Статья : Папп Александрийский. Теоремы Паппа-Гульдена 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Статья >> Математика


Папп Александрийский. Теоремы Паппа-Гульдена




Папп Александрийский. Теоремы Паппа-Гульдена

Ткаченко А.Е., студент, Казакова Е.И., д.т.н., проф.

Донецкий национальный технический университет

В данной работе мы рассмотрим то немногое из биографии Паппа Алекасндрийского, что было нам приоткрыто из-за завесы веков и докажем одну из важнейших теорем интегрального исчисления – теорему Паппа-Гульдена.

Благодаря счастливой случайности мы узнали, когда жил Папп : 18 октября 320 н. э. он наблюдал солнечное затмение и поведал об этом в своем комментарии к «Альмагесту».

Его главным произведением является « Математическое собрание» - восьмитомное произведение. В этом сочинении Папп собрал все, что он нашел интересного в трудах своих предшественников: касательно высших кривых, о квадратуре круга, об удвоении куба и трисекции угла, методе анализа и т.д. Когда он считал необходимым что-нибудь пояснить или добавить к трудам великих геометров он излагал это в виде лемм (содержание утраченных произведений Евклида и Аполлония).

Но, кроме этого, Папп в некоторых случаях дополнил и расширил труды своих предшественников.Так, например, в своей третьей книге он дает новое построение для пяти правильных многогранников, вписанных в шар.Помимо этого она содержит историю задачи по удвоению куба и делению угла на три равные части, причем Папп привел весьма оригинальное решение первой из них. Там же Папп приводит построение треугольников и параллелограммов со сторонами большими, чем стороны данных фигур, но меньшими по площади.

Первая и вторая книги «Математического собрания» (обе утеряны) были посвящены греческой арифметике.

Четвертая книга содержит интересное обобщение теоремы Пифагора и ряд изящных предложений относительно кругов, вписанных в «арбелос» Архимеда. В той же книге Папп определяет некоторую спираль на поверхности шара и находит площадь поверхности, ограниченной этой спиралью и дугой круга (метод заимствован у Архимеда). Он показывает, каким образом, построение для neusis, примененное Архимедом в книге «О спиралях», может быть сведено к пересечению двух конических сечений.

В пятой книге излагается работа Зенодора об изопериметрических фигурах (т.е. фигурах с равными периметрами) с дополнением нескольких предложений, найденных самим Паппом .Так Папп утверждает, что из всех фигур на плоскости имеющих равные периметры, наибольшей площадью обладают фигуры с наибольшим числом углов, причем из всех фигур, наибольшее число углов вписанного многоугольника и наибольшую площадь имеет круг. В той же книге Папп отмечает, что мир по форме является шаром, «великолепнейшим» и наибольшим телом с равновеликой площадью, но философам еще не удалось доказать, что объем шара всегда больше объема любого многогранника с равновеликой площадью сторон.

В шестой книге Папп определяет центр эллипса, заданного как перспективное преобразование круга . Эта книга содержит комментарии Паппа к так называемому «Малому астроному» – сочинениям, которые читались после «Начал» Евклида и до «Альмагеста» Птоломея. Это были труды Аристарха , Автолика и «Сферика» Феодосия триполийского.

Седьмая книга имеет очень важное историческое значение, так как в ней дается обзор содержания довольно большого числа сочинений о геометрическом анализе и геометрических местах, которые почти все утеряны. Много места отведено обсуждению методов (анализу и синтезу) применявшихся древними учеными при исследованиях. В качестве собственного открытия Папп формулирует теорему относительно объемов тел вращения, которая, в сущности, есть не что иное как известная теперь «терема Паппа – Гульдена». Там же содержаться комментарии к работам Аполлония Пергского, в частности к его «Коническим сечениям».

Восьмая книга посвящена в большей своей части механике, но содержит, кроме того, и построение конического сечения, проходящего через пять данных точек . Поводом для этого послужила задача: определить диаметр цилиндрической колонны по произвольному ее обломку . Затем книга дает способ построения главных осей эллипса по двум сопряженным диаметрам.

Помимо того Папп написал и ряд других трудов, в частности, трактат «Хронография математики», в котором положил начало алгебраическим знакам, что было немаловажным достижением, если учитывать те трудности, которые возникали при письменной передаче математических достижений. К сожалению труды эти были безвозвратно утеряны.

Высокий уровень произведений обусловил интерес к их автору . Многие леммы Паппа содержат идеи уже настоящей проективной геометрии . И когда спустя много веков люди это осознали, Папп был назван последним великим геометром древности.

Но помимо достижений в геометрии Папп Александрийский достиг достаточно высокого уровня и в разработке практического применения интегрального исчисления . Одни из важнейших теорем высшей математики были сформулированы им, а через много веков над ними работал Гульден. Теперь она известны как 1-я и 2-я теоремы Паппа-Гульдена.

1-я теорема Паппа-Гульдена

Ордината центра тяжести дуги плоской кривой:

где - длина дуги кривой.

