Реферат : Элементарная теория сумм Гаусса 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Элементарная теория сумм Гаусса




Элементарная теория сумм Гаусса


Рассмотрим следующую сумму – сумму Гаусса :

где D – целое положительное и (a, D)=1.

Покажем, что значение суммы будет одним и тем же, если х пробегает любую полную систему вычетов по модулю D.

Действительно, пусть х пробегает полную систему вычетов по модулю D. Тогда х=qD+k , где k =0, 1, …, D-1 , q є Z



Будем иметь :



что и требовалось.

Лемма 1.



Пусть (a, D)=1. Тогда:


Доказательство:


По свойству модуля комплексного числа :

Имеем:


Сделаем замену x = x + t . Когда х и х пробегают полную систему вычетов по модулю D , от х и t пробегают независимо полные системы вычетов по модулю D.

Действительно, пусть х и х пробегают полную систему вычетов по модулю D . Тогда х = qD + k k=0, 1, …, D-1 , q є Z

х = pD + i i=0, 1, …, D-1 , p є Z

Следовательно, t = x – x = (q – p)D + (k – i) = l D + m , где m=0, 1, …, D-1 , l є Z


а) Пусть D – нечетное, т.е. (2а, D)=1


если D делит t.



Если же D не делит t, то последнюю сумму можно записать в виде :


Получили :

Тогда


Отсюда


б) Пусть D делится на 4, т.е. возможно представление : D = 2D , где D – четное и ( a, D )=1 .



Получим :



Так как D четное, то


Следовательно

в) Пусть D = 2 (mod 4) , т.е. D = 4q + 2 , q є Z


Тогда из предыдущего случая имеем : D = 2 (2q+1)= 2D , D - нечетное. Имеем :



Что и требовалось.

Лемма 2.

Если D и D взаимно простые числа, то


S ( aD1 , D2 ) S ( aD2 , D1 ) = S ( a , D1 D2 )

Доказательство:

В этих суммах t1 пробегает полную систему вычетов по модулю D2 , а t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D2. При этом D1t1 + D2t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D1D2 . Действительно , всего членов в сумме D1D2 и никакие два несравнимы между собой. Действительно, предположим противное : пусть D1t1 + D2t2 = D1t1 + D2t2 ( mod D1D2 )

Отсюда D1 (t1 – t1) = D2 (t2 – t2 ) (mod D1D2) Тогда

D1 (t1 – t1) = D2 (t2 – t2 ) (mod D2) А так как D2 (t2 – t2 ) = 0 (mod D2)

То по свойству сравнений имеем D1 (t1 – t1) = 0 (mod D2) Отсюда так как (D1, D2)=1 , то t1 – t1 = 0 (mod D2) Аналогично получим t2 – t2 = 0 (mod D1)

Т.е. имеем t1 = t1 (mod D2) и t2 = t2 (mod D1) . Но это противоречит тому, что t1 пробегает полную систему вычетов по модулю D2 , а t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D2, так как в полной системе вычетов любые два числа не сравнимы. Следовательно наше предположение было неверным и действительно D1t1 + D2t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D1D2 .


Поэтому

Лемма 3.


Пусть p простое нечетное число и не делит a . Тогда



Доказательство:






что и требовалось доказать.

-6-

Лемма 4.


Если р простое нечетное число , то

Доказательство :

Из леммы 3. получим


Так как произведение сопряженных величин дает квадрат модуля, то



Лемма 5.

Если р и q различные простые числа , то


Доказательство :

Так как ( р, q )= 1 , мы можем воспользоваться леммой 2 : в нашем случае





Итак , мы показали, что



что и требовалось доказать.

Похожие работы:

  • Теория вероятностей

    Реферат >> Математика
    ... называемой элементарной теории вероятностей. Каждое испытание Т, рассматриваемое в элементарной теорией ... Р (А) события А, равной сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов: ... Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это - период, когда теория ...
  • Теория поля и элементы векторного анализа

    Учебное пособие >> Математика
    ... поток векторной величины через элементарную площадку (элементарный поток) (11) векторный ... полем, и потенциал суммы полей равен сумме потенциалов. Соленоидальное векторное ... соотношения теории векторного поля Теорема Остроградского-Гаусса Теорема Стокса ...
  • Теория вероятностей. От Паскаля до Колмогорова

    Курсовая работа >> Математика
    ... появлением знаменитых исследований Лежандра и Гаусса по формулировке и обоснованию ... и центрированных математическими ожиданиями сумм к нормальному распределению. ... книге Чебышева «Опыт элементарного анализа теории вероятностей» понятия случайной величины ...
  • Курс лекций по теории вероятностей

    Реферат >> Математика
    ... равное сумме вероятностей элементарных исходов, входящих в множество А. Замечание 4. Позднее, познакомившись с аксиоматикой теории вероятностей ... по имени Карла Гаусса распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей, поэтому ...
  • Теория относительности

    Статья >> Философия
    ... меньше, чем указанная сумма. Несмотря на это ... современной физике, показали, что элементарные частицы, например, позитроны и ... этих двух разделов теории относительности. Теория, созданная в 1905 ... математики Больяй и Лобачевский, Гаусс и Риман нашли, что ...
  • Теория вероятности и мат статистика

    Реферат >> Математика
    ... равна 1 P(W)=1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей , . k ... Элементарные события несовместны, тогда по третей аксиоме теории вероятности ... имеет нормальное распределение (распределение Гаусса) и называется нормально распределенной ...
  • Теория вероятности и математическая статистика

    Дипломная работа >> Математика
    ... равна 1 P(W)=1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей , . k ... Элементарные события несовместны, тогда по третей аксиоме теории вероятности ... имеет нормальное распределение (распределение Гаусса) и называется нормально распределенной ...
  • Теория Матриц и Определителей

    Реферат >> Математика
    ... черновик). Введение в теорию матриц и определителей ... : распределительным свойством относительно суммы матриц: (A + B) ... только вторая из формул, но и элементарно проверяемое равенство : A + O = ... систем линейных уравнений методом Гаусса. ……. 4. Обратная матрица ...
  • Теория вероятностей

    Реферат >> Математика
    ... событие представляет собой сумму полной группы возможных элементарных событий данного случайного ... числе понимается обобщенное название группы теорем, утверждающих, что при ... линейные несмещенные оценки (теорема Гаусса­–Маркова). Метод наименьших квадратов ...
  • Теория остатков

    Дипломная работа >> Математика
    ... Гаусса, который впервые стал рассматривать сравнения. В дальнейшем была обнаружена связь теории ... и операциями (элементарными действиями) алгоритмического ... ) числа a есть мультипликативная функция. Пример 2. Сумма делителей данного числа. Пусть ( a ) = ...