Доклад : Отображение геометрических структур 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Доклад >> Математика


Отображение геометрических структур




Отображение геометрических структур

ABSTRACT

Mapping geometrical arrangements of a fiber space of differential equations, bound mapping of Hopf-Colle is under construction.

Устанавливается изоморфизм отображений Хопфа-Коула (Hopf E, Cole J. D.) [ 1, 2 3 ] и отображений геометрических структур дифференциальных уравнений, что позволяет определить сферы действия геометрического исчисления с соответствующей метрикой. Эта сфера действия соответствующих метрик определяется линейными и нелинейными связями.

Имеется проблема.

В настоящее время геометрии искривленных пространств позволяют извлекать физическую информацию в основном о системах космических и галактических масштабов: релятивистская теория гравитации (ОТО) и новая релятивистская теория гравитации (РТГ), в которых определяется «метрический тензор риманового пространства».

Но геометрия – раздел математики. Геометрическое исчисление имеет силу во всех разделах физики. Примером может служить интегральное исчисление, которое широко используется во всех разделах физики.

С помощью метрического тензора опускают и поднимают индексы у тензоров, находят их абсолютные переносы, определяют ковариантные производные и связности… Итак, посредством определенных в ОТО и РТГ метрических тензоров дважды поднимаются индексы, например, у тензора диэлектрической проницаемости в электродинамике, определяется перенос составляющих вектора электрической напряженности. Каков физический смысл этих действий? Ведь метрические тензоры в ОТО и РТГ – это гравитационные потенциалы!

В материальном мире реализуются многомерные пространства. С каждой физической системой и с каждым процессом ассоциируются соответствующей структуры пространства. Введение многомерных расслоенных пространств возможно во всех разделах физики. И не просто возможно, а геометрии расслоенных пространств составляют основу теорий всех разделов физики.

Геометрические действия с соответствующей метрикой возможно только в рамках соответствующей связи. При переходе к другой связи посредством соответствующих отображений происходит переход и к другой метрике посредством этих же отображений. Введение тензоров (скаляров, спиноров, векторов, тензоров более высокого ранга) производится только относительно соответствующих преобразований обобщенных координат. В физике вводятся многомерные пространства внутренних степеней свободы. Примером пространства внутренних степеней свободы в физике может служить изотопическое пространство, векторы в котором вводятся на основе преобразований координат изотопического пространства. В пространстве внутренних степеней свободы вводятся обобщенные базовые и слоевые координаты.

В качестве демонстрации данных утверждений и рассматривается сформулированная здесь задача.

Отображение Хопфа-Коула связывает два дифференциальных уравнения и их решения [ 1, 2, 3 ]: нелинейное уравнение Бюргерса [ 4 ] и уравнение теплопроводности (диффузии). Эти уравнения отображают соответствующие связи. Этих уравнений мы рассматриваем частные случаи (демонстрируется сам принцип) и обобщаем их на слоевые пространства.

Нелинейное уравнение (3) (см. Табл.) получено из уравнения типа уравнения Бюргерса в классе решений

т.е. (1)

с использованием отображения (2) [ 5 ]:

Отображение геометрических структур

Таблица

Дифференциальное уравнение типа уравнения теплопроводности

(3)

-постоянные.

- длина вектора в пространстве

- постоянная интегрирования.

(5)

(10)

(12)

(5’)

Дифференциальные уравнения, связанные отображением Хопфа-Коула

(2)

- постоянные.

слоевые пространства

слоевые координаты

метрические функции

решение дифференциальных уравнений

дифференциальные уравнения для метрической функции


решения дифференциальных уравнений для метрических функций

отображение Хопфа-Коула для метрических функций

(7)

ковариантные слоевые координаты

составляющие метрического

тензора

-

однородные степени нуль в слоевых координатах.

коэффициенты связностей

-

однородные степени – 1 в слоевых координатах

.

