Реферат : Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла




Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла

Введение

Данная задача заключается в решении определенного интеграла по квадратурной формуле Чебышева. Как известно, вычисление определенного интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми x = 0, y = a, y = b и y = f(x).

При вычислении определенного интеграла можно воспользоваться известной всем, формуле Ньютона – Лейбница, при условии f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а также определена ее первообразная F(x). Но во многих случаях первообразная получается очень сложной для вычисления, да и функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование, задача которого заключается в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям подынтегральной функции f(x) в некоторых точках (узлах) отрезка [a, b].

Механическая квадратура — численное значение однократного интеграла, и формулы численного интегрирования соответственно называют квадратурными.

Меняя подынтегральную функцию каким-либо интерполяционным многочленом, получаем квадратурные формулы, где x k — выбранные узлы интерполяции; A k — коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции (k = 0, 1, 2,........,n); R — остаточный член, или погрешность квадратурной формулы, отбросив который получим погрешность усечения. Далее, при расчете к погрешности усечения добавляются другие погрешности округления.

Разбив отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей получим следующее: x i = x o + i .. h; (i = 0, 1, 2,......,n) x o = a; x n = b; h= (b-a)/n. Вычислим подынтегральную функцию в полученных узлах: y i = f(x i); (i = 0, 1, 2,......,n).

Для выведения формул численного интегрирования воспользуемся интерполяционным полиномом Лагранжа.

Пусть для функции y = f(x) известны в n + 1 точках X0, X1, X2, Xn промежутка [a,b] соответствующие определения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). По заданным значениям Yi строим полином Лагранжа, заменяя f(x) полиномом Ln(x), где Rn(f) — ошибка квадратурной формулы. Воспользовавшись выражением для Ln(x), получим приближенную квадратурную формулу.

Однако заметим, следующее: коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x); для полинома степени n последняя формула точная.

Считая, что y = xK (k = 0, 1, 2..,n), получим линейную систему из n + 1 уравнений, где (k = 0, 1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0, А1,..,АN. Определитель системы есть определитель Вандермонда/

Но также необходимо заметить, что при применении данного метода фактически построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С. М. Никольским.

Применяя метод трапеций и средних прямоугольников, интеграл будет численно равняться сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумме площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, график функции должен пересекать в середине.

Определим общую формулу Симпсона (параболическая формула) по следующим условиям: пусть n = 2m есть четное число и yi = f(xi) (i = 0, 1, 2...n) - значения функции y = f(x) для равноотстоящих точек а = x0, x1, ... ,xn=b с шагом h. Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения s 1 =y 1 +y 2 + ... +y 2m-1 s 2 =y 2 +y 4 + ... +y 2m получим обобщенную формулу Симпсона и остаточный член формулы Симпсона в общем виде, где x k I (x 2к-2 ,x 2к).

Рассмотрим квадратурную формулу Чебышева: пусть дана функция f(x) в виде многочлена f(x)=a o +a 1 x+...+a n x n. Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах:

f(x 1)=a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 12 +a 3 x 13 +...+a n x 1n

f(x 2)=a 0 +a 1 x 2 +a 2 x 22 +a 3 x 23 +...+a n x 2n

f(x 3)=a 0 +a 1 x 3 +a 2 x 32 +a 3 x 33 +...+a n x 3n

f(x n)=a 0 +a 1 x n +a 2 x n2 +a 3 x n3 +...+a n x nn

получим формулу Чебышева.

