Реферат : Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля




Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля

Предположим, что существует множество R, на котором расположены две алгебраические операции: сложение и умножение.

Принято считать, что умножение имеет свойство правой дистрибутивности по отношению к сложению:

.

И соответственно сложение имеет свойство левой дистрибутивности по отношению к умножению. В случае, если операция умножения коммутативна, тогда данные свойства равнозначны.

Применяя свойства дистрибутивности, подразумеваем двустороннюю дистрибутивность.

Допустим, операция сложения на множестве R имеет нейтральный элемент, т. е. 0.

Приравняв у и z к нулю, получим: x * 0 = x * 0 + x * 0, владея свойством сокращения для операции сложения, получаем, что x * 0 = 0.

В случае наличия у элемента y противоположный элемент, т. е. отрицательный, приравняв z к (-y), получим: 0 = x * 0 = x * y + x *(-y), отсюда следует, x *(-y) = -x * y.

Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: .

Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.

Кольцом называется множество с двумя алгебраическими операциями R (+, *), если:

0.

Обратимыми называют те элементы кольца R, которые имеют обратные относительно операции умножения, множество R в данном случае обозначается через .

Множество является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R для ассоциативного кольца с единицей.

Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.

Ассоциативное кольцо — это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности.

Кольцо с единицей — наличие нейтрального элемента для операции умножения.

(R, +) — абелева группа (аддитивная группа кольца R).

Приведем некоторые примеры колец и полей.

Допустим R — любое ассоциативное коммутативное кольцо и x — некоторый символ. Формальная сумма вида p = , где называется многочленом над кольцом R.

Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам, и они образуют кольцо R [x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p = e будет единицей кольца R [x]. Если , то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg (p).

Если R не имеет делителей нуля, то deg (pq) = deg (p) + deg (q), и потому R [x] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени.

Данная конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных по определению: R [x,y] = R [x][y] (= R [y][x]).

Аддитивная группа этого кольца — хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа содержит всего 2 элемента — 1 и -1 — и потому изоморфна .

Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Элементы, не входящие в , необратимы, хотя и не являются делителями нуля.

Рассмотрим поля R, Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел.

Построенное поле из двух элементов обозначается GF (2).

Если p — простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Любое поле содержит по крайней мере 2 элемента: 0 и e. Этот «минимальный» запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом.

Рассматривая группу с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF (p).

Будем считать, что R является ассоциативным коммутативным кольцом. Кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно.

Множество квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц.

Если det (A) — обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц: , где — присоединенная к А матрица.

Если R содержит единицу , то матрица Е = diag (, ,..., ) будет единицей кольца матриц.

Для любой матрицы имеет смысл понятие определителя det (A) R, причем det (AB) = det (A) det (B).

= — группа матриц порядка n с обратимым определителем. Любая вырожденная матрица будет делителем нуля. В случае поля R это означает, что det (A) 0, то есть матрица невырождена.

В самом деле, из det (A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: , причем не все коэффициенты нулевые.

А * В = 0, где А является делителем нуля в том случае, если В — ненулевая матрица.

Подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2 Z Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R, и K имеют единицы, но они не равны друг другу.

Например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом, = diag (1,1,...,1,0) = diag (1,1,...,1).

Допустим, — некоторое подкольцо. К, + — подгруппа коммутативной группы R,+, можно образовать факторгруппу R / K, элементами которой являются смежные классы r + K.

Поскольку К * К К, для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r + K) * (s + K) r * s + r * K + K * s + K.

Подкольцо К называется идеалом кольца R, если : x * K K и K * y K.

Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов (r + K) * (s + K) содержится в смежном классе r * s + K. Значит, в факторгруппе R / K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.

Подкольцом является подмножество , если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R.

Согласно данной интерпретации, К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: .

К будет обладать свойствами ассоциативности, коммутативности или отсутствием делителей нуля, если R обладает такими свойствами.

Отображение, сохраняющее обе кольцевые операции: и называется гомоморфизмом колец .

Пусть — сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R / Ker. Если эти изоморфные кольца отождествить, то отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.

Ядро группового гомоморфизма аддитивных групп называется ядром гомоморфизма . Ядро гомоморфизма колец является идеалом.

