Реферат : Основная теорема алгебры (работа 1) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Основная теорема алгебры (работа 1)




Основная теорема алгебры

Всякий многочлен с любыми комплексными коэффициентами , степень которого не меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

План доказательства.

Лемма №1. Многочлен f(x) является непрерывной функцией комплексного переменного x.

Лемма №2. Если данн многочлен n-ой степени, n>0,

f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an

с произвольными комплексными коэффициентами и если k- любое положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю значений

|anxn|>k|axn-1+anxn-2+….+a0|

Лемма №3.

Лемма №4.(Лемма Даламбера).

Лемма №5.

Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в замкнутом круге Е, то она ограничена.

Лемма №6.

Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в замкнутом круге Е достигает своего минимума и максимума.

Доказательство основной теоремы.

Лемма №1.

Надо доказать, что |f(x0+x)-f(x0)|<e.

Докажем Лемму №1 сначала для многочлена без свободного члена и при x0=0

Если A=max(|a0 |,|a1|,…,|a n-1|) и (1)

то |f(x)|=|a0xn+…+an-1x|

,

т.к |x|<б ,и из (1) б<1, то

т.к. a0=0 то f(0)=0

Что и требовалось доказать.

Теперь докажем непрерывность любого многочлена.

f(x0+x)=a0(x0+x)n+…+an

pаскрывая все скобки по формуле бинома и собирая вместе члены с

одинаковыми степенями x получим

Многочлен g(x)-это многочлен от x при x0 =0 и а0=0 |f(x0+x)-f(x)|=|g(x)|<e

Лемма доказана.

Лемма №2

Если дан многочлен n-ой степени, n>0,

f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an

с произвольными комплексными коэффициентами и если k- любое положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю значений x верно неравенство:

|a0xn|>k|a1xn-1+a2xn-2+….+an| (2)

Доказательсво.

Пусть А=max(), тогда

пологая |x|>1, получим

откуда

следовательно неравенство (2) будет выполняться если |x|>1 и

Лемма №2 доказана.

Лемма №3.

Доказательство.

(3)

применим лемму 2: при k=2 существует такое N1 , что при |x|> N1

|a0xn|>2|a1xn-1+a2xn-2+….+an|

откуда

|a1xn-1+a2xn-2+….+an|<|a0xn|/2

тогда из (3)

при |x|>N=max(N1 ,N2) |f(x)|>M что и тебовалось доказать.

Лемма №3(Лемма Даламбера).

Если при x=x0 многочлен f(x) степени n, не обращаеться в нуль, то существует такое приращение h, в общем случае комплексное, что

|f(x0+h)|<|f(x)|

Доказательство.

По условию f(x0) не равно нулю, случайно может быть так, что x0 является корнем f’(x),..,f(k-1) (x). Пусть k-я производная будет первой, не имеющей x0 своим корнем. Такое k существует т.к.

f(n)( x0)=n!a0

Таким образом

Т.к f(x0) не равно нулю то поделим обе части уравнения на f(x0)

и обозначим

Теперь будем выбирать h. Причем будем отдельно выбирать его модуль и его аргумент.

По лемме№1:

С другой стороны при

(4)

Пусть |h|<min(б1, б2), тогда

Теперь выберем аргумент h так, чтобы ckhk было действительным отрицательным числом.

При таком выборе ckhk=-| ckhk| следовательно учитывая (4) получим

Что доказывает лемму Даламбера.

Лемма №5.

Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в замкнутом круге Е, то она ограничена.

Доказательство.

Предположим, что это не верно тогда

получена бесконечная ограниченная последовательность xn,

из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность , пусть ее предел равен x0. Так как круг Е замкнут, то x0 пренадлежит Е. Тогда так как f(x) непрерывна

получено противоречие, следовательно неверно, предположение о неограничености f(x).

Лемма №6.

Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в замкнутом круге Е достигает своего минимума и

максимума.

Доказательство.

Докажем это утверждение для максимума.

Так как f(x) непрерывна в Е, то она ограничена и следовательно существует M=sup{ f(x)}. Рассмотрим функцию .

Если f(x) не достигает своего максимума, то M> f(x) следовательно M-f(x)>0 , следовательно g(x) непрерывна в Е.