длина векторов

условие Эйлера

выполнение свойства

(14)

дважды ковариантные составляющие метрического тензора

Уравнение, следующее из нелинейного дифференциального уравнения типа уравнения Бюргерса

(4)

- постоянные

- длина вектора в

пространстве

где - постоянная интегрирования и

(6)

(9)

(11)

(13)

(6’)

)

Из Таблицы следует, что структура составляющих контравариантных векторов, метрического тензора, связностей сохраняется. Изменяется их конкретное содержание. Отображения Хопфа-Коула меняют длину слоевых координат . Поскольку выполняется условие Эйлера и сохраняется свойство (14),то коэффициенты связностей найдены правильно. Итак, 1)если связь задана дифференциальным уравнением вида (3), тогда следует проводить геометрическое исчисление с метрическим тензором (10) и метрикой (5), 2)если же связь задана нелинейным дифференциальным уравнением вида (4), тогда следует проводить геометрическое исчисление с метрическим тензором (11) и метрикой (6), которые могут быть получены отображением Хопфа-Коула (2).

ЛИТЕРАТУРА

1.Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics/ Quart App. Vath.,1951, 9, pp. 225-236.

2.Hopf T. The partial differential equation Comm. Pure Appl.Math.,1950, pp/ 201-230.

3.Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. Перевод с англ. -М.: Мир, 1987, 180 с.

4.Burgers J. M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence/Adv. Appl. Mech, 1948, 1, pp. 171-199.

5.Севрюк В.П. Геометрии расслоенных пространств теории обобщенных криволинейных координат. ВИНИТИ , N 3378-B90 Деп., 145 с.

Похожие работы:

  • Отображения в пространстве R(p1,p2)

    Реферат >> Математика
    ... d`e= W`e (1), причем формы Пфаффа q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства : D q = qÙW , DW=WÙW=0. Пусть ... репером нулевого порядка отображения f. §3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f. Осуществим продолжение ...
  • Структура аффинного пространства над телом

    Реферат >> Математика
    ... одноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности , ассоциированную с нулевым векторным ... существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация: Предложение 5.8. Отображение является проектированием ...
  • Структура и содержание теоретико-методологического обеспечения педагогической интеграции

    Реферат >> Педагогика
    ... в педагогике Аксиоматический метод Геометрический метод Логико-теоретические методы ... знаки, а как своего рода "отображение" соответствующих явлений, а само понимание ... структуре деятельности и на инвариантной структуре деятельности. Всеобщая структура ...
  • Метод развития мышления и познания истины

    Реферат >> Философия
    ... народного образования в государственную структуру, прерывающую преемственную связь между ... избранниками во властные и административные структуры с правами и обязанностями избирателей ... тело. Согласно данному отображению геометрическая точка, расположенная на ...
  • Основние пути развития европейской культури ХІХ в.

    Шпаргалка >> Культура и искусство
    ... художников, является не отражение или отображение, а создание новой, иной реальности ... животного, т.е. в конечном счете отображение предметов окружающего мира. Связь с ... , его интересовала не столько геометрическая структура произведения как такового, сколько ...
  • ... Компьютерная графика и Системы искусственного интеллекта. Геометрические преобразования

    Реферат >> Информатика, программирование
    ... демонстрация формирования последовательности выполняемых пра­вил; отображение использованных и добавленных новых фактов ... и методовобработки; - обучения алгоритмам преобразования структур данных геометриче­ских моделей и способам организации выводов в ...
  • Миф о мифологическом сознании

    Реферат >> Религия и мифология
    ... без соответствующего адекватного (!) отображения этой реальности!!! Рассмотрим ... совершенства, и улучшить его геометрическую структуру невозможно (если продолжать ставить ... стремление к достижению наиболее адекватного отображения реального мира; с другой ...
  • Задача Лагранжа

    Реферат >> Математика
    ... . Изобразительные модели хорошо приспособлены для отображения статического или динамического явления в определенный ... подмену одного свойства (цвет) другим (геометрическая структура) в соответствии с некоторыми правилами преобразования. В картографии ...
  • Кубизм

    Реферат >> Культура и искусство
    ... с одной стороны, на отображение внутреннего мира человека, его ... Сезанн, пытаясь посредством выявления ритмических, геометрических структур проникнуть в сущность вещей и явлений ... художников, является не отражение или отображение, а создание новой, иной ...
  • Использование средств наглядности на уроках математики в начальных классах

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... иметь в виду тождественность отображения ими структур и отношений изучаемых ... необходимости усиления роли геометрического материала и геометрических методов в ... представленных представлений у учащихся. Геометрический материал дается в дополнение к ...