Доклад : Элементарные конфортные отображения 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Доклад >> Математика


Элементарные конфортные отображения




Элементарные конфортные отображения

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек и . Если задан закон , ставящий в соответствие каждому точку (или точки) , то говорят, что на множестве задана функция комплексной переменной со значениями в множестве . Обозначают это следующим образом: . (Часто говорят также, что отображает множество в множество .)

Задание функции эквивалентно заданию двух действительных функций и тогда , где , . Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.

1. - линейная функция. Определена при всех . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость . Функция и обратная ей - однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный , растягивает (сжимает) ее в раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину . Непрерывна на всей комплексной плоскости.

2. . Определена на всей комплексной плоскости, причем , . Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.

3. - показательная функция. По определению , т.е. , , . Из определения вытекают формулы Эйлера:

; ; ;

Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. периодична с периодом . Отображает каждую полосу, параллельную оси , шириной в плоскости в полную комплексную плоскость . Из свойств отметим простейшие: ,

4. - логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению: . Выражение называется главным значением , так что . Определен для всех комплексных чисел, кроме . - бесконечно-значная функция, обратная к . ,

5. - общая показательная функция. По определению, . Определена для всех , ее главное значение , бесконечно-значна.

6. Тригонометрические функции ;;; По определению, ; ;

;

7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:

,

Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.

Задачи с решением.

1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: , , , ,

Решение. По определению, ,, ; если , то очевидно, , ,

, ,

, , ,

, , ,

Найти суммы:

1)

2)

Решение. Пусть: , а

. Умножим вторую строчку на , сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим:

; Преобразуя, получим:

,

3. Доказать, что: 1) 2)

3) 4)

Доказательство:

1) По определению,

2)

3) ;

Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ;

Решение: и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:

, , ,

Напомним, что

2)

, ,

3)

, ,

, .

Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: ; ;

Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:

; ; ; ;

;

Вычислить: 1) ; 3) ; 5) ;

  1. ; 4) ; 6) ;

Решение. По определению, ,

1), , ,

  1. , , ,

  1. , , ,

4), , ,

5), , ,

6), , ,

Найти все значения следующих степеней:

1) ; 2) ; 3) ; 4);

Решение. Выражение для любых комплексных и определяются формулой

1)

2)

3)

4) .

8. Доказать следующие равенства:

1) ;

2) ;

3)

Доказательство: 1) , если , или , откуда , или .

Решив это уравнение, получим , т.е. и

  1. , если , откуда , или , следовательно,

,

3) , если , откуда , или

.

Отсюда , следовательно,

Похожие работы:

  • Элементарное мышление, или рассудочная деятельность, животных: основные понятия и методы изучения

    Дипломная работа >> Биология
    ... сравнительные характеристики решения элементарных логических задач животными ... представление о наличии у животных элементарного мышления. В соответствии со взглядами ... и экспериментальные приемы исследования элементарной рассудочной деятельности животных дали ...
  • Элементарные частицы

    Реферат >> Физика
    ... положительный электрический заряд, равный элементарному заряду, т. е. абсолютной ... с электрическими зарядами +2/3 (в единицах элементарного заряда) и одного d-кварка с ... Современное значение абсолютной величины элементарного заряда составляет е =(4,8032420, ...
  • Элементарные частицы

    Реферат >> Математика
    ... = h/2mc, ...» Физическая энциклопедия. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ. Элементарные частицы также имеют полевое происхождение ... , становятся кратковременно действующими когерентными источниками элементарных электромагнитных волн, интерферирующих при наложении ...
  • Элементарные частицы и космология

    Реферат >> Математика
    ... размышления наводит огромное количество элементарных частиц в физической теории ... пространстве. Будем считать объекты элементарными частицами, элементарными в классическом понимании, ... во-вторых, ни элементарное расстояние , ни элементарный промежуток времени , ...
  • Элементарные частицы. Ускорители

    Доклад >> Математика
    ... строго говоря, не удовлетворяют критерию элементарности, т.к. являются составными объектами. ... состоянии (вне составных элементарных частиц). Изучение элементарных частиц и их взаимодействий ... природы. Информация об элементарных частицах получается либо в ...
  • Элементарное мышление животных

    Реферат >> Биология
    ... наследственной программы. К этой категории относится элементарная рассудочная деятельность (мышление) животных. Реальное ... Л. В. Крушинский (1986), особая приспособительная роль элементарной рассудочной деятельности состоит в «обеспечении адаптивной ...
  • Элементарная рассудочная деятельность и сложные формы поведения волка

    Курсовая работа >> Биология
    ... позволяющим производить объективное изучение элементарной рассудочной деятельности животных, ... скорости обучения. При исследовании элементарной рассудочной деятельности животных основным ... полное впечатление об элементарной рассудочной деятельности волков, ...
  • Элементарные методы сортировки

    Реферат >> Информатика, программирование
    ... сортировки, мы изучим некоторые «элементарные» методы которые хорошо работают ... разработка и отладка сложного алгоритма. Элементарные методы всегда пригодны для маленьких ... внутренних циклах. Пузырьковая сортировка Элементарный метод сортировки, который часто ...
  • Элементарные частицы. Античастицы, взаимные превращения частиц

    Доклад >> Математика
    ... Типы частиц, фундаментальные взаимодействия Все элементарные частицы в зависимости от спина делятся ... все адроны не являются истинно элементарными частицами. Все они состоят ... В отличие от адронов лептоны истинно элементарные частицы (по крайней мере в рамках ...