Значения х1,х2,..,хn для различных n приведены ниже в таблице:

n

I

t i

n

i

t i

2

1;2

± 0,577350

6

1;6

± 0,866247

3

1;3

± 0,707107

2;5

± 0,422519

2

0

3;4

± 0,266635

4

1;4

± 0,794654

7

1;7

± 0,883862

2;3

± 0,187592

2;6

± 0,529657

5

1;5

± 0,832498

3;5

± 0,321912

2;4

± 0,374541

4

0

3

0

Решение контрольного примера: f(x) = sin(x); где a = 0; при n = 5.

i

x i

y i

1

0,131489

0,131118

2

0,490985

0,471494

3

0,785

0,706825

4

0,509015

0,487317

5

0,868511

0,763367

x 1 = p /4+ p /4*t 1 = p /4+ p /4(-0,832498) = 0,131489

x 2 = p /4+ p /4*t 2 = p /4+ p /4(-0,374341) = 0,490985

x 3 = p /4+ p /4*t 3 = p /4+ p /4*0=0,785

x 4 =1- x 2 = 1-0,490985 = 0,509015

x 5 =1- x 1 = 1-0,131489 = 0,868511

y 1 = sin(x 1) = sin(0,131489) = 0,131118

y 2 = sin(x 2) = sin(0,490985)=0,471494

y 3 =sin(x 3) = sin(0,785) = 0,706825

y 4 =sin(x 4) = sin(0,509015) = 0,487317

y 5 =sin(x 5) = sin(0,868511) = 0,763367

I = p /10(0,131118+ 0,471494+0,706825+0,487317+0,763367) = p /10*2,560121=0,8038779

Описание алгоритма программы.

Процедура TABL — это подпрограмма, осуществляющая вывод таблицы узлов (аргумент — функция).

Процедура CHEB — используя массивы x i и y i, высчитывает по квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла.

Процедура FORM — используя массив, содержащий аргументы x i заполняет массив y i.

Процедура VVOD — заполняет массив, содержащий в себе аргументы x i.

При запуске программы необходимо ввести границы интегрирования. После ввода границ интегрирования используется процедура VVOD, а затем высчитывается и выводится на экран шаг табулирования функции h. После этого используем процедуры FORM и CHEB. Получив результат, выводим таблицу (процедура TABL) и интеграл.

Делая вывод по исследованию нашей работы можно заметить, что вычисление определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное. Чтобы вычислить интеграл более точно нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Также важно какой будет взят шаг интегрирования. На практике не всегда можно решить задачу интегрирования аналитическим способом, поэтому необходимо знать численные методы, хотя и они не могут дать точного значения интеграла.

Листинг программы: program integral; uses crt; const n = 5; k = -0.832498; l = -0.374541; z = 0.0; type aa = array[1..n] of real; var x,y:aa; a,b,h,ich:real; { заполнение х-сов в массив х[5] }; procedure vvod(var a,b:real;var c:aa); var i:integer; t:aa; Begin t[1]: = k; t[2]: = l; t[3]: = z; t[4]: = l; t[5]: = k; for i: = 1 to n-1 do c[i]: = ((b+a)/2 + (b-a)/2*t[i]); for i: = n-1 to n do; c[i]: = 1 - c[n+1-i]; end; {заполнение y-ков в массиве у[5]} procedure form(var x:aa; var y:aa); var i:integer; Begin for i:=1 to n do y[i]:=sin(x[i]); {функция} end; {процедура для расчета интеграла по квадратурной формуле Чебышева} procedure cheb(var y:aa;var ich:real); var i:integer; Begin ich: = 0; for i: = 1 to n do ich: = ich+y[i]*h; end; {процедура вывода таблицы} procedure tabl; var i:integer; Begin

writeln('___________________________________');

writeln('| i | t | x | y |');

writeln('___________________________________');

writeln('| 1 |',k:9:6,'|',x[1]:9:6,' |',y[1]:9:6,'|');

writeln('| 2 |',l:9:6,'|',x[2]:9:6,' |',y[2]:9:6,'|');

writeln('| 3 |',z:9:6,'|',x[3]:9:6,' |',y[3]:9:6,'|');

writeln('| 4 |',l:9:6,'|',x[4]:9:6,' |',y[4]:9:6,'|');

writeln('| 5 |',k:9:6,'|',x[5]:9:6,' |',y[5]:9:6,'|');

writeln('___________________________________');

end; Begin clrscr; writeln (Программа для вычисления); writeln (Определенного интеграла); writeln; writeln('Введите границы интегрирования a,b:'); readln(a,b); vvod(a, b, x); h: = (b-a)/n; writeln ('h = ',h:9:6); form(x,y); cheb(y,ich); tabl; writeln('I = ',ich:8:6); end

Вывод результата: Программа для вычисления определенного интеграла.