Преобразуем:

, (1)

Площадь поверхности тела вращения:

или, (2)

Сравнивая уравнения (1) и (2) получаем ( если правые части уравнений равны, то равны и левые части):

, (3)

Полученное выражение (3) составляет содержание 1-й Теоремы Паппа-Гульдена:

Площадь поверхности тела вращения равна произведению длины окружности, описываемой центром тяжести кривой, на длину этой кривой.

2-я теорема Паппа-Гульдена

Ордината центра тяжести плоской фигуры:

где - площадь фигуры

или

, (4)

Объем тела вращения:

или

, (5)

Сравнивая уравнения (4) и (5) получаем:

или

, (6)

Полученное выражение (6) составляет содержание 2-й Теоремы Паппа-Гульдена:

Объем тела вращения равен произведению длины окружности, описываемой центром тяжести фигуры на ее площадь.

Эти теоремы используют в инженерной практике, особенно, если кривая или фигура сложной формы. При этом центр тяжести кривой или фигуры (точнее, их моделей, выполненных из однородного материала) определяют экспериментально с помощью двух подвесов: модель подвешивают за две разные точки ее периметра и находят пересечение двух вертикальных линий, проходящих через точки подвеса. Это и есть центр тяжести. Длина дуги или площадь фигуры определяется путем взвешивания моделей и сравнивания их массы с массой эталона.

Список литературы

Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: математика древнего Египта, Вавилона и Греции: - М.: Госиздат, 1959. – 459 с.

Крыситский В. Шеренга великих математиков: - Варшава: Наша Ксенгарня, 1981.- с.31-34.

Казакова Е.И. Интегрирование. Учебное пособие. – Донецк,: ДГТУ, 1999.-58 с.

Пак В.В., Носенко Ю.Л.Высшая математика: Учебник.-Д.:Сталкер, 2997.-560с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://masters.donntu.edu.ua/

Похожие работы:

  • История математики. Александрийская школа

    Реферат >> Математика
    ... теоретический и практический интерес. Теорема Паппа об инволюции точек читается так ... известный вариант этого высказывания сообщает Папп Александрийский: «Дайте мне, где стать, и ... он доказывает следующие три теоремы: - Теорема первая: Площадь круга равна ...
  • Птолемей

    Реферат >> Исторические личности
    ... содержат основные постулаты (аксиомы) и теоремы, на которых в значительной мере базируется ... не сообщает, что эта теорема была доказана Архимедом за пять ... О них сообщает и следующий комментатор Птолемея – Папп Александрийский (между 300 и 320 гг.), спустя ...
  • Математические идеи и открытия античных учёных

    Контрольная работа >> Математика
    ... и дедуктивно выводимые из них теоремы. Геометрия пифагорейцев в основном ... изложенной) и завершалась доказательством «теоремы Пифагора». Хотя изучались и правильные ... тригонометрии. Необходимо отметить деятельность Паппа Александрийский (III век). Только ...
  • Понятие эвристики в математике

    Курсовая работа >> Математика
    ... отрезков, при доказательстве этой теоремы исключалось обращение к физическому эксперименту ... в трудах греческого математика Паппа Александрийского, жившего во второй половине ... различных рисунков к доказательству теоремы, упражнений на распознавание объектов ...
  • Математика в Древней Греции

    Реферат >> Математика
    ... пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора. Последняя за много ... Диоклеса, Персея, Зенодора, Гипсикла Александрийского, астронома Гиппарха, всё ещё ... течении уже не встречалось, был Папп Александрийский. Он, действительно, в своём ...
  • Золотое сечение

    Реферат >> Биология
    ... , что геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и «золотым сечением». И если первое ... золотого сечения занимались Гипксил (2 в. до н.э.), Папп Александрийский (3 в. н.э.) и др. В средневековой Европе с «золотым сечением» ...
  • Использование эвристической технологии в образовательном процессе начальной школы

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... впервые появилось в трудах греческого математика Паппа Александрийского, жившего во второй половине III ... , собственное решение научной проблемы, доказательство теоремы); сочинение (стихи, сказки, задачи, очерки ...
  • История математики

    Реферат >> Математика
    ... , что ныне известно как теоремы о треугольниках, параллельных прямых ... Великие александрийские математики – Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей, Диофант и Папп – ... обращая дифференцирование, называется основной теоремой математического анализа. Подобно ...
  • Аксиомы планиметрии

    Доклад >> Математика
    ... он преподавал в Александрийской академии. Евклид – первый математик александрийской школы. Евклид ... . В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях ... античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился ...
  • История геометрии

    Реферат >> Математика
    ... равновеликий треугольник, а треугольник — в квадрат. Теорема Пифагора у Евклида имеет только то ... Эпоха великих геометров (второй Александрийский период). Наиболее характерной чертой ... н. э. занимались этим позднее Герои и Папп, а также Теон и другие, но ...