Реферат : Отображения в пространстве R(p1,p2) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Отображения в пространстве R(p1,p2)




Отображения в пространстве R(p1,p2)

§1. Пространство R(p1,p2).

А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r = {a,`e}, где а и`e соответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q`e , d`e= W`e (1),

причем формы Пфаффа q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D q = qÙW , DW=WÙW=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d2`e + 1/6d3`e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e* =e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e* , близкого к `e , по отношению к `e.

Пусть R(p1,p2)пространство всех пар (p1,p2) точек p1,p2 прямой А1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец вектора `е – в точку р1; при этом р2 совместится с концом вектора -`е.

Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R12) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q.

Очевидно, что dim R(p1,p2)=2. Заметим ,что в репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р12*, близкого к р1р2,по отношению к р1р2.

§ 2. Отображение f.

А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,`ej}. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp=Wjej ; d`ej= Wj k;

DWj=Wk^Wkj ; DWj=Wjy^Wyk .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 в пространстве R(p1,p2):f:A2®R(p1,p2).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f=2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f-1(p1,p2). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q+W=ljWj ; Q-W=mjWj (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1: R(p1,p2)®A2 обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид :

Wj=lj(Q+W)+mj(Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

lklj+mkmj=djk

ljlj=1

mjmj=1 (*)

ljmj=0

mjlj=0

Указанную пару {r;R} реперов пространств А1 и А2 будем называть репером нулевого порядка отображения f.

§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(λjWj-W-Q)=0,

получаем :

jkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWk

D(μjWj+W-Q)=0

получаем :

jkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWk

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид:

Q+W=λjWj

Q-W=μjWj

jkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWk

jkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWj

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1=jj} является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

k^WjkkdWjk+1\4(λjμkkμj)^Wk+1\4(λjμkkμj)dWk+dλjk^WkjkdWk=0.

получим:

(dλjtktWjkjkWtk+1\4(λkμjtkλjk)Wk+1\16λtμkjj)Wk)^Wt=0

k^WjkkdWjk+1\4d(λjμkkμj)^Wk+1\4(λjμkkμj)dWk+dμjk^WkjkdWk=0

получим:

(dμjtktWjkjtWtk+1\4(λkμjtkλjt)Wk+1\16λtμk(λjj)Wk)^Wt=0

обозначим:

λj=dλjtWjt

μj=dμjtWjt

λjk=dλjktkWktjtWkt

μjk=dμtkWjtjtWkt

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид:

Q+W=λjWj

Q-W=μjWj

jkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWk

jkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWk (4)

λjk=(1\4(μαλjkαμjk)+1\16λkμαjj)+λjkα)Wα

μjk=(1\4(μαλjkαμjk)+1\16λkμαjj)+μjkα)Wα

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2=jjjkjk} образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР порядка р :

ГР=jjj1j2j1j2,...,λj1j2...jpj1j2...jp}.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин j},{μj} образует подобъекты геометрического объекта Г1. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λjXj=1 ; μjXj=1 (6)

не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины jj} являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины jj} охватываются объектом Г1.

Из (*) получаем:

j=-λkWkj-1\4(λjjtWtktλkλtWtktWtkμj

j=-μkWkjktμkλjWtktμkμjWt+1\4λtjj)Wt

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г1. Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v1jej (вектора v2jej) лежит на прямой (6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями:

λjXj=0 , μjXj = 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы j} и j} параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λjXj=1

V2

V1 μjXj=1

Система величин ρjjj образует ковектор: jkWjk+(μjkjk)Wk.

Определяемая им прямая ρjXj=0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6).

Пусть W-однородное подмногообразие в R(p1,p2) содержащее элементы 12) определяемое условием: 1*,р2*)∈W↔p1*p2*=p1p2.

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W) многообразия W при отображении f.

Доказательство:

] (p1*,p2*)∈W и p1*=p1+dp1+1\2d2p1+... ,

p2*=p2+dp2+1\2d2p2+... .

Тогда в репере Г: p1*p2*=e p1p2, где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р1*р2* по отношению к р1р2. Таким образом, 1*р1*)∈W↔W=0.

Из (2) получим: W=ρ1Wj

Следовательно, 1*р2*)∈W равносильно ρjWj=0 (9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента 12)∈R(p1p2) определяется функция h: (p1*p2*)∈h(p1p2)→e∈R, так, что р1*р2*=е р1р2

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f-1(W) является линией уровня функции h. Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f-1(W).

