Шпаргалка : Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу (работа 2) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Шпаргалка >> Математика


Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу (работа 2)




Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. "e "xÎE $u: ║x-u║<e

Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $zE\Lze║=1 r(ze,L)>1-e

Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение: L плотное в E, если "xÎE $uÎL: ║x-u║<e

Теорема: Чтобы L было плотно в H ó ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.

Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy

Определение: Непрерывный оператор – AxàAx0 при xà x0

Определение: L(X,Y) – пространство линейных операторов

Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.

Определение: Ограниченный оператор - "║x║≤1 $с: ║Ax║≤c

Теорема: A – ограниченный ó "xÎXAx║≤cx

Теорема: Для того чтобы А был непрерывен ó чтобы он была ограничен

Теорема: {An} равномерно ограничена è {An}- ограничена.

Теорема: {Anx} – ограниченно ó {║An║}- ограничена.

Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║An-Aà0, nà¥, обозначают AnàA

Определение: Слабая сходимость - "xÎX ║(An-A)xYà0, nà¥

Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость ó {An} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема: Банаха-Штенгауза AnàA nॠслабо è 1) {║An║}- ограничена 2) AnàA, xÌX, x’=x

Теорема: Хана Банаха. A:D(A)àY, D(A)ÌX è $ A’:XàY 1) A’x=Ax, xÎD(A) 2) ║A’║=║A║

Определение: Равномерная ограниченность - $a "x: ║x(t)║≤a

Определение: Равностепенная непрерывность "t1,t2 $d: ║x(t1)-x(t2)║<e

Теорема: L(X,Y) полное, если Y – полное.

Определение: Ядро – {xÎX | Ax=0}

Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X*:=L(X,E)

Определение: Сопряженный оператор A*: Y*àX*

Теорема: Банаха A:XàY и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $ A-1 и ограничен.

Определение: Оператор А – обратимый

Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1-ограничен.

Теорема: A-1 $ и ограничен ó $m>0 "xÎXAx║≥mx

Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:XàY – линейный ограниченный функционал è $! yÎH "xÎH f(x)=(x,y)

Определение: MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Теорема: Хаусдорфа. MÌX компактно ó "e>0 $ конечная e-сеть

Теорема: Арцела. MÌC[a,b] компактно ó все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение: s(X,Y) – подпространство компактных операторов

Теорема: Шаудера. AÎs(X,Y) ó A*Îs(X*,Y*)

Линейные нормированные пространства

  1. Пространства векторов

сферическая норма

кубическая норма

ромбическая норма

p>1

  1. Пространства последовательностей

p>1

или пространство ограниченных последовательностей

пространство последовательностей, сходящихся к нулю

пространство сходящихся последовательностей

  1. Пространства функций

пространство непрерывных на функций

пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций

£p[a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)

- пополнение £p[a,b] (Гильбертово)

Неравенство Гёльдера p,q>0

Неравенство Минковского

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/

Похожие работы: