Реферат : Математическое моделирование экономических систем (работа 3) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Математическое моделирование экономических систем (работа 3)




Математическое моделирование экономических систем

Раздел 1. Выбор оптимального маршрута поездки.

Постановка задачи:

Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.

Порядок решения задачи:

  1. Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.

А 1 Б



4 В 2


Д 3 Г

Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.

пункт i

А

Б

В

Д

1

4

yi

0

¥

¥

¥

¥

¥

28

13

17

8,32

9

16,64

Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.

Затем пересчитываем величины yi используя правило:

Если yj + lij < yi , то величина yi = yj + lij , в противном случае yi оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.

yA + l4A=0+9=9 < y4=¥ Þ y4=9

yA + lBA=0+13=13 < yB=¥ Þ yB=13

yA + l1A=0+8,32=8,32 < y1=¥ Þ y1=8,32

Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.

y4 + lB4=9+7=16 > yB=13

y4 + lД4=9+8=17 < уД=¥ Þ yД=17

yВ + lДВ=13+12=25 > yД=17

yВ + lБВ=13+15=28 < уБ=¥ Þ yБ=28

yВ + l=13+9=22 > у1=8,32

y1 + lВ1=8,32+10=18,32 > yВ=13

y1 + lБ1=8,32+8,32=16,64 < уБ=28 Þ yБ=16,64

yД + l=8,32+17=25,32 > y4=9

yД + lВД=17+12,32=29,32 > yВ=13

yБ + lВБ=16,64+15,32=31 > yВ=13

yБ + l=16,64+8=24,64 > y1=8,32

Теперь проверим условие lij ³ yi - yj для всех дуг сети.

l4A = у4 - уА 9=9-0

l > у4 – уД 8,32>9-17

lД4 = уД – у4 8=17-9

lДВ > уД – уВ 12>17-13

lBA = yB - yA 13=13-0

l> yB – yД 12,32>13-17

l> yB – yБ 15,32>13-16,64

lB4 > yB – y4 7>13-9

lB1 > yB – y1 10>13-8,32

lБВ > уБ - уВ 15>16,64-13

lБ1 = уБу1 8,32=16,64-8,32

l = у1уА 8,32=8,32-0

l > у1уВ 9>8,32-13

l > у1уБ 8>8,32-16,64

Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:

lij = yi - yj

Таковыми являются:

l4A = у4 - уА 9=9-0

lД4 = уД – у4 8=17-9

lBA = yB - yA 13=13-0

lБ1 = уБу1 8,32=16,64-8,32

l = у1уА 8,32=8,32-0

Кратчайшие расстояния до пункта А равны:

пункт

4

Д

Б

1

В

расстояние до А

9

17

16,64

8,32

13

Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.

  1. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.

А

Б

В

Г

Д

А

---

16

13,32

---

17,64

Б

16,64

---

15

21

---

В

13

15,32

---

15

12,32

Г

---

21,64

15,32

---

16

Д

17

---

12

16,32

---

  1. Математическая модель задачи коммивояжера:

Найти минимальное значение целевой функции z

n+1 n+1

min z = S S lij * xij

i=1 j=1

при следующих ограничениях:

  • из каждого города i нужно уехать только один раз

n+1

S xij = 1 i=1, ......, n+1

j=1

  • в каждый город j нужно приехать только один раз:

n+1

S xij = 1 j=1, ......, n+1

i=1

  • переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,

1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 - в противном случае

  • решение есть простой цикл

  1. Решение задачи:

А

Б

В

Г

Д

А

---

16

13,32

---

17,64

Б

16,64

---

15

21

---

В

13

15,32

---

15

12,32

Г

---

21,64

15,32

---

16

Д

17

---

12

16,32

---

Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д

Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.

В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:

А – Б – Г – Д – В – А

min z = 16+21+16+12+13 = 78

Раздел 2.

Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ).

Постановка задачи:

В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:

B1 = 50.000 т

B2 = 60.000 т

B3 = 45.000 т

B4 = 70.000 т

Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.

Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.

