. Следовательно, ==0.

.

Значит, раскладывается по векторам ,,, задающим . Значит, =0, а следовательно =0.

. Пусть k1(s).



Деривационные формулы запишутся в виде:





§3. Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях

Поверхность, представляющая собой геометрическое место прямых линий, называется линейчатой. Точнее линейчатую поверхность мы будем строить следующим образом.



Ðèñóíîê 158

Возьмем какую-нибудь кривую в пространстве; пусть r — ее текущий радиус-вектор, а u - параметр, к которому она отнесена, r = r(u). Эту кривую мы будем называть направляющей. В каждой точке этой кривой зададим единичный вектор, который будет являться, таким образом, также функцией параметра u вдоль кривой, l=l(u).

Через каждую точку N направляющей линии с радиус-вектором r(u) проводим прямую параллельно вектору l(u),.отвечающему этой точке. В результате мы получаем в пространстве семейство прямых (Рис. 3.1) от одного параметра, именно от u. Эти прямые мы будем называть образующими. Выбор образующей определяется, таким образом, значением u; что же касается выбора какой-нибудь точки М на этой образующей, то его мы будем характеризовать расстоянием NM по образующей от направляющей линии до точки М. При этом расстояние NM мы берем со знаком, принимая на образующей направление l за положительное. Будем обозначать расстояние NM коротко через v, NM=v.

В таком случае радиус-вектор произвольной точки М на произвольной образующей, определяемой значением , можно записать в виде

r(u), ;



действительно, вектор NM коллинеарен единичному вектору и потому отличается от него лишь скалярным множителем, равным длине NM с соответствующим знаком, т. е. множителем v.

Итак, окончательно .

В результате радиус-вектор произвольной точки М на произвольной образующей выразился как функция двух независимых параметров u, v. Мы получили, таким образом, параметрическое представление линейчатой поверхности, именно той, которая образована прямыми (образующими) построенного нами однопараметрического семейства прямых.

Фиксируя в этом уравнении u и меняя v, мы движемся, очевидно, по образующей, отвечающей данному значению u. Следовательно, семейством координатных линий v у нас будут служить образующие. Если же фиксировать v и менять u, то мы идем по образующим «параллельно» направляющей линии в том смысле, что расстояние NM = v остается постоянным.

Таким образом, координатные линии u образуют семейство линий, «параллельных» направляющей линии, которая сама также входит в это семейство и отвечает случаю, когда v фиксировано на значении 0.

Заметим, что направляющая линия геометрически ничем на заданной линейчатой поверхности не выделяется. В качестве направляющей может быть взята любая кривая на линейчатой поверхности, последовательно пересекающаяся с ее образующими; произвол этот отразится только на выборе параметров u, v на поверхности.

Вычислим теперь частные производные радиус-вектора по параметрам. Очевидно,

(16)



Составим векторное произведение этих векторов, направленное, как мы знаем, по нормали к поверхности:

(17)



Исследуем поведение нормали к линейчатой поверхности, когда точка движется по поверхности вдоль какой-нибудь образующей, т. е. когда мы меняем v при фиксированном u. Так как , l являются функциями только u, то векторные произведения и остаются постоянными, и правая часть (17) может меняться лишь вследствие изменения коэффициента v.

Здесь мы будем различать два случая, общий и специальный.

Общий случай: векторные произведения и не коллинеарны. В этом случае при движении вдоль образующей, т. е. при изменении v, первое слагаемое в правой части (17) постоянно, второе же, ему не параллельное, изменяется пропорционально v. В результате вся правая часть представляет собой вектор, направление которого меняется вместе с v.



Ðèñóíîê 9

Следовательно, вдоль образующей направление нормали к поверхности меняется от точки к точке. Очевидно, что касательная плоскость в какой-нибудь точке на данной образующей проходит через эту образующую (так как образующая является своей собственной касательной). Поэтому при движении точки касания вдоль образующей касательная плоскость, все время проходя через образующую, вращается около нее. В этом случае линейчатая поверхность называется косой (Рис. 3.2).

Специальный случай: векторные произведения и коллинеарны.

Ðèñóíîê 12

В этом случае оба слагаемых в правой части (17) параллельны друг другу (а следовательно, и своей сумме) при любом значении v. Таким образом, все нормали вдоль данной образующей параллельны между собой, так как они параллельны векторам и . Когда точка касания движется вдоль образующей, то касательная плоскость проходит все время через образующую; и так как касательная плоскость должна, кроме того, оставаться перпендикулярной к неизменному направлению нормали, то она не может вращаться около образующей и остается неподвижной.

