Реферат : Теорема Штольца (работа 2) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Теорема Штольца (работа 2)




Теорема Штольца

Содержание работы:

  1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.

  2. Применение теоремы Штольца:

  1. ;

  2. нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты ;

  3. ;

  4. .

  1. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.

  2. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и возрастает: . Тогда =,

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу :

.

Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет

или

.

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

.

Напишем теперь тождество:

,

откуда

.

Второе слагаемое справа при n>N становится <; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N. Если при этом взять N>N, то для n>N, очевидно, , что и доказывает наше утверждение.

Примеры:

  1. Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) , следовательно, вместе с yn и xn, причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что , что и требовалось доказать.

  1. При а>1

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:

  1. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:

Если варианта anимеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

(среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).

Действительно, полагая в теореме Штольца

Xn=a1+a2+…+an, yn=n,

Имеем:

Например, если мы знаем, что ,

то и

  1. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)

,

которая представляет неопределённость вида .

Полагая в теореме Штольца

xn=1k+2k+…+nk, yn=nk+1,

будем иметь

.

Но

(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… ,

так что

nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+…

и

.

  1. Определим предел варианты

,

представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида :

.

Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

.

Но ,

а ,

так что, окончательно,

.

Пример 1.

====== ===.

Пример 2.

=

==

==

==

==

==

=.

Пример 3.

=

=.

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.

Теорема.

Пусть функция , причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk), т.е. функция возрастающая.

Тогда ,

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

.

Тогда, по определению предела

или

.

Значит, какой бы ни взять, все дроби

, , …,

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при

.

Напишем тождество(которое легко проверить):

,

Откуда

.

Второе слагаемое справа при становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему.

Примеры:

Найти следующие пределы:

  1. очевидна неопределенность

===2

  1. неопределенность

====0

  1. неопределенность

===

Литература:

  1. “Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.

  2. Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.

Похожие работы:

  • Теорема Штольца

    Реферат >> Математика
    ... работы: Формулировка и доказательство теоремы Штольца. Применение теоремы Штольца: ; нахождение предела ... = = = = = = = = = . Пример 2. = = = = = = = = = = = = . Пример 3. = = . Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности ...
  • Предел последовательности. Теорема Штольца

    Курсовая работа >> Математика
    ... нахождения пределов последовательности Теорема «Штольца» Примеры на применение теоремы Штольца Заключение Список литературы ... вышеуказанного вида, мы прибегаем к помощи теоремы Штольца. Теорема Штольца Для определения пределов неопределённых выражений ...
  • Межа послідовності. Теорема Штольца

    Курсовая работа >> Математика
    ... ідовності 4.Теорема «Штольца» 5.Приклади на застосування теореми Штольца Висновок Список ... і з докладним розбором рішення, теорема Штольца й приклади її застосування. Тема ... ємося до допомоги теореми Штольца. 4.Теорема Штольца Для визначення меж невизначених ...
  • Складні випадки правопису великої букви

    Учебное пособие >> Педагогика
    ... , Женні фон Вестфален, фон дер Штольц. Примітка. Артиклі, прийменники, частки ... івський стиль, гордіїв вузол, піфагорова теорема, сізіфова праця. 8. З великої букви пишуться ...