Пусть — гомоморфизм колец, I = Ker , — любой элемент. Тогда, (x * I) = (x) * (I) = (x) * 0 = 0. Значит, x * I Ker = I.

Аналогично проверяется, что I * x I.

Взаимно однозначный гомоморфизм является изоморфизмом.

Отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце. Такие свойства как ассоциативность, коммутативность и наличие единицы сохраняются при переходе к факторкольцу

Приведем примеры.

Всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем, если кольцо S является полем. В самом деле, если , x 0, то для всякого имеем: , откуда .

Если любой его элемент, то множество I = x * S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x.

Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x) = S.

Факторкольцо Z / nZ — это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Идеалом кольца Z является подкольцо nZ, так как для любого целого m m (nZ) nZ. Если число n не является простым, то Z / nZ имеет делители нуля.

Допустим, что I — идеал кольца R. Тогда, соотнося каждому элементу смежный класс r + I, получаем сюръективный гомоморфизм , который называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.

Предположим, что I R [x] является множество всех многочленов , у которых = 0. Тогда I = xR [x]. Так как p * I = (p * x) R [x] I, значит, получаем идеал кольца многочленов.

Каждый смежный класс q + I содержит элемент , поэтому (q + I) * (s + I) = (+ I) * (+ I) = * + I.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.matematika-r.info/

Похожие работы:

  • Линейная Алгебра. Теория групп

    Реферат >> Математика
    ... 15 Г(n) 1 1 2 1 2 1 5 2 2 1 5 1 2 1 ab(n) 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 2 1 1 1 Лекция№8 Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля. Пусть на множестве R определены две алгебраические операции, которые мы будем ...
  • Теория колец

    Реферат >> Математика
    Теория колец Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля. Пусть на множестве R определены две алгебраические операции, которые мы будем называть сложением ...
  • Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра"

    Шпаргалка >> Математика
    ... , а U-множество операций. Для введения определения кольца необходимо рассмотреть непустое множество и задание операций. Опр.2 Кольцом называется алгебра < K,+,> с двумя ...
  • Теорема Силова

    Курсовая работа >> Математика
    ... алгебраических операциях, выполняемых над элементами различных множеств. Сами алгебраические операции ... (1,2), b (1,2,3). Пример 2. Группа задана двумя образующими c, a и соотношениями a2=1 ... др. Алгебра. Группы, кольца, поля. Векторные и евклидовы пространства ...
  • Многочлены над кольцом классов вычетов

    Курсовая работа >> Математика
    ... полиномом называется алгебраическая сумма одночленов. ... множество полиномов от буквы x с коэффициентами из кольца составляет кольцо по отношению к выше определенным операциям ... определяемых двумя многочленами из кольца K[x], ... многочленов над полем R называется ...
  • Теория информации

    Учебное пособие >> Информатика, программирование
    ... Множества, для которых определены некоторые алгебраические операции, называют алгебраическими системами. Под алгебраической операцией понимают однозначные сопоставление двум ... В рассмотренных алгебраических системах (группа, кольцо, поле) операции относились ...
  • Теория симметрии молекул

    Дипломная работа >> Химия
    ... H(2), H(4) – в H(1). 1.2 Групповые постулаты 1. Алгебраические операции Определение 1. Бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве М, называется правило, согласно ... задается двумя образующими ... кольцом А, если кольцо является алгеброй над полем ...
  • Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета

    Реферат >> Математика
    ... кольца и поля. Определение. Непустое множество A, на котором заданы операции сложения и умножения, называется кольцом ... 2)t, т.е. разность между двумя частными решения системы ... требовалось. 30. Строение простых алгебраических расширений. Определение. Пусть k ...
  • Комплексные числа (избранные задачи)

    Дипломная работа >> Математика
    ... комплексными числами в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания ... с параметром (над полем С). Есть задания ... следует, что множество точек z, удовлетворяющих данному ... Так как , а это и есть ...
  • Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... больше. 3. Через полую непрозрачную трубку (рис.3) ... тяжелое коль­цо. Найти положение равновесия кольца на ... сте­пени поглощается арифметическими и алгебраическими операциями. 3. Известно, что ... двум данным углам мы можем построить бесконечное множество ...