Реферат : Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова




Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова

В роботі дано елементарне доведення відомих теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку. Робота має певну методичну цінність і може бути використана на заняттях шкільних гурків та факультативів

Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.

Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.

Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.

  1. Необхідні відомості з теорії матриць.

Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:

Квадратною матрицею n-го порядку зветься матриця розміром n x n. Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається detA. Для 2x2 матриці . Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.

З матрицями можна здійснювати такі операції:

  1. Множити на число

Приклад:

  1. Додавати матриці однакових розмірів:

Приклад:

  1. Множити матриці:

Приклад:

Взагалі, добутком матриці А розмірів m x r та матриці В розмірів r x n називається матриця С розмірів m x n, яка позначається АВ. Елемент cij цієї матриці – це сума попарних добутків елементів i-го рядка матриці А та елементів j-го рядка матриці В, а саме:

Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.

Квадратна матриця порядку n, у якої єлементи , а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n. Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку n, Е – одинична матриця такого ж порядку.

Нехай А – квадратна матриця, тоді матриця А-1 зветься оберненою до матриці А, якщо

Не в кожної матриці є обернена до неї, а саме А-1 існує тоді і тільки тоді, коли .

Беспосередньо можна первірити, що для

Визначення: Число l називається власним значенням n x n матриці А, якщо знайдется стовпчик такий, що АХ=lХ. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню l.

Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню l, то сХ, де с - const, також власний вектор, що відповідає l. Власне значення є коренем характеристичного рівняння . Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.

Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.

Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r>0 таке, що:

1. r- відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.

2. інші власні значення по модулю < r.

3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).

Доведення теореми для 2х2 матриць.

Нехай .

Тоді .

Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:

.

Це квадратне рівніння з дискримінантом:

І тому

Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=l1.

Знайдемо власний вектор , що відповідає власному значенню l1 з рівності

Тоді

, або

Враховуючи, що

перепишемо систему у вигляді:

Але і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.

Знайдемо x1 з першого рівняння системи

Щоб довести, що власний вектор можна вибрати додатним, достатньо перевірити, що ,тому що поклавши отримаємо x1>0.

Враховуючи, що b>0 треба довести, що ,

але це випливає з того, що , бо cb>0.

Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.

Визначення: Матриця А n-го порядку зветься нерозкладною, якщо однаковим переставленням рядків та стовпців її не можна привести до виду , де А1, А2 - квадратні матриці розмірів k x k та (n-k) x (n-k) відповідно. Для 2х2 матриць це означає, що та

Визначення: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні.

Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.

Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо

1)

2)

Теорема Маркова: Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k0 таке, що (тобто всі елементи додатні). Тоді

1. (існування границі матриці означає, що існує границя кожного її елементу)

2. Матриця - має однакові рядки.

3. Всі елементи цих рядків додатні.

Доведення теореми для 2х2 матриць.

Запишемо стохастичну матрицю у вигляді , де

Запишемо її характеристичне рівняння: ,

Це квадратне рівняння з дискрімінантом:

І тому

З урахуванням маємо , але якщо , то це значить, що p=q=1 або p=q=0, відкіля матриця P буде мати вигляд , або і тоді Pn містить нулі , що суперечить умові. Таким чином .

Беспосередньою перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що власному значенню відповідає власний вектор , де x1=x2, тобто, наприклад власний вектор. Знайдемо власний вектор , що відповідає власному значенню .

За визначенням

Звідки

Згадуючи, що отримуємо

Очевидно, що рівняння системи пропорційні, тому одне з них можна відкинути. Знайдемо y1 з першого рівняння: або звідки , але , бо в протилежному випадку дана матриця мала б вигяд: , а тоді матриця мала б нульовий елемент , що суперечить умові. Тому можна записати, що

Доведемо тепер твердження 1 теореми.

Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для Pn.

Позначимо .

Оскілки , то існує S-1. Перепишемо рівняння та у матричній формі

або .

Відкіля і взагалі

Знайдемо границю Pn:

Твердження 1 теореми доведено.

Доведемо тепер, що рядки матриці однакові. Для цього обчиcлимо .

Оскільки , то Ми бачимо, що рядки матриці - однакові. Доведемо тепер, що їх елементи додатні. Для цього врахуємо отриману раніше залежність

Для того, щоб довести треба довести, що , треба довести, що та .

Маємо

,

, тому що p>0 і q >0

Теорема доказана.

Зауваження1 В процесі доведення ми вивели, що для 2х2 матриць

Зауваження2 Позначимо рядки граничної матриці . Тоді можна знайти з умови:

Доведення.