]W1,W2- одномерные многообразия в R(p1p2), содержащие элемент 1р2) и определяемые соответственно уравнениями:

(p1*,p2*)єW1↔p2*=p2.

(p1*,p2*)єW2↔p1*=p1.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W2 (многообразия W1) при отображении f.

Дифференциальные уравнения линии f-1(W1) и f-1(W2) имеют соответственно вид:

λjWj=0

μjWj=0.

Пусть W0- одномерное подмногообразие в R(p1p2), содержащее 1р2) и определяемое условием: (p1*p2*)єW0↔Q*=Q ,где Q*– середина отрезка р1*р2*. Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.

Предложение 3. Прямая jj)X-j=0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W0) многообразия W0 при отображении f. Дифференциальное уравнение линии f-1(W0) имеет вид: jj)Wj=0.

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f-1(W1), f-1(W2), f-1(W), f-1(W0) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.

Рассмотрим отображения:

П1: (р12)∊R(p1,p2)→p1∊A1 (5.1)

П2: (р12)∊R(p1,p2)→p2∊A1 (5.2)

Отображение f: A2→R(p1,p2) порождает точечные отображения:

φ1=П1∘f: A2→A1 (5.3)

φ2=П2∘f: A2→A1 (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ1 и φ2 меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б). Подобъекты Г1,2={λjjk} и Г2,2=jjk} объекта Г2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ1 и φ2.

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

x=1+λjXj+1/2λjkXjXk+1/4λyρkXjXk+<3>, (5.5)

y=-1+μjXj+1/2μjkXjXk+1/4μyρkXjXk+<3>, (5.6)

Введем системы величин:

Λjkjk+1/4(λjρkkρj),

Μjkjk+1/4(μjρkkρj)

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+λjXj+1/2ΛjkXjXk+<3> (5.7)

y=-1+μjXj+1/2ΜjkXjXk+<3> (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А2, в котором выполняется:

λ1 λ2 1 0

=

μ1 μ2 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X1+1/2ΛjkXjXk+<3> (5.9),

y=-1+X2+1/2ΜjkXjXk+<3> (5.10).

§6. Инвариантная псевдориманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

Gjk=1/2(λjμkkμj)

Из (3.1) получим:

dGjk=1/2(dλjμkjμk+dλkμjkj)=1/2(μkλtWjt+1/4λjμkμtWt-1\4μkμtλtWtkλjtWtjμtWkt+

+1/4λjλkμtWt-1/4μjλkμtWt-1/4μjλtμkWtjλktWtkμtWjt+1/4λkλjμtWt-1/4λkλtμjWt+

kμjtWt),

dGjk=1/2(μkλtkμt)Wjt+1/2(λjμttμj)Wkt+GjktWt,

где Gjkt=1/2(μkλjtyμktjλktkμjt-1/2μjμkλt+1/2λjλkμt-1/4λjμkλt+1/4λjμkμt+1/4μjλkμt-

-1/4μjλkλt) (6.3).

Таким образом, система величин {Gjk} образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику G:

dS2=GjkWjWk (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS22-W2 (6.5) в R(p1,p2).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением GjkWjWk=0 или

λjWjμkWk=0 (6.6)

Предложение: Основные векторы V1 и V2 определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U) и (y,U) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU)

Теорема: Метрика dS22-W2 совпадает с метрикой Розенфельда .

Доказательство: В репере r имеем для координат точек p1,p2,p1+dp1,p2+dp2

Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W.

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

dS22-W2

Следствие: Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Гljk=1/2Gtl(Gtkj+Gjtk-Gjkt)

псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2=jjjkjk}.

Он определяется формулой: ГljkjΛjklΜjklλtλklμtμk.