Полученое противоречит тому, что M=sup{ f(x)}. Следовательно функция достигает свего максимума. Аналогично доказывается достижение минимума.

Доказательство основной теоремы.

Пусть дан многочлен f(x), очевидно что если an-свободный член, то f(0)= an. Теперь применим лемму№3: возьмем М=|f(0)| =|an| тогда существует такое N, что при |x|>N |f(x)|>M. Теперь возьмем круг Е ограниченный окружностью с центром в нуле и радиусом N, включая границы круга. Так как (по лемме №1) многочлен f(x)-непрерывен, то и |f(x)|-непрерывен внутри замкнутого круга Е, следовательно(по лемме №6), существует такая точка x0, что для всех x из E выполняется неравенство |f(x)|>=|f(x0)|. x0 является точкой минимума для |f(x)| внутри E. Т.к для любого x:|x|>N |f(x)|>M>|f(0)|>|f(x0)| точка x0 является точкой минимуа |f(x)| на всей комплексной плоскости.

|f(x0)|=0 т.к по лемме Даламбера если |f(x0)|¹0 то x0 не точка минимума для |f(x)|Þ x0-корень многочлена f(x).

Теорема доказана.

Похожие работы:

  • Основная теорема алгебры

    Реферат >> Математика
    ... ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра компьютерной алгебры и теории чисел Основная теорема алгебры Курсовая работа студента 1 ... Доказательство основной теоремы 5. Список используемой литературы 1. ВВЕДЕНИЕ Данная работа посвящена Основной теореме Алгебры, изучению ...
  • Алгебра

    Реферат >> Математика
    ... корень. Это утверждение носит на­звание основной теоремы алгебры. В течение двух с половиной столетий вни­мание ... разного вида привело к мысли, что основная задача ал­гебры - изучение свойств операций, рассма­триваемых ...
  • Основные понятия алгебры множеств

    Контрольная работа >> Математика
    ... некоторая совокупность множеств. Основными понятиями алгебры множеств считаются понятия ... пересечения и объединения являются основными операциями алгебры множеств. Определение 5. Разностью ... алгебры множеств – это по сути теоремы, которые выводятся из основных ...
  • Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра"

    Шпаргалка >> Математика
    ... обладает поле C, это решается основной теоремой алгебры. Теорема 2. Любой многочлен положительной ... из математического анализа. Из основной теоремы алгебры вытекает ряд следствий, их ... deg f(x)>1, тогда по основной теореме алгебры он обладает корнем. Пусть ...
  • Теорема Безу

    Реферат >> Математика
    ... корпусе. Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они ... учёного названа одна из основных теорем алгебры. Теорема Безу. Остаток от ... Математическая энциклопедия. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А. Алгебра и элементарные функции. Виленкин Н.Я., Ивашев- ...
  • Теорема Гурвица и ее приложение

    Курсовая работа >> Математика
    ... четырех алгебр: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел, алгебре кватернионов или алгебре октав. Альтернативной алгеброй называется алгебра ... 3, (Sep., 1986) – 432 pp Калужин Л. А. “Основная теорема арифметики, Популярные лекции по математике ...
  • Теорема Силова

    Курсовая работа >> Математика
    ... группы 1.5 Теоремы о гомоморфизмах Глава II. Теорема Силова 2.1 Первая теорема Силова 2.2 Вторая и третья теорема Силова ... , 2001. 4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры. – Учебник для вузов. – М.: Физико ...
  • * Алгебры и их применение

    Дипломная работа >> Математика
    ... пары самосопряженных операторов). Глава I. Основные понятия и определения § 1. - алгебры Определение - алгебры. Определение 1.1. Совокупность А ... всех хА (1.1.) Элемент е называют единицей алгебры А. Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной ...
  • Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Теоремы математической индукции

    Реферат >> Математика
    ... нам свойства натуральных чисел. п.2. Теоремы математической индукции. Теорема 1. (принцип полной математической ... А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000 Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: ...
  • Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора

    Курсовая работа >> Математика
    ... і простору . Отже, твердження теореми вірне. Теорема 2.3. Для того, щоб оператор ... і . За наслідком з основної теореми алгебри такий многочлен має коренів, якщо ... ів за заданим власним вектором . Теорема 5.4. (теорема Жордана). У -мірному векторному простор ...