Доклад : Двойной интеграл в полярных координатах (работа 3) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Доклад >> Математика


Двойной интеграл в полярных координатах (работа 3)




Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле

(1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos j, y = r sin j. (2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи)

Введем обозначения:

Drj = rj+1 - rj,

Dji = ji+1 - ji

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

DSi = rj Dji Drj (3)

Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.

И следовательно,

f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:

(4)

где d - максимальный диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины ji и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

f(r cosj, r sinj)r,

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно

(5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

(6)

Выражение

dS = r dj dr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b].

Имеем

(8)

Где

F(r,j) = rf(r cosj, r sinj)

Пример 1.

Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл

Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

Так как

то применяя формулу (6),

получим

Область S определена

Неравенствами

Поэтому на основании формулы (8) имеем

Пример 2.

В интеграле

(9)

перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1

В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: j=0, j=p/4, r cosj=1 и, следовательно, область S определяется неравенствами

Отсюда на основании формул (6) и(8), учитывая, что

имеем

Похожие работы:

  • Двойной интеграл в полярных координатах

    Реферат >> Математика
    Двойной интеграл в полярных координатах Пусть в двойном интеграле (1) при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая x = ... Пример 1. Переходя к полярным координатам  и r, вычислить двойной интеграл Где S - первая ...
  • Двойной интеграл в механике и геометрии

    Курсовая работа >> Математика
    ... иметь Для вычисления полученного двойного интеграла перейдём к полярным координатам. В полярных координатах граница области интегрирования определяется уравнением ...
  • Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

    Шпаргалка >> Математика
    ... случая: 1  >1, Интеграл а потому и ряд сходится. 2 0<<1, Интеграл и ряд расходится 3 =1, Интеграл и ряд расходится № 6 1 Двойной интеграл в полярных координатах Переход к полярным координатам частный ...
  • Кратные интегралы

    Дипломная работа >> Математика
    ... Кратные интегралы 1.1 Двойной интеграл 1.2 Тройной интеграл 1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах 1.4 Геометрические и ... цилиндрические и сферические координаты. Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции ...
  • Экзаменационные билеты по математике

    Реферат >> Математика
    ... это уравнение в полярных координатах. Вычислить неопределенный интеграл . Брошены две игральные ... Билет № 3 Дать определение двойного интеграла. По какой формуле вычисляется ... экстремумов. Дать определение двойного интеграла. Что называется дифференциальным ...
  • Билеты по математическому анализу

    Реферат >> Математика
    ... для вычисления длины дуги кривой в полярных координатах. Вычислить двойной интеграл , где D ― треугольник с вершинами О(0, 0), А(2, 2), В(0, 2). ... для вычисления площади криволинейного сектора в полярных координатах. Найти . Что называется квазимногочленом? ...
  • Тройные и кратные интегралы

    Реферат >> Математика
    ... положение точки M в пространстве определяется полярными координатами ее проекции Р на плос­кость Oxy ... Преобразование тройного интеграла к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобра­зованию двойного интеграла к полярным. Для этого ...
  • Применение интегралов к решению прикладных задач

    Курсовая работа >> Математика
    ... плоской фигуры. 1.7 Механическая работа. 2. Двойной интеграл. 2.1 Вычисление площади в случае прямоугольной области ... . В полярных координатах получим . Проинтегрировав, получим . В сферических координатах, так как , , , то . 5. Тройной интеграл 5.1 Масса ...
  • Шпора

    Реферат >> Математика
    ... для двойного интеграла от функции f обл. D. Площадь обл. Di выразим в криволинейных координатах xi ... цилиндрические и сферические координаты Под цилиндрическими координатами следует понимать объединение полярных координат на плоскости XOY ...