Контрольная работа : Высшая математика (работа 6) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Контрольная работа >> Математика


Высшая математика (работа 6)




Задача 1

Провести полное исследование функций и построить их графики

Решение:

1) Область определения ,функция общего вида, т.к.

y(-x)≠-y(x), y(-x)≠y(x);

2) =>x=-4

точка разрыва 2-го рода

3) Нули функции

4) Интервалы монотонности

возможные точки экстремума

не существует при

-12

4

0

0

-

0

-27

-

0

Функция возрастает при

.

Функция убывает при .

– точка максимума.

5. Выпуклость и вогнутость кривой.

при

не существует при

при кривая выпукла

при кривая вогнута

тч. перегиба

6) Асимптоты.

а) вертикальные: х=-4.

б) наклонные:

, =>

– наклонная асимптота

7) График функции

Задача 2

Фирма планирует собирать S шт./год телевизоров. Она периодически закупает кинескопы одинаковыми партиями размером q , шт./партию. Издержки по поставке не зависят от размера партии и равны СП, руб./поставку. Хранение одного кинескопа на складе в течение года обходится в СХ. руб./шт. год. Сборка телевизоров производится равномерно, с постоянной интенсивностью. Требуется определить оптимальные параметры системы снабжения кинескопами, при которых суммарные годовые издержки пополнения и хранения запаса кинескопов минимальны.

Таблица 1 - Параметры системы снабжения фирмы кинескопами

S

СП

СХ

12

62000

1650

68

Указания к задаче 2:

1) Запишите формулы для годовых издержек пополнения запасов ИП(q), издержек хранения ИХ(q) и суммарных издержек И(q) → min;

2) Сформулируйте критерий нахождения экстремума суммарных издержек;

3) Рассчитайте оптимальные значения параметров системы (партия поставок q, число поставок в год Nо, период между поставками То, издержки пополнения ИПо, издержки хранения ИХо , суммарные издержки Ио);

4) Постройте график изменения текущего запаса кинескопов в течение года;

5) Исследуйте характер изменения трех видов издержек как функций размера партииq и постройте графики этих функций на новом рисунке.

Решение:

Годовые издержки пополнения запасов ИП можно определить как произведение числа поставок N на стоимость одной поставки СП.

ИП = N * СП

Число поставок можно выразить через общий объем поставок S и размер партии q:

N =

Тогда можно записать функцию годовых издержек пополнения запасов в зависимости от размера партии:

ИП(q) = СП *

Функцию годовых издержек хранения ИХ можно определить как произведение стоимости хранения единицы СХ на среднее число кинескопов на складе.

Среднее число единиц хранения при равномерном расходе определяется как полусумма максимального и минимального числа кинескопов. Примем за минимальный уровень нулевое значение (без страхового запаса). Тогда максимальный уровень будет равен размеру партии, т.к. сразу после поставки на складе будет лежать q кинескопов.

Исходя из вышесказанного, можно записать функцию годовых издержек хранения:

ИХ(q) = CX * = CX *

Запишем функцию суммарных издержек:

И(q) = ИП(q) + ИХ(q) = СП * + CX *

Экстремум функции суммарных издержек от размера партии определим из условия равенства нулю первой производной. Это экстремум соответствует минимуму суммарных издержек и определяет оптимальный размер партии.

И’(q) = (СП * + CX * )’= – +

Составим и решим уравнение:

+ = 0 ; = ; q2 = ; q = .

Отрицательное значение корня не имеет физического смысла.

В результате получили формулу для определения оптимального размера партии.

Рассчитаем оптимальные значения параметров системы.

Найдем оптимальный размер партии:

q = = » 1735 шт.

Найдем число поставок в год:

Nо = S / q = 62000 / 1735 = 35,7 » 36 раз

Найдем период между поставками:

То = 360 / 36 = 10 дней

Найдем издержки пополнения:

ИПо = СП * N = 1650 * 36 = 59400 руб.

