Реферат : Неопределённые уравнения первой степени 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Неопределённые уравнения первой степени




Неопределённые уравнения первой степени

Введение в неопределённые уравнения

Когда мы обдумываем решение той или иной задачи, необходимо обращать внимание на то, какие в ней используются величины. Целые или дробные? Положительные или отрицательные? Ведь незначительная деталь помогает не только устранить ошибку в решении той или иной задачи, но и найти само решение. Разберем это на примере.

Пусть у Миши (заранее извиняюсь, если посетитель сайта Михаил) есть пятирублёвые и ,допустим, восьмирублевые монеты. Всего их на сумму тридцать девять рублей. Сколько монет по пять рублей и сколько по восемь у Миши.

Кажется, что тут не хватает данных, если, например, через x обозначить кол-во 5-рублёвых монет, а за y - 8-рублёвых монет, то условие самой задачи позволяет написать одно единственное уравнение:

Эти и другие уравнения и их системы, в которых число неизвестных превышает число уравнений, называют неопределёнными.

Из условия видно, что кол-во монет не может измеряться нецелыми или отрицательными числами. Значит, если x - целое неотрицательное число, то и:

должно быть неотрицательным и целым. А значит, нужно, чтобы выражение 39 - 5x без остатка делилось на 8. С помощью подбора можно убедится, что это возможно при x = 3. Отсюда, y = 3.

Перебор вариантов не удобен, когда мы работаем с большими числами. Гораздо лучше воспользоваться методом рассевания или методом спуска, который придумали древнеиндийские математики. О методе спуска будет сказано чуть ниже.

Метод спуска (материал взят из энциклопедии Аванта+ "Математика")

Продолжим рассмотрение неопределённого уравнения вида:

где a, b, c - известные целые коэффициенты.

Разберём это всё на знакомом примере:

Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое неизвестное:

Теперь выделим целую часть:

Всё число будет целым, если целым окажется значение (4 — 3у)/5. Это возможно лишь тогда когда число (4 — 3у) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z, последнее условие запишем в виде

Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его теперь нужно относительно переменных y и z.

Продолжаем действовать всё по тому же принципу:

Для того чтобы у оказалось целым, необходимо, чтобы число 1 - 2z без остатка делилось на 3: 1 - 2z = 3u (вновь введена дополнительная переменная u, принимающая только целые значения). Отсюда по уже отработанной схеме получаем:

Продолжим... Число z будет целым, если число 1 - u без остатка делится на 2: 1 - u = 2v, где v — произвольное целое. Отсюда u =1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен.

Осталось теперь благополучно «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом у и, наконец, х:

Формулы х = 3 + 8v, y = 3 - 5v представляют общее решение исходного уравнения в целых числах. А если нас интересуют только неотрицательные целые числа, то среди всех целых решений нужно выбрать такие, для которых

и, стало быть,

Совместно эти неравенства могут выполняться лишь при v = 0. В этом случае x = 3, y = 3. То есть у Миши было 3 5-рублёвые монеты и 3 8-рублёвые монеты.

Вообще, целые решения у уравнения вида

могут быть не всегда. Более того, если на НОД (наибольший общий делитель) a и b делится c, тогда и только тогда, уравнение разрешимо в целых числах.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://lpms.narod.ru

Похожие работы:

  • Методы решения уравнений в странах древнего мира

    Реферат >> Математика
    ... метод ложного положения (“фальфивое правило”) Уравнение первой степени с одним неизвестным мо­жно привести всегда ... лет жил Диофант. Неопределённое уравнение x2 + y2 = z2 Такое неопределённое уравнение исследовали пиффагорийцы, целые ...
  • Диофантовые уравнения

    Реферат >> Математика
    ... перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Надо ... уравнений Наиболее изучены диофантовы уравнения первой и второй степени. Рассмотрим сначала уравнения первой степени. Так как решение линейного уравнения ...
  • Развитие математики

    Реферат >> Математика
    ... вычисление поверхностей и объемов и т.д. Дальше уравнений первой степени и простейших квадратных уравнений египтяне, по-видимому, не ... математической части к решению в целых числах неопределённых уравнений первой степени. Арифметические рукописи конца 16—17 ...
  • Изучение истории становления и развития методики преподавания математики в России

    Курсовая работа >> Педагогика
    ... исчислений, теории дифференциальных уравнений. Как видим, содержание ... решению в целых числах неопределённых уравнений первой степени. Арифметические рукописи конца ... тройное правило и решение уравнений первой степени с одним неизвестным посредством ...
  • Решение алгебраического уравнения n-ой степени

    Научная работа >> Математика
    ... уравнений любой степени. Эйлер установил, что уравнения второй, третьей, четвёртой степеней сводятся к уравнениям первой, второй и третьей степеней ...
  • Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

    Реферат >> Информатика, программирование
    ... использовать метод неопределённых коэффициентов. Наиболее употребительным методом Рунге-Кутта решения уравнения первого порядка ... в нём на полином более высокой степени , интеграл от которого выражается в виде ...
  • Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2

    Научная работа >> Математика
    ... неопределённых множителей: в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений ... был многочленом хотя бы первой степени относительно x, то это ... уравнения f(x)=0 равносильна задаче выделения делителей многочлена f, имеющих первую степень ...
  • Способы решения систем линейных уравнений

    Реферат >> Математика
    ... ) решений (неопределённая система); может также оказаться, что система линейных уравнений не имеет ... случае, когда оба уравнения системы (26) являются уравнениями первой -42- степени, т.е. когда выполняются условия ...
  • Отыскание корня уравнения методом половинного деления

    Курсовая работа >> Информатика, программирование
    ... интегрирования используют полином нулевой, первой и второй степени и соответственно получаются формулы численного ... требуется уточнить единственный корень уравнения f(x)=0, принадлежащий отрезку [a;b] (отрезок неопределённости) Точка c=(a+b)/2 – середина ...
  • Функция многих переменных

    Учебное пособие >> Математика
    ... на этом промежутке первообразную. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА ()’= f(x). = F(x) +С. d= f(x)dх. =. Если = F(x) +С и и=- ... у’ входят в уравнение в первой степени, то есть линейно. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка всегда интегрируемо ...