Доклад : Сфера и шар 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Доклад >> Математика


Сфера и шар




Сфера и шар

Работа ученика 11 класса

средней школы №1906

юго-западного округа

г.Москвы

Кашина Виталия.

Сфера и шар.

Сфера-это фигура, состоящая из всех точек пространства, уда­лённых от данной точки на данном расстоянии. {1,2}

Точка О называется центром сферы, R-радиус сферы.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диамет­ром сферы.

Шар-это фигура, состоящая из всех точек пространства, нахо­дящихся на расстоянии не большем данного от данной точки

(или фигура, ограниченная сферой).

Уравнение сферы. {3}

M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере.

след. MC= т.к. MC=R, то

если т.М не лежит на сфере, то MCR, т.е. координаты точки М

не удовлетворяют уравнению.Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C(x0;y0;z0;) имеет вид : {4}

Взаимное расположение сферы и плоскости.

{5,6,7}

d - расстояние от центра сферы до плоскости.

след. C(0;0;d), поэтому сфера имеет уравнение {8}

плоскость совпадает с Оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0

Если т.М(x;y;z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плос­кости и на сфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы.

след. возможны 3 решения системы :

{9}

1) d<R , d^2<R^2 , x^2 + y^2 = R^2 - d^2 > 0

уравнение имеет б.м. решений, пересечение сферы и плоскости - окруж­ность C(0;0;0) и r^2=R^2 - d^2

2) d=R , x^2 + y^2 =0 , x=y=0 след. сфера пересекается плоскостью в точке О(0;0;0)

3) d>R , d^2>R^2 R^2 - d^2 < 0

x^2 + y^2 >=0 , x^2+y^2=R^2 - d^2 не имеет решений

Касательная плоскость к сфере.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой ка­сания плоскости и сферы.

Теорема:

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпен­дикулярен к касательной плоскости. {10}

Доказательство:

Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, след. ОА-наклонная к плоскости, след. ОА > R , но т.А принадлежит сфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.

ч.т.д.

Теорема:

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Доказательство:

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендику­ляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому рас­стояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следова­тельно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере.

ч.т.д.

Площадь сферы:

Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара) , если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем не­ограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер кождой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел после­довательности площадей поверхностей описанных около сферы много­гранников при стремлении к нулю наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вы­чесления площади сферы радиуса R :

S=4ПR^2

-5-

Похожие работы:

  • Шар и сфера

    Реферат >> Математика
    ... ……………………………………………………………23 4.Заключение…………………………………………………………………………………25 5.Литература………………………………………………………………………………....26 1 2. Шар и сфера. 2.1. Шар и шаровая поверхность. Шаровой или сферической ...
  • Сфера Sⁿ

    Реферат >> Математика
    ... 3 и примера 4. Множество называют замкнутым шаром с центром радиуса . СФЕРА . Сфера – множество точек евклидова пространства ... область, гомеоморфная – это (открытый) шар, так, что сферу можно определить как его ...
  • Контроль знаний и умений учащихся по математике в школе

    Реферат >> Педагогика
    ... – касательные плоскости конуса. II.Шар. Сфера Шар – тело состоящее из всех точек ... семинар по теме “Шар. Сфера” Семинар по теме “Шар. Сфера” предназначен для углубленного ... на вопросы по теме “Шар. Сфера” Определение шара, сферы. Чертеж (на карточке сделать ...
  • Мусульманське право (шаріат)

    Курсовая работа >> Государство и право
    ... не можна. Шлях напрямку (“Шар" чи “Шаріат”) і складає саме ... Халіфату формувалося його право - шаріат (шаріа - з арабської - "належний ... с. Цвайгерт К., Кьотц Х. Введение в сравнительное правоведение в сфере частного права: В 2 т. Т.I. Основы. - М.: ...
  • Мусульманське право (шаріат). Політика Ф. Рузвельта

    Реферат >> История
    ... правових сімей. 2. Мусульманське право (шаріат) Відомий мусульманський правознавець М. Р. ... регулює всі сфери життя і діяльності людини. Тому сфери, регульовані мусульманським ... ів, багатих купців, мусульманського духовенства. Шаріат із самого початку виник і ...
  • Формирование понятия цилиндра

    Реферат >> Математика
    ... ); - тело, ограниченное сферой называется … (шаром); - центром и радиусом шара называется … и … сферы. Изображение сферы (шара) 1. Изображается круг; 2. Пунктиром ...
  • Виникнення ісламу. Шаріат і його основні джерела

    Реферат >> Религия и мифология
    ... длягають покаранню. Визнання божественного зумовлення в шаріаті з неминучістю породила і ... що він регулював не суворо окреслені сфери суспільного і церковного життя, а ... пророку Мухамеду, представлена загальна характеристика шаріата і розглянуті основні його ...
  • Население земного шара

    Реферат >> География
    ... 1. Население земного шара.....................................................................5 а) Люди сейчас ... услуг. Демилитаризация всех сфер современной общественной жизни ...
  • Особенности обучения элементам геометрии в 5-6 классах с позиций пропедевтики изучения геометрии в средней школе

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... с соответствующими единицами измерения. 3. Окружность, круг. Сфера, шар. 1. 2. 3. Понятия: Окружность и ее ... ее хорда; круг; сфера и ее элементы; шар. Равные окружности и равные ... «Длина окружности и площадь круга. Шар, сфера» имеет место и в том и другом ...
  • Билеты по геометрии (11 класс)

    Реферат >> Математика
    ... она ║этой плоскости. Билет № 17 Сфера, шар( формулировки, примеры) Признак параллельности плоскостей ... сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар ...