Сочинение : Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Сочинение >> Математика


Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора




Алгебраическое доказательство теоремы пифагора

Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

С22 + В2, /1/

где: С - гипотенуза;

А и В - катеты.

Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.

Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /1/ имеет бесконечное количество решений в целых числах.

Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:

А2 = С22 /2/

Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.

Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С. Уравнение /2/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:

А2= (C-B) (C+B) /3/

Используя метод замены переменных, обозначим:

C-B=M /4/

Из уравнения /4/ имеем:

C=B+M /5/

Из уравнений /3/, /4/ и /5/ имеем:

А2 =M∙ (B+M+B) =M∙ (2B+M) = 2BM+M2 /6/

Из уравнения /6/ имеем:

А2 - M2=2BM /7/

Отсюда: B = /8/

Из уравнений /5/ и /8/ имеем:

C= /9/

Таким образом:

B = /10/

C /11/

Из уравнений /8/ и /9/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A2 на число M, т.е. число M должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа А или A2.

Числа А и M должны иметь одинаковую четность.

По формулам /10/ и /11/ определяются числа B и C как переменные, зависящие от значения числа А как параметра и значения числа M.

Из изложенного следует:

Квадрат простого числа A равен разности квадратов одной пары чисел B и C (при M=1).

Квадрат составного числа A равен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B и C.

Все числа являются пифагоровыми.

Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами.

Похожие работы:

  • Теорема Пифагора

    Реферат >> Математика
    ... 1) Введение. Биография Пифагора. Не алгебраические доказательства теоремы. А) Простейшее доказательство. Б) Древнекитайское доказательство. В) Древнеиндийское доказательство. Г) Доказательство Евклида. Алгебраические доказательства теоремы. А) Предисловие ...
  • Доказательство великой теоремы Ферма для четных показателей степени

    Доклад >> Математика
    ... /3/ Для доказательства великой теоремы Ферма используем алгебраическое доказательство теоремы Пифагора. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА (Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах) Теорема Пифагора формулируется следующим ...
  • Алгебраические кривые и диофантовы уравнения

    Статья >> Математика
    ... напротив прямого угла. Теорема Пифагора утверждает справедливость равенства (1) ... Уайлз и Ричард Тейлор опубликовали доказательство теоремы Ферма в 1995 г. Любой ... на евклидовой плоскости, задаваемой произвольным алгебраическим уравнением (8) C:  aij xi ...
  • Остров Самос — Родина Пифагора

    Реферат >> Исторические личности
    ... доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализации. Открытие теоремы Пифагором ...
  • Теорема Ферма: история и доказательства

    Реферат >> Математика
    ... , образуют знаменитый треугольник Пифагора). Справедливость этой теоремы подтверждается для многих частных ... единственная теорема, доказанная здесь, т. к. доказательство её считается элементарным, т. е. основанным на простых алгебраических преобразованиях ...
  • Логика. Формальная или диалектическая?

    Реферат >> Логика
    ... будора­жит, пьянит. С анализа доказательства теоремы Пифагора мы и начнем непос­редственно, ... равенство квадратов М'К'О'Р' и МКОР в доказательстве теоремы Пифагора. Архимеду необходимо было "узнать, не ... которое известно из алгебраической геометрии. Если, ...
  • История доказательства Великой теоремы Ферма

    Реферат >> Педагогика
    ... , которое всем известно, — теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат ... корней проблемы. Работая над доказательством теоремы Ферма, вы могли ... доказательства, и началась тщательнейшая проверка. Специалисты по теории чисел и алгебраической ...
  • Элементарное доказательство великой теоремы Ферма

    Реферат >> Математика
    ... сложного раздела математики "теории алгебраических чисел" (первооткрывателем этого направления ... им условий). Но теория алгебраических чисел так и не позволила ... при доказательстве теоремы (1) для случая n = 4. Запишем эти формулы для решения уравнения Пифагора ...
  • Развитие математики

    Реферат >> Математика
    ... Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора. Числа у пифагорейцев выступают основополагающими ... научные силы, становятся дифференциальная и алгебраическая геометрия. Дифференциальная геометрия евклидова трехмерного ...
  • Пифагор

    Реферат >> Философия
    ... , открыли доказательство общей теоремы. К несчастью для Пифагора, эта его теорема сразу же ... нас естественнее было бы доказывать алгебраически, например, что (а + b)2 = а2 + 2ab ... искали бы логических доказательств бытия Бога и бессмертия. У Пифагора все это ...