Оскільки

Зівдки

Або

Звідки

Зокрема, для 2х2 матриці

Умовою рядок визначається однозначно, що для 2х2 матриці можна перевірити.

В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення таких фундаментальних теорем теорії невід’ємних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова.

У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелемнтарних теорем і методів. А математичний апарат, який використовується в даній роботі, це: аналіз поведінки розв’язків квадратного рівняння та розв’язків системи двох лінійних рівнянь в залежності від коефіцієнтів.

Робота може бути використана при проведенні додаткових занять, присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за допомогою методів, які доступні школярам.

Список літератури:

  1. С.А. Ашманов. Математические модели и метод в экономике.
    МГУ. 1980

  2. С.А. Ашманов. Введение в математическую экономику. “Наука”.
    М., 1984

  3. Р. Беллман. Введение в теорию матриц. “Наука”. М. 1969

  4. Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. “Наука”. М.,1967

  5. Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. “Наука”. М., 1988

  6. С. Карлин. Математические метод в теории игр, программирования и экономике. “Мир”. М., 1964

  7. Дж. Кемени, Дж. Скелл, Дж. Томпсон. Введение в конечную математику. Иностранная литература. М. 1963

  8. П. Ланкастер. Теория матриц. “Наука”. М. 1978

  9. Ю.М. Свирежев, Д.О.Логофет. Устойчивость биологических сообществ. “Наука”. М. 1978

  10. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложение.
    Т1. “Мир”.М. 1984

8


Похожие работы:

  • Теорема вириала в преподавании физики и астрономии

    Реферат >> Математика
    ... величиной положительной. Строгое доказательство теоремы вириала достаточно сложно и ... спутник" справедлива теорема вириала. В работе [3] применена теорема вириала при ... способностей обучаемых. 3. Применение теоремы вириала к анализу энергетического ...
  • Теорема Штольца

    Реферат >> Математика
    ... работы: Формулировка и доказательство теоремы Штольца. Применение теоремы Штольца: ; нахождение предела “среднего ... , окончательно, . Пример 1. ====== ===. Пример 2. = == == == == == =. Пример 3. = =. Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но ...
  • Теорема Геделя о неполноте

    Статья >> Философия
    ... полученного Тарским путем соединения теоремы Геделя о неразрешимости с его ... математическую логику", "Вычислимые функции", "Теорема Геделя о полноте". Подготовил 25 ... правила вывода". 1.4.Попытки точной формулировки теоремы о неполноте 1.4.1. Первая попытка " ...
  • Теореми Чеви і Менелая та їх застосування

    Дипломная работа >> Математика
    ... іальні приклади використання теореми Менелая (доведено теореми Дезарга, Паппа, Паскаля ... умова нашої теореми рівносильна умові звичайної теореми Чеви. Теорема доведена. При ... достатності умов (4.5) і (4.) теореми Чеви. Теорема доведена. ВИСНОВКИ Розв’язок задач ...
  • Теорема Силова

    Курсовая работа >> Математика
    ... группы 1.5 Теоремы о гомоморфизмах Глава II. Теорема Силова 2.1 Первая теорема Силова 2.2 Вторая и третья теорема Силова ... |Δ|=, таким образом, порядок |Δ |=1 (mod p). Теорема доказана. ■ Теорема 2.2.3. Справедливо следующее утверждение: Силовская р-подгруппа ...
  • Теорема Дезарга и её применение к решению задач из курса школьной геометрии

    Курсовая работа >> Математика
    ... проективной действительной плоскости имеет место Теорема Дезарга. Теорема Дезарга: Если прямые проходящие ... выполнено, следовательно, P, Q, R  одной прямой. Теорема доказана. 2. Применение теоремы Дезарга к решению задач 2.1 Использование ...
  • Теорема Пифагора

    Реферат >> Математика
    ... доказательство. Г) Доказательство Евклида. Алгебраические доказательства теоремы. А) Предисловие. Б) Первое доказательство. В) ... я рассмотрю несколько алгебраических доказательств теоремы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА. Пусть Т— прямоугольный треугольник ...
  • Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя

    Реферат >> Математика
    ... таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении. Начнем ... теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях. 3. Теорема Коши Рассмотрим, наконец, третью ...
  • Теорема Гурвица и ее приложение

    Курсовая работа >> Математика
    ... определения Теорема Ферма Вопрос Гурвица Теорема Гурвица Приложение теоремы ... a+b2 []<2p, т. е. r=1, и значит, a+b=p. Теорема доказана. Пример 1: , , , , Вопрос о представлении ... назвать обобщенной теоремой Фробениуса. Обобщенная теорема Фробениуса. Любая ...