Статья : Проблема иррациональных чисел 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Статья >> Математика


Проблема иррациональных чисел




Проблема иррациональных чисел

А.И. Сомсиков

Проблема иррациональности впервые обнаружена в геометрии при извлечении корня. Она известна еще в эпоху “античности”, связываемую с именем Пифагора.

Выявленное логическое противоречие состоит в следующем. С одной стороны имеется доказательство того, что все точки на прямой являются целыми или дробными, т.е. “рациональными” числами.

Это доказательство таково.

Берется отрезок прямой с координатами его концов 0 и 1. Обе эти координаты являются целыми числами.

Отрезок делится пополам и рассматриваются каждый из вновь полученных отрезков.

Концы этих отрезков имеют координаты 0 и 0,5 или 0,5 и 1, являющиеся целыми или дробными, т.е. “рациональными” числами.

Продолжается повторное разбиение пополам, сближающее края последующих отрезков при их сохранении каждый раз заведомо рациональными числами.

В пределе, при бесконечном разбиении, края отрезков сливаются в точку, оставаясь при этом рациональными числами.

Логический вывод гласит, что исходный отрезок оказывается заполненным одними лишь рациональными числами, иными словами ни для какой "иррациональности" места не остается.

Другое доказательство наоборот приводит к тому, что некоторые точки на прямой не могут быть заданы ни целыми, ни дробными числами, т.е. не являются рациональными.

Это доказательство таково: берется равнобедренный прямоугольный треугольник с длиной каждого катета равной 1. Согласно теореме Пифагора длина гипотенузы при этом составляет . Это не может быть ни целым числом, ни несократимой дробью , поскольку в этом случае a2 = 2b2. Следовательно, a есть четное число представимое как a = 2k. Но тогда a2=(2k)2=4k2=2b2. А значит и b2 = 2k2, т.е. b – тоже четное число. Получаем логическое противоречие: с одной стороны дробь должна быть несократима (в противном случае ее можно сократить на общий множитель), с другой же стороны обе ее части a и b - четные числа, т.е. имеют общий множитель 2, а значит, дробь является сократимой.

Итак, первому логически не противоречивому доказательству противостоит второе - логически противоречивое доказательство.

Поскольку первое доказательство не содержит логического противоречия, оно не может вызывать никаких сомнений и должно считаться безусловно верным.

Второе же доказательство напротив содержит внутри себя логическое противоречие. А значит, во-первых, оно ни в коем случае не может служить опровержением первого - логически непротиворечивого доказательства. И, во-вторых, именно оно, как содержащее внутри себя логическое противоречие, должно считаться крайне сомнительным и требующим дополнительного рассмотрения.

Предлагаемое рассмотрение таково.

Прежде всего, что означает это приравнивание длины катетов числу 1? А вот что: это значит, что оба катета измерены с помощью некоторого эталона, и что результат этого измерения равен единице. Естественный вопрос для любого измерения: с какой точностью? Ответ такой: при измерении любым эталоном абсолютная погрешность измерения равна самому эталону, а точность измерения, определяется отношением абсолютной погрешности (величины эталона) к самой измеряемой величине - относительной погрешностью.

Величина эталона относительно себя самой равна единице с бесконечной степенью точности, что может быть выражено в виде десятичной дроби: э =1,(0). А вот величины обоих катетов а и b, измеренных таким эталоном должны выглядеть так: а =1= 1, b =1= 1, где э – величина эталона.

В данном случае получим: абсолютная погрешность , , a = 11, b =11. А относительная погрешность, определяющая точность каждого измерения, равна соответственно

a(%) = и .