Итак, в рассматриваемом случае касательные плоскости к поверхности в точках, расположенных на одной и той же образующей, совпадают между собой. Такую линейчатую поверхность мы будем называть развертывающейся поверхностью (Рис. 3.3).

Обратно, если мы имеем развертывающуюся поверхность, т. е. касательная плоскость для всех точек образующей одна и та же, и нормали вдоль образующей параллельны, то направление вектора (17) не зависит от значения v, что возможно лишь в случае



|| (18)

Таким образом, условие (18) необходимо и достаточно для того, чтобы линейчатая поверхность оказалась развертывающейся. Этому условию можно придать более простую форму.

Общее направление двух векторных произведений будет ортогональным ко всем их множителям, т. е. к векторам , , которые, таким образом, оказываются компланарными (параллельными одной плоскости).

Легко видеть, что это условие и достаточно. Итак, условие (18) может быть переписано в эквивалентном виде , компланарны, т.е.

(, = 0. (19).



Это условие наложено, как мы видим, на вектор-функции (радиус-вектор направляющей кривой) и , (единичный вектор на образующей). Плоскость векторов (19) будет параллельна векторам (16) при любом значении v, т. е. параллельна касательной плоскости, проходящей через соответствующую образующую.

§4. Торсы в пространстве 1R4

Рассмотрим кривую

(20) в пространстве 1R4.

Определение 4.1. Торсом в пространстве 1R4, определенном кривой g называется поверхность, образованная всеми касательными к этой кривой.

Сама кривая g называется ребром возврата этого торса. Каждая касательная к ребру возврата называется прямолинейной образующей торса.

Уравнение торса

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

(21)

(21) – уравнение торса, определяемого ребром возврата .

На ребре возврата выберем естественную параметризацию. Пусть t=t(s), тогда и s=i.

Свойства естественной параметризации:

  1. ;

. Значит

  1. ;

()==1 ()+ ()=0;

2()=0()=0

Исследуем торс (21) в пространстве 1R4, обозначив при этом t = u, t = v.

Тогда уравнение торса (21) запишется в виде: . (22)

По теореме о развертывающейся линейчатой поверхности векторы должны лежать в одной плоскости. Очевидно, что данные вектора лежат в одной плоскости, т.к. два из них одинаковы. Следовательно, торс развертывающаяся линейчатая поверхность, а значит, касательная плоскость к торсу в любой его точке не зависит от параметра v, что легко доказать. Действительно из формул (22) получим:

Þ



Это означает, что базисы {} и {} выражаются друг через друга. Из этого следует, что

(23),

при любом параметре v, значит касательная плоскость к торсу одна и та же вдоль образующей. Известно, что соприкасающаяся плоскость к кривой g в точке M определяется векторами . Таким образом, исходя из формулы (23) получим, что соприкасающаяся плоскость ребра возврата g - есть касательная плоскость к торсу.

Рассмотрим торс пространства 1R4, порожденной кривой определяемый уравнением (23). Введем координатные линии на поверхности торса: u-линии (v=c) и v-линии (u=c). Найдем скалярное произведение векторов

(24)



В общем случае относительно величин и ничего сказать нельзя. Поэтому будем делать предположение относительно кривой g. Предположим, что касательный вектор к кривой g во всех точках является вектором действительной длины. На ребре возврата g выбираем естественную параметризацию. Пусть u=u(s), тогда и Параметр s обозначим через u, получим , т.е. вектор имеет постоянную длину, тогда поскольку , из (24) следует, что , а значит координатные линии на торсе в такой системе координат не ортогональны. Перейдем к новым координатам U и V так, чтобы координатные линии были ортогональны, причем заметим, чтоv-линии – это прямолинейные образующие торса. При переходе к новым координатам потребуем, чтобы семейство v-линий осталось прежним, а u-линии изменились и стали перпендикулярны v-линиям. Таким образом, перед нами стоит задача отыскания ортогональных траекторий к прямолинейным образующим торса.

Рассмотрим первую квадратичную форму поверхности, которая при условии, что касательная плоскость к торсу является псевдоевклидовой.

Пусть S – гладкая поверхность, - ее векторное уравнение и

Первой квадратичной формой поверхности S называют выражение I=.

Запишем это выражение подробнее. Имеем

откуда

. (25)

Выражение (25) в каждой точке поверхности S представляет собой квадратичную форму от дифференциалов du и dv.

Для коэффициентов первой квадратичной формы часто используют следующие обозначения:

.

Таким образом первая квадратичная форма имеет вид:

(26)

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



Угол между кривыми равен углу между касательными. Пусть гладкие кривые x1 и x2 лежат на поверхности S с векторным уравнением и пересекается в некоторой точке X0.