Введите границы интегрирования a,b: 0 1.5708, h= 0.314160

____________________________

| i | t | x | y |

____________________________

| 1 |-0.832498| 0.131556 | 0.131177|

| 2 |-0.374541| 0.491235 | 0.471716|

| 3 | 0.000000| 0.785400 | 0.707108|

| 4 |-0.374541| 0.508765 | 0.487099|

| 5 |-0.832498| 0.868444 | 0.763325|

____________________________

I=0.804383

Список литературы

Ракитин Т. А., Первушин В. А. Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic.

Крылов В. И. Приближенные вычисления интегралов. — М.: Физмат.

Демидович и Марон. Основы вычислительной математики.

Копченова и Марон. Вычислительная математика в примерах и задачах.

Вольвачев А. Н., Крисевич В. С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. — Минск, 1989.

Зуев Е. А. Язык программирования Turbo Pascal. — М., 1992.

Скляров В. А. Знакомьтесь: Паскаль. — М., 1988.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.matematika-r.info/

Похожие работы:

  • Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

    Реферат >> Математика
    ... Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева КУРСОВАЯ ... квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln(x), получаем приближенную квадратурную формулу: Для вычисления ... что при применении этого метода ...
  • Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

    Реферат >> Математика
    ... тему “Приближенное вычисление определенного интегралапри помощи квадратурной формулы Чебышева” Студента 2-го ... , что при применении этого метода фактическое ... функция} end; { процедура для расчета интеграла по квадратурной формуле Чебышева } procedure cheb(var ...
  • Экзаменационные билеты по численным методам за первый семестр 2001 года

    Реферат >> Остальные работы
    ... квадратурной формулой для приближенного вычисления определенного интеграла? Что называется составной квадратурной формулой? Напишите квадратурную формулу метода прямоугольников для вычисления определенного интеграла. Напишите составную квадратурную формулу ...
  • Интеграл Лебега-Стилтьеса

    Дипломная работа >> Математика
    ... определение самого интеграла, свойства, способы вычисления, рассмотрено множество примеров. Третья глава посвящена применению интеграла ... изучении вопроса о квадратуре интеграла , Стилтьес ставит вопрос о квадратурных формулах для интеграла вида . (4) Он ...
  • Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

    Реферат >> Математика
    ... соответствие функции f(z), определенной на L, ... является построение квадратурных формул для интеграла обращения (8). ... формуле (17), в которой - коэффициенты смещенного многочлена Чебышева первого рода . В вычислениях ... неудобными для применений формулами. ...
  • Практическое применение интерполирования гладких функций

    Курсовая работа >> Математика
    ... эксперимента. Для вычисления многих ... квадратурных формул для численного интегрирования, для ... применение интерполирования функций. 1. Постановка задачи интерполяции интерполяция погрешность полином 1.1 Определение ... интеграла, зависящего от параметра. Эта формула ...
  • Численные методы решения типовых математических задач

    Курсовая работа >> Математика
    ... и их применение к решению конкретных ... подлежащие определению. Для их определения выразим из ... мало пригодными для вычисления Pn(x). Поэтому ... полиномы Лежандра, Чебышева, Лагерра, ... Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами. ...
  • Численные методы

    Учебное пособие >> Математика
    ... функции Численное интегрирование 2.1 Формулы прямоугольников 2.2 Формулы Ньютона - Котеса Формулы Симпсона и Ньютона Формулы Чебышева и Гаусса Численное ... =t4=0.794654 -t2=t3=0.187592 Для вычисления интеграла по формулам 4 и 5 следует сделать замену ...
  • Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов

    Курсовая работа >> Математика
    ... актуальность применения этого ... формулами Эйлера-Фурье: , , , (10) для вычисления ... образует квадратурную сумму для интеграла , ... Чебышева ... формулами (3.7). Определенные удобства имеются также при вычислении экспонент, входящих в расчетные формулы. При вычислении ...