Найдем издержки хранения:

ИХо = CX * = 68 * 1735 / 2 = 58990 руб.

Найдем суммарные издержки

Ио = ИПо + ИХо = 59400 + 58990 = 118390 руб.

Построим график запасов:

Рис. 1

Рассмотрим функции издержек.

Годовые издержки пополнения запасов ИП(q) = СП * являются обратной гиперболической функцией, которая монотонно убывает с увеличением размера партии q. С возрастанием q скорость убывания падает.

Годовые издержки хранения ИХ(q) = CX * являются линейной функцией, которая монотонно возрастает с увеличением размера партии q. Минимальное значение функции нулевое. С возрастанием q скорость увеличения издержек хранения не изменяется.

Суммарные издержки являются суммой двух предыдущих функций. В силу этого, функция сначала убывает – когда издержки пополнения запасов существенно выше издержек хранения, а после выравнивания размеров издержек начинает возрастать – когда издержки хранения превышают размер издержек пополнения. Функция суммарных издержек имеет один минимум в районе примерного равенства входящих в нее функций.

Построим графики изменения трех видов издержек как функций размера партииq:

Рис..2

Задача 3

Фирма собрала сведения об объемах продаж своей продукции (Yi) за 6 последних месяцев (Xi =1...6) и представила их в виде таблицы. Перед отделом маркетинга поставлена задача аппроксимировать эмпирические данные подходящей функцией, чтобы использовать ее для целей краткосрочного прогнозирования (на один и два месяца вперед, Xj =7, 8).

Таблица 1 - Данные о помесячных объемах продаж фирмы

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

12

14

13

11

14

13

16

Указания к задаче 3:

1) выполните аппроксимацию эмпирических данных линейной функцией у = a0x + a1;

2) выведите нормальные уравнения метода наименьших квадратов для линейной функции;

3) выведите формулы Крамера для параметризации аппроксимирующей линейной функции;

4) для расчета параметров аппроксимирующей линейной функции составьте таблицу.

Таблица.2 - Параметризация аппроксимирующей линейной функции.

i

Xi

Yi

Xi2

XiYi

1

2

3

4

5

6

Сумма

5) запишите выражение для аппроксимирующей линейной функции и рассчитайте ее значения о точках Xi = 1...8; результаты расчетов оформите в виде таблицы;

6) изобразите на одном рисунке в большом масштабе график аппроксимирующей линейной функции и нанесите эмпирические точки.

Решение:

Аппроксимацию эмпирических данных будем выполнять линейной функцией

у = a0x + a1

Сущность метода наименьших квадратов состоит в подборе таких a1 и a0 , чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений будет функцией F этих параметров: F(a0 , a1) = или F(a0 , a1) =

Для отыскания минимума приравняем нулю частные производные по каждому параметру:

=

=

Выполнив элементарные преобразования сумм, получим систему из двух линейных уравнений относительно a1 и a0:

Решим данную систему методом Крамера:

Тогда можно вывести формулы расчета параметров:

Построим расчетную таблицу

Таблица 3 – Расчетная таблица

i

Xi

Yi

Xi2

XiYi

1

1

14

1

14

2

2

13

4

26

3

3

11

9

33

4

4

14

16

56

5

5

13

25

65

6

6

16

36

96

Сумма

21

81

91

290

Найдем значения параметров:

Тогда формула аппроксимирующей линейной функции будет равна

= 0,3714·Xi + 12,2

Найдем значения аппроксимирующей функции:

Таблица 4 – Расчет значений аппроксимирующей функции

i

Xi

1

1

12,5714

2

2

12,9428

3

3

13,3142

4

4

13,6856

5

5

14,057

6

6

14,4284

7

7

14,7998

8

8

15,1712

Построим график аппроксимирующей функции

Рис.1

Задача 4

Найти приращение и дифференциал функции y=a0x3+a1x2+a2x (таблица). Рассчитать абсолютное и относительное отклонения dy от Δy.