Вектор лежит в касательной плоскости к поверхности S в точке X0 (Рис.4.2).

Значения дифференциалов можно выбрать так, чтобы был вектором касательной к кривой x1 в точке X0. Достаточно взять () (здесь u=u(t) и v=v(t) – уравнения кривой x1 на поверхности S).

Аналогично строится вектор - вектор касательной к кривой x2 в точке X0, отвечающий значениям дифференциалов , функций, определяющих кривую x2:

.

Поэтому

Требуется, чтобы ортогональные линии были ортогональны, т.е.

Учитывая, что u – естественный параметр, найдем коэффициенты E, F, G:

Подставляя полученные выражения в (26) имеем

Воспользовавшись (27) и полученными выражениями для коэффициентов, получим Разделим последнее равенство на , получим





Исходное семейство линий задано дифференциальным уравнением

, а ортогональные траектории получены в виде Подставляя эти выражения в (28), имеем уравнение для , из которого . Учитывая, что исходное семейство линий – это v-линии, для которых du=0, а значит l=0, получим m=-1. Таким образом, , решая это дифференциальное уравнение, находим u+v=const – условие ортогональности траекторий. Итак, искомая замена координат имеет вид:

Тогда обратная замена:



Уравнение торса в новых координатах примет вид:



Обозначим U, V теми же символами u, v тогда уравнение торса перепишется следующим образом:

.(29)



Рассмотрим на торсе (29) кривую

u=u(t), v=v(t).(30)

Получим ее уравнение в виде:

. (31)



Направляющий вектор касательной:

. (32)

Касательная к любой кривой, лежащей на торсе и проходящей через данную точку N, лежит в плоскости Эта плоскость будет называться касательной плоскостью к торсу и обозначается

Найдем векторы . Из уравнения (29) получим:

.

Таким образом, плоскость определяется точкой L торса и векторами , и следовательно, совпадает с соприкасающейся плоскостью ребра возврата g.



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

Получена теорема.

Теорема 4.1. Касательная плоскость к торсу в произвольной точке прямолинейной образующей совпадает с соприкасающейся плоскостью к ребру возврата в точке касания прямолинейной образующей.

Построим канонический репер в произвольной точке N торса. Будем считать параметр u естественным параметром ребра возврата. Тогда согласно

(9):

Введем следующие обозначения:

Тогда - вектор мнимой длины, а - вектор единичной длины, взаимно ортогональные и лежат в касательной плоскости к торсу в точке N, совпадающей с соприкасающейся плоскостью ребра возврата, причем идет по прямолинейной образующей, а ему ортогонален.





Вектора получим из векторов соприкасающегося репера ребра возврата параллельным переносом в точку L. При этом получим репер в произвольной точке L торса, с условием



.(33)



Уравнение (33) целиком определяется торсом. Этот репер будем называть каноническим репером торса.

Найдем деривационные формулы канонического репера торса с учетом того, что зависят только от u. С учетом (14) и (15):

и (34)



§5. Линии на торсах пространства Минковского

Рассмотрим торс в пространстве Минковского, заданный уравнением (29) .

Будем считать, что соприкасающийся флаг ребра возврата имеет тип 50: {M, 1R1, 1R2, 1R3, 1R4}, где параметр u есть естественный параметр на ребре возврата . В данном случае на торсе строится канонический репер {M, }. Деривационные формулы этого репера имеют вид (34).

Определение 5.1. Кривая d: u=u(t); v=v(t) (35) на торсе Т называется (k,n) – геодезической, если соприкасающаяся n - плоскость этой кривой в каждой точке содержит k – мерную нормаль к торсу.

Возможны варианты: (1,2); (1,3); (2,3). Выясним существуют ли такие геодезические кривые на торсе данного типа. Касательная плоскость к торсу в точке L есть плоскость , а нормальная плоскость к торсу . Найдем соприкасающуюся 2-плоскость линии d: r=r(u(t),v(t)). Эта плоскость определяется так: . Находим производные вектор - функции, преобразуем их с помощью деривационных формул (34):

(36)

(37)



+++

+++++

++

++

++

+++

++

++

++++

+

+

+(

++

+)+(+)+ (38)



Нормаль к торсу зададим в виде: . С другой стороны, нормаль к поверхности, исходя из определения, содержится в соприкасающейся 2-плоскости , т.е. . Составим уравнение

=p()+q().

Сгруппировав коэффициенты при , получаем систему:



Из системы видим, что если (1,2) – геодезическая линия существует, то она определяется нормалью . Учитывая этот факт, преобразуем систему следующим образом:





Таким образом, уравнение (1,2) – геодезической линии можно представить в виде нормальной системы дифференциальных уравнений:

(39)

Теорема Пикара. Если правые части системы

в некоторой окрестности начальной точки () имеют непрерывные в этой окрестности частные производные по y1,y2,…,yn, то система имеет единственное решение, определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее начальным условиям

.

Согласно теореме Пикара система (39) имеет единственное решение. Значит, через каждую точку торса в каждом направлении касательной плоскости проходит единственная (1,2) – геодезическая линия.

Пусть d: r=r(u(t),v(t)) на торсе является (2,2) – геодезической. Тогда, согласно определению, система (38’) должна быть разрешима при любых коэффициентах и , но т.к. , то это условие не выполняется. Значит, на торсе с касательной псевдоевклидовой плоскостью не существует (2,2) – геодезических линий.

0100090000031602000002009601000000009601000026060f002203574d464301000000000001003eb80000000001000000000300000000000000030000010000006c000000000000000000000008000000100000000000000000000000091c0000ca0c000020454d4600000100000300001000000002000000000000000000000000000000900600001a040000b801000013010000000000000000000000000000c0b6060038320400160000000c000000180000000a0000001000000000000000000000000900000010000000120100007d000000520000007001000001000000f1ffffff00000000000000000000000090010000000000cc04400022430061006c006900620072006900000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001100dc5f11001000000040631100c060110052516032406311003860110010000000a8611100246311002451603240631100386011002000000049642f31386011004063110020000000fffffffffc13f700d0642f31ffffffffffff0180ffff01800fff0180ffffffff000001000008000000080000b4e6120001000000000000006000000025000000372e9001cc00020f0502020204030204ef0200a07b20004000000000000000009f00000000000000430061006c00690062007200000000000000000000611100dee32e31e88d0832606411006c6011009c3827310900000001000000a8601100a8601100e878253109000000d0601100fc13f7006476000800000000250000000c00000001000000250000000c00000001000000250000000c00000001000000120000000c00000001000000180000000c00000000000002540000005400000000000000000000000800000010000000010000001886d1411886d141000000000d000000010000004c000000040000000000000000000000120100007d00000050000000200000000900000046000000280000001c0000004744494302000000ffffffffffffffff130100007d000000000000004600000014000000080000004744494303000000250000000c0000000e000080250000000c0000000e0000800e000000140000000000000010000000140000000400000003010800050000000b0200000000050000000c027d001201040000002e0118001c000000fb02f1ff0000000000009001000000cc0440002243616c6962726900000000000000000000000000000000000000000000000000040000002d010000040000002d010000040000002d0100000400000002010100050000000902000000020d000000320a0d000000010004000000000012017d00202b09001c000000fb021000070000000000bc02000000cc0102022253797374656d0000000000000000000000000000000000000000000000000000040000002d010100040000002d010100030000000000

Теорема 5.1. Геодезических линий типа (2,2) на торсе нет.

Рассмотрим вопрос о существовании (1,3) – геодезических линий на торсе. Соприкасающуюся 3-плоскость к кривой в некоторой точке можем задать линейным уравнением

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

Таким образом, нормальная плоскость и соприкасающаяся 3-плоскость всегда имеют пересечение, являющееся не менее чем прямой. Значит, любая линия на рассматриваемой поверхности является (1,3)-геодезической.



§6. Асимптотические линии на торсе пространства Минковского

Определение 6.1. Направление на поверхности называется асимптотическим, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении обращается в нуль.

Определение 6.2. Нормальной кривизной кривой на поверхности пространства Минковского называется проекция вектора кривизны этой кривой на нормальную плоскость к поверхности в этой точке.

Определение 6.3. Кривая на поверхности называется асимптотической линией, если в каждой своей точке она имеет асимптотическое направление.

Определение 6.4. Вектором кривизны кривой на поверхности пространства Минковского будем называть вектор , где s – естественная параметризация на этой кривой.

Пусть - произвольная кривая на торсе. Построим канонический репер кривой в точке N: . Нормальная кривизна кривой в точке N – это проекция вектора кривизны на нормаль к поверхности. В пространстве 1R4 к поверхности в данной точке существует целая плоскость нормалей, поэтому необходимо определить нормаль, на которую будет проецироваться вектор кривизны. Координаты вектора в репере согласно формуле (37) равны:

º(A;B;C;0)



Нормальную кривизну определим как длину отрезка NL1, где L1 – точка пересечения плоскости и проходящей через точку L, с нормальной плоскостью . Определим координаты точки L1: x1=0, x2=0, x3=0, x4=0; Þ x3=C, x4=0. Значит, , т.е. нормальная кривизна кривой на торсе пространства Минковского, с псевдоевклидовой касательной плоскостью, является действительной величиной.

