Реферат : Асимптоты (определение, виды, правила нахождения) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)




МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА

РЕФЕРАТ

по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.

Москва 2002 год

2

Содержание

Введение 3

2. Нахождение асимптоты 4

2.1 Геометрический смысл асимптоты 5

2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6

3. Виды 8

3.1 Горизонтальная асимптота 8

3.2 Вертикальная асимптота 9

3.3 Наклонная асимптота 10

Использованная литература 12

3

Введение

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).

4

2. Нахождение асимптоты

Пусть функция f (x) определена для всех x  а (соответственно для всех

x а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) kx l = 0 при х    (соответственно при х   ), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x    (соответственно при х   ).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х  + 

(или х   ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.

x 3x 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y = x 1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,

2 2

получим y = x 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х   , то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х  + ,

так и при х   .

5

2.1 Геометрический смысл асимптоты

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,

 - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох,  ,

MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).

(рис.1)

Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM QM = f (x) – (kx +l),

MP = MQ cos . Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos , поэтому условия MQ 0 и MP 0 при х    (соответственно при х   ) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, и наоборот. х   

х   

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х    или, соответственно, х   ).

6

2.2 Общий метод отыскания асимптоты

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х    (при х    рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х   . Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х   . Тогда

lim = k.

х   

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

х

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является

х   

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем

х   

lim f (x) (kx + l) = 0,

х   

то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l = lim (f (x) – kx)

х    х   

сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует

представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim = k. и l = lim (f (x) – kx)

х    х   

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,

найденную нами выше другим способом:

7

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, как при х   , так и при х  - .

В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.

8

3. Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

Пусть  lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x  +) (рис.2)


(рис.2)

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

(рис.3)

9

3.2 Вертикальная асимптота


(рис.4)

Пусть при x a 0 lim f (x) = . Тогда говорят, что прямая x = a является

х  

вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + или .

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

.

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

10

3.3 Наклонная асимптота


(рис.5)

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина

Но тогда мы имеем

и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример

то есть асимптота при x + имеет уравнение y=x.

11

Аналогично можно показать, что при x - асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функции выглядит так (рис.6)

(рис.6)

12

Использованная литература

  1. Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.

  2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981

  3. Лекции по математике

Похожие работы:

  • Асимптота

    Реферат >> Математика
    ... дисциплине: Высшая математика на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения) Выполнила: студентка 1 курса Экономического факультета ...
  • Нахождение пределов функций

    Контрольная работа >> Математика
    ... определения вся вещественная ось, вертикальных асимтот график не имеет. 4. Найдем асимптоты при в виде ... образом при асимптотой служит прямая ОХ оси координат. Найдем левый и правый пределы ...
  • Динамический синтез систем автоматического управления

    Курсовая работа >> Коммуникации и связь
    ... -180о лежит немного правее точки пересечения ЛАЧХ ... удовлетворяющей требованиям ТЗ определение вида и параметров корректирующего ... методом Солодовникова В.В. Для нахождения используем готовые номограммы. ... 303с-1. Высокочастотные асимптоты желаемой ЛАЧХ выполняем ...
  • Шпаргалки на экзамен в ВУЗе (1 семестр, математика)

    Реферат >> Математика
    ... виду уравнение прямой, заданное в виде:Для нахождения произвольной ... скорость изменения скорости, т.е. ускорение. Определение. Правой (левой) производной функции f(x) ... Ее наклонная асимптота у = х. Вертикальные асимптоты.Из определения асимптоты следует, ...
  • Экзаменационные билеты по математике

    Реферат >> Математика
    ... Определение вертикальной и наклонной асимптот графика функции. Алгоритм нахождения наклонной асимптоты. Определение первообразной и неопределенного интеграла функции. Правило ... [-2; 2]? Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса (на примере). Зав ...
  • Пределы последовательностей и функций

    Реферат >> Математика
    ... являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно ... определенной последовательности. 1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты ... пределов интегрирования, используя вид замены. Подставим нижний ...
  • Производная, дифференциал и интеграл

    Контрольная работа >> Математика
    ... являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно ... определенной последовательности. 1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты ... пределов интегрирования, используя вид замены. Подставим нижний ...
  • Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников

    Учебное пособие >> Математика
    ... вида асимптот и определим способы их нахождения. Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида х = а. В этом случае определение асимптоты ... : а) у = (N+2)x2+x+1 б) y = M+2 x x2+1. Правила выполнения и оформления контрольных работ В первом ...
  • Функции и их производные

    Контрольная работа >> Математика
    ... данных функций: б) Применяем правило нахождения производной произведения функций в) № ... вектора grad u в точке А (-1,3,2) По определению: б) в точке А в направлении вектора ... асимптоты в виде , где Получили асимптоту у=х. Найдем пересечение кривой с асимптотой ...
  • Дифференциальные уравнения

    Контрольная работа >> Математика
    ... правила и формулы дифференцирования, имеем: в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения ... определения уравнения наклонной асимптоты у=kx + b воспользуемся формулами: Тогда При вычислении пределов использовалось правило ...