§7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

gjkjλkjμk (7.1)

Из (3.1) получаем:

dgjk=dλjλk+dλkλj+dμjμk+dμkμjkλtWjt+1/4λkλjμtWt-1/4λjλtμjWtkλjtWtjλtWkt+

+1/4λjλkμtWt-1/4λjλtμkWtjλktWtkμtWjt+1/4μkλjμtWt-1/4μkλtμjWtkμjtWt+

jμtWkt+1/4μjλkμtWt-1/4μjλtμkWtjμktWt.

dgjk=(λkλtkμt)Wjt+(λjλtjμt)Wkt+gjktWt, (7.2)

где gjkt=1/2λjλkμt-1/2μjμkλt-1/4λkλtμj-1/4λjλtμk+1/4λjμkμt+1/4μjλkμtkλjtjλkt+

kμjtjμkt (7.3)

Таким образом, система величин {gjk} образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику g:

dS2=gjkWjWk (6.4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике:

dS2=2(θ2+W2) (6.5)

в R(p1,p2)

Из (6.5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6.6)

или jXj)2+(μjXj)2=1 (6.7)

Из (6.7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.

V1

V2 рис.3.

Пусть gjkjλkjμk (6.8)

В силу (2.7) имеем:

gjtgtk=(λjλtjμt)(λtλktμk)=λjλkjμkkj (6.9)

Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к gjk. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора j} (вектора j}) соответствует в метрике g полю основного ковектора j} (ковектора j}).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g.

Доказательство:

λjλkgjkjλkλjλkjλkμjμk=1,

μjμkgjkjμkλjλkjμkμjμk=1,

λjμkgjkjμkλjλkjμkμjμk=0.

Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства (A2,gf).

В работе <2> был построен охват объекта

γjkl=1/2gtl(gtkj+gjtk-gjkt)

римановой связности γ фундаментальным объектом

Г2=jjjkjk}

Он определяется формулой:

γjkllΛjklMjk+Gjkll)+1/2(λll)(μjμkjλk),

где Gjk=1/2(λjμkkμj).

Похожие работы:

  • Структура аффинного пространства над телом

    Реферат >> Математика
    ... индексов . Тогда существует единственное полуаффинное отображение пространства ℰ в , ассоциированное с изоморфизмом ... , : всякое аффинное отображение в , отождествляется с линейным отображением пространства в пространство , удовлетворяющим требованию , ...
  • Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

    Курсовая работа >> Математика
    ... (X, У), т. е. F' есть отображение пространства X в пространство линейных операторов о (Х, У). Если это отображение дифференцируемо, то его ... , билинейные отображения пространства X в пространство У сами образуют линейное нормированное пространство, которое мы ...
  • Материя в дробноразмерном пространстве

    Реферат >> Математика
    ... времени. Время — количественная характеристика уже отображенного пространства. Ввод фактора времени равносилен введению ... в одну точку пространства Rn-1t. Отсюда следует непрерывность отображения пространства Rn-1 на Rn ...
  • Отображение геометрических структур

    Доклад >> Математика
    ... в пространстве - постоянная интегрирования. (5) (10) (12) (5’) Дифференциальные уравнения, связанные отображением Хопфа- ... Коула (2) - постоянные. слоевые пространства слоевые координаты метрические ...
  • Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца

    Курсовая работа >> Математика
    ... . В этом случае Пусть T - линейное отображение пространства lp=lp(u,dμ) в пространство lq=lq(v,dν). Это означает ... 2) (λ-скаляр) 3) . Пусть A и B – два нормированных векторных пространства. Отображение T из A в B называется ограниченным линейным оператором ...
  • Пространство и время вращения. Пятимерный физический мир

    Реферат >> Философия
    ... к нарушению законов сохранения. Для отображения физического пространства необходимо кроме геометрической кривизны римановой ... материи и показывается модель пульсирования и вращения пространства Минковского в пятимерном физическом мире. В четвертой ...
  • Пространство - Время

    Реферат >> Наука и техника
    ... как способы математического отображения и описания положения точек в абсолютном пространстве: декартовые, полярные ... отображение геометрией, математикой, кристаллографией и т.д. Топология Времени раскрывается в структуре Пространства. Структура Пространства ...
  • Пространство и время: в поисках "естественной онтологии" знания

    Доклад >> Философия
    ... связи можно говорить, к примеру, о "правовом пространстве", "пространстве рекламы", "экономическом ускорении" (М. Горбачев) или ... язык, приобрела эмпирический характер и стала отображением живого восприятия, а не понятия о вещах ...
  • Пространство и время как форма бытия

    Реферат >> Философия
    ... сущность времени и пространства”. Критика идеалистических и метафизических концепций пространства и времени. Понимание пространства и времени ... ” бесконечность при построении непротиворечивого концептуального отображения течения времени, он и приходит к ...