Решение:

y=4x3–2x2–3x

Приращение функции

y(xx)–y(x)= 4(xx)3–2(xx)2–3(xx) – (4x3–2x2–3x)=

=4(x3+3x2Δx + 3xΔx2 + Δx3) –2(x2+2 xΔxx2)–3x–3Δx –4x3+2x2+3x=

=4x3+12x2Δx + 12xΔx2 + 4Δx3 –2x2–4 xΔx –2Δx2–3Δx –4x3+2x2=

=12x2Δx + 12xΔx2 + 4Δx3–4 xΔx –2Δx2–3Δx =

=(12x2–4 x–3)Δx +((12x–2)Δx2 + 4Δx3)



Линейная по Δx часть приращения есть дифференциал, то есть

dy=(12x2–4 x–3)Δx или заменяя Δx на dx получим dy=(12x2–4 x–3)dx

Абсолютное отклонение:

Δydy = (12x2–4 x–3)Δx +((12x–2)Δx2 + 4Δx3)– (12x2–4 x–3)Δx =(12x–2)Δx2 + 4Δx3

Относительное отклонение:

Задача 5

Используя дифференциал, рассчитайте приближенное значение функции , оцените относительную погрешность и вычислите значение с 6 знаками.

n=3, x=63

Решение:

Возьмем

=64

=>

Тогда

Относительная погрешность

Задача 6. Найти неопределенные интегралы, используя метод разложения.

Решение:

1)

2)

Задача 7

Найти неопределенные интегралы, используя метод замены переменной.

Решение:

1) 2)

Задача 8

Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

Решение:

1)

2)

Задача 9. Нарисуйте прямоугольный треугольник с вершинами в точках О(0,0), А(а,0), В(0,b). Используя определенный интеграл выведите формулу площади прямоугольного треугольника.

Решение:

Уравнение гипотенузы найдем как уравнение прямой по 2-м точкам:

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

=>

Тогда площадь треугольника равна:

Задача 10. Нарисуйте треугольник произвольной формы, расположив его вершины в точках А11,0), А22,0), В(0,b). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади треугольника произвольной формы.

Решение:

Уравнение сторон найдем как уравнения прямых по 2-м точкам:

А1В: =>

А2В: =>

Тогда площадь треугольника равна:

Задача 11. Начертите четверть круга радиуса R с центром в точке О(0,0). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади круга. (Уравнение окружности x2+y2=R2)

Решение:

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

Из уравнения окружности:

Тогда четверти круга равна:

Тогда площадь круга равна:

Задача 12

Используя определенный интеграл, вычислите площадь, ограниченную кривой y=lnx, осью ОХ и прямой х=е. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Найдем точки пересечения y=lnx =0 (y=lnx с осью ОХ: y=0)=>, тогда искомая площадь:

Задача 13

Вычислите площадь сегмента, отсекаемого прямой y=3–2x от параболы y=x2. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Найдем точки пересечения y= x2 =3–2x => x2 +2x–3=0 =>, тогда искомая площадь:

Задача 14

Вычислить площадь между кривой y=1/x2 и осью ОХ, располагающуюся вправо от линии x=1. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Искомая площадь:

Вычислить приближенное значение интеграла по формуле трапеции, принимая n = 5.

Формула трапеций имеет вид

Длина интервала

Для удобства вычислений составим таблицу:

N

0

1

1,0000

1

2

0,2500

2

3

0,1111

3

4

0,0625

4

5

0,0400

5

6

0,0278

Тогда по формуле трапеций имеем:

Точное значение

Относительная погрешность

Повторим вычисления для 10 отрезков.

Длина интервала

Для удобства вычислений составим таблицу:

N

0

1

1,0000

1

1,5

0,4444

2

2

0,2500

3

2,5

0,1600

4

3

0,1111

5

3,5

0,0816

6

4

0,0625

7

4,5

0,0494

8

5

0,0400

9

5,5

0,0331

10

6

0,0278

Тогда по формуле трапеций имеем:

Относительная погрешность

Как видно, большее число разбиения дает более точный результат.

Задача 15. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Решение:

1)

Разделим переменные

2)

Разделим переменные

Задача 16

Преобразовать дифференциальные уравнения к однородному вида . Выполнить замену y/x и решить.

Решение:

1)

Разделим обе части на xy

2)

Разделим обе части на x

или

Задача 17

Привести линейное дифференциальное уравнение к виду и решить его применив подстановку y=u(x)∙v(x).

Решение:

1)

Преобразуем

=>

Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,

=> => , ,

2)

Преобразуем

=>

Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,

=> => , ,

2)

Разделим обе части на x

или

Задача 18

Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение:

1)

Запишем характеристическое уравнение:

λ2–λ–6=0 => λ1,2=3;-2 =>

Тогда общее решение дифференциального уравнения:

y = C1e3x + C2e–2x

2)

Найдем решение однородного дифференциального уравнения:

запишем характеристическое уравнение

: λ2–6λ+9=0 => λ1,2= 3 =>

y0 = (C1+ C2x)e3x

Запишем частное решение по виду правой части:

ŷ = C3x2+ C4x+ C5

Найдем

ŷ ′ = 2C3xC4

ŷ ′′ = 2C3

Подставим в исходное уравнение, получим:

2C3 – 6(2C3xC4)+9(C3x2+ C4x+ C5) =9C3x2+(9C4–12C3)x+(2C3 + 6C4+9C5)= x2

=> C3 = 1/9, => C4 = 4/27, => C5 = 10/81

y = y0 + ŷ = (C1+ C2x)e3x +

Похожие работы:

  • Высшая математика

    Реферат >> Математика
    Высшая математика Содержание Часть I. Задание №2. Вопрос №9. Задание №3. ...
  • Высшая математика

    Шпаргалка >> Математика
    Высшая математика (шпаргалка) Осн. понятия Грани числовых ...
  • Высшая математика

    Контрольная работа >> Математика
    ... перевозку 7 0 0 0 Х = 0 4 13 0 Z(Х) = 182. 0 0 3 7 Список литературы Высшая математика. Руководство к решению задач. часть 1. Лунгу ... по высшей математике: полный курс. Письменный Д.Т., 2006 г. 4-е изд., 608 с.; Практикум по высшей математике для ...
  • Высшая математика

    Контрольная работа >> Математика
    Контрольная работа Высшая математика ЗАДАЧА 1. В декартовой прямоугольной системе координат ... упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть ====11·23·8=2024 ...
  • Высшая математика

    Реферат >> Математика
    ... – менеджмент КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине: Высшая математика. Вариант № 1. Выполнил студент Ганин Д.Ю. Студенческий ...
  • Высшая математика

    Контрольная работа >> Математика
    Контрольная работа высшая математика ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) —д): а) 1.. ►==. 2. . ►.====0. 3. .. ►.====-∞. б) . Решение.== == === ...
  • Высшая математика

    Контрольная работа >> Математика
    ... ВПО «С.И.Б.У.П.» Контрольная работа по дисциплине «Высшая математика» Вариант 13. Выполнила студентка Проверил ...
  • Высшая математика в профессиональной деятельности военного юриста

    Реферат >> Математика
    ... 2. Предмет и задачи высшей математики в военной юриспруденции 6 3. Исследование разделов высшей математики, использующихся в военной юриспруденции ... использует методы высшей математики во всем многообразии. Предметом высшей математики в военной юриспруденции ...
  • Высшая математика для менеджеров

    Дипломная работа >> Математика
    ... Учебное пособие “Высшая математика для менеджеров” включает такие разделы высшей математики, изучение ... Майстров Л. Е., Митькин А. М. Высшая математика с основами математической статистики. М.: Высшая школа, 1965. 4. Высшая математика: Общий курс / Под ...
  • Высшая математика в экономике

    Контрольная работа >> Математика
    ... = 10204,5 ден. ед. Литература Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ ... . Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. И.А. Зайцев. Высшая математика. -М.: Высшая школа, 1998 ...