Определим геодезическую кривизну кривой как длину отрезка NL2, где L2 – точка пересечения плоскости с касательной плоскостью . Определим координаты точки L2: x3=0, x4=0; x1=0, x2=0; Þ x1=A, x2=B. Следовательно, координаты точки L2:

x1=A, x2=B, x3=0, x4=0. |NL2|=.

Рассмотрим нормальную кривизну . Справедлива формула первой квадратичной формы поверхности: , таким образом,

(40)

На торсе с касательной псевдоевклидовой плоскостью асимптотические линии есть прямолинейные образующие торса, а также линии v=u.

Нормальная кривизна кривой в точке N зависит только от , т.е. от направления в касательной плоскости.

Заключение

В работе исследуется геометрия поверхностей пространства Минковского.

В пространстве 1R4 рассматриваются торсы, то есть поверхности образованные касательными к некоторой кривой пространства Минковского, называемой ребром возврата для этого торса. Рассмотрен класс таких поверхностей, ребро возврата которых имеет соприкасающийся флаг вида {M, R1, 1R2, 1R3}.

Для торсов такого класса решены следующие задачи:

  1. построен канонический репер торса;

  2. получены деривационные формулы построенного канонического репера;

  3. определено понятие (n,k) – геодезических линий на торсе;

  4. получена теорема о существовании (1,2)-, (2,3) – геодезических линий на исследуемом торсе;

  5. вводится обобщение понятия асимптотических линий на поверхности пространства Минковского, находятся асимптотические линии на торсе рассматриваемого класса.

Результаты проводимого исследования докладывались на республиканской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Современные проблемы математического моделирования и новые образовательные технологии в математике» (Брест, 23 апреля 2009 года). На основании доклада будет напечатана статья в сборнике материалов конференции.

Список использованных источников

  1. Атанасян, Л.С. Геометрия: учеб. пособие в 2 ч./ Л.С. Атанасян, Г.Б. Гуревич. – М.: Просвещение, 1976. – Ч.2. – 488 с.

  2. Базылев, В.Т. Геометрия: в 2 т./ В.Т. Базылев, К.И. Дуничев. - М.: Просвещение, 1972. – Т.2. – 352 с.

  3. Бакельман, И.Я. Введение в дифференциальную геометрию: учебное пособие/ И.Я. Бакельман, А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор. – М.: Наука, 1973. – 437 с.

  4. Матвеев, Н.М. Дифференциальные уравнения: учеб. пособие для студ. пед. ин-тов по физ. – мат. спец./ Н.М. Матвеев. – М.: Просвещение, 1988. – 464 с.

  5. Погорелов, А.В. Геометрия: учебник для студентов математических специальностей университетов и пед. институтов/ А.В. Погорелов. – М.: Наука, 1974. – 173 с.

  6. Позняк, Э.Г. Геометрия: учеб. пособие/ Э.Г. Позняк, Е.В. Шикин. - М.: изд-во МГУ, 1990. – 384 с.

  7. Рашевский, П.К. Курс дифференциальной геометрии/ П.К. Рашевский. – М.: Просвещение, 1982. – 220 с.

  8. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ/ П.К. Рашевский. – М.: Наука, 1964. – 538 с.

  9. Тайманов, И.А. Лекции по дифференциальной геометрии/ И.А.Тайманов. – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. – 176 с.

  10. Фиников, С.П. Дифференциальная геометрия: курс лекций для мат. ф-та МГУ/ М.С. Фиников. – М.: московский университет, 1961. – 150 с.

  11. Шварц, Д. Дифференциальная геометрия и топология/ Д. Шварц. – М.: Мир, 1970. – 224 с.

Похожие работы:

  • Происхождений цивилизации

    Реферат >> Культурология
    ... травоядные) сконцентрирована в пространстве, животным эволюционно выгоднее ... труда. Эти дифференциальные процессы вызвали потребность ... алгебра, теория числа, геометрия, планиметрия, стереометрия, метрология ... , что женский торс передается очень массивным ...
  • Артериальная гипертензия

    Дипломная работа >> Медицина, здоровье
    ... большинстве случаев происходит изменение геометрии левого желудочка, в ... нерва. Важным дифференциально диагностическим признаком почечной ... и лоснящееся лицо, мощные торс и шея и живот ... , проводящийся в межлопаточное пространство. Уплотнение аорты можно ...