Затраты на приготовление аб, руб

мощность АБЗ

Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cpi + E*Kpi уд

т/час

тыс. т/год

1

2

3

4

10

18

484

489

495

481

25

45

423

428

435

420

50

90

405

410

416

401

Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij, руб

Пункт размещения

Зона-потребитель

1

28,3

60,3

45,3

90,3

2

61,3

30,3

93,3

48,3

3

50,3

95,3

33,3

62,3

4

99,3

54,3

65,3

36,3

Математическая модель транспортной задачи:

m n

min z = S S Cij * xij

i=1 j=1

Ограничения:

n

  • S xij = ai i=1, ......, m

j=1

весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.

m

  • S xij = bj j=1, ......, n

i=1

спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен

  • xij ³ 0 i=1, ...., m; j=1, ...., n

xijобъем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю

Транспортная таблица:

Мощность АБЗ

Спрос зон-потребителей, тыс.т/год

тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=135

Ui

Ki

433,3

440,3 < 465,3

449,3 < 450,3

437,3 < 495,3

0

X1=90

50

40

0

5/9

433,3 < 471,3

440,3

449,3 < 503,3

437,3 < 458,3

0

X2=90

60

30

0

6/9

433,3 < 466,3

440,3 < 511,3

449,3

437,3 < 478,3

0

X3=90

45

45

0

½

433,3 < 500,3

440,3 < 455,3

449,3 < 466,3

437,3

0

X4=90

70

20

0

7/9

Vj

433,3

440,3

449,3

437,3

0

Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:

Вф=S аi - S bj = 360 – 225 = 135 тыс.т/год

В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сpi + E*Kpi + Cij

С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij.

Проверяем план на вырожденность:

m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательно план является невырожденным.

Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток (Ui + Vj = Сpi + E*Kpi + Cij).

Проверяем план на оптимальность:

  • число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1

  • для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.

  • для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :

Ui + Vj < Сpi + E*Kpi + Cij

Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.

Определяем значения коэффициентов интенсивности.

Ki = S xij / xi

S xij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям

xiмощность i-го АБЗ

Так как ни один Ki не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.

Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.

Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину Сpi + E*Kpi + Cij для клеток третьей строки.

Мощность АБЗ

Спрос зон-потребителей, тыс.т/год

тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=90

Ui

Ki

433,3

424,3 < 465,3

450,3

421,3 < 495,3

-16< 0

X1=90

50

40

-16

1

449,3 < 471,3

440,3

466,3 < 503,3

437,3 < 458,3

0

X2=90

60

30

0

6/9

449,3 < 485,3

440,3 < 530,3

466,3 < 468,3

437,3 < 497,3

0

X3=45

45

0

0

449,3 < 500,3

440,3 < 455,3

466,3

437,3

0

X4=90

5

70

15

0

15/18

Vj

449,3

440,3

466,3

437,3

0

Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.

Мощность АБЗ

Спрос зон-потребителей, тыс.т/год

тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=45

Ui

Ki

433,3

439,3 < 465,3

450,3

421,3 < 495,3

-18< 0

X1=90

50

40

-16

452,3 < 489,3

458,3

469,3< 521,3

440,3 < 476,3

1 > 0

X2=45

45 _

+

3

451,3 < 485,3

457,3 < 530,3

468,3

439,3 < 497,3

0

X3=45

0 +

_ 45

2

449,3 < 500,3

455,3

466,3

437,3

-2 < 0

X4=90

15 +

5 _

70

0

Vj

449,3

455,3

466,3

437,3

-2

Для одной свободной клетки не выполняется условие Ui + Vj < Сpi + E*Kpi + Cij поэтому план необходимо улучшить.

Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.

Мощность АБЗ

Спрос зон-потребителей, тыс.т/год

тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=45

Ui

Ki

433,3

440,3 < 465,3

450,3

422,3 < 495,3

-18 < 0

X1=90

50

40

-18

1

451,3 < 489,3

458,3

468,3 < 521,3

440,3 < 476,3

0

X2=45

40

5

0

8/9

451,3 < 485,3

458,3 < 530,3

468,3

440,3 < 497,3

0

X3=45

5

40

0

1/9

448,3 < 500,3

455,3

465,3 < 466,3

437,3

-3 < 0

X4=90

20

70

-3

1

Vj

451,3

458,3

468,3

440,3

0

План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.

Мощность АБЗ

Спрос зон-потребителей, тыс.т/год

тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=18

Ui

Ki

433,3

439,3 < 465,3

450,3

421,3 < 495,3

-78 < 0

X1=90

50

40

-16

1

452,3 < 489,3

458,3

469,3 < 521,3

440,3 < 476,3

-59 < 0

X2=45

45

3

1

511,3 < 545,3

517,3 < 590,3

528,3

499,3 < 557,3

0

X3=18

0

18

62

0

449,3 < 500,3

455,3

466,3

437,3

-62 < 0

X4=90

15

5

70

0

1

Vj

449,3

455,3

466,3

437,3

-62

План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.

Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.

Вариант размещения

Мощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс.т/год

Значение целевой функции, zi, тыс.руб.

М1

М2

М3

М4

1

50

60

45

70

98912,5

2

90

60

0

75

99037,5

3

90

40

5

90

100067,5

4 -наилучший

90

45

0

90

100072,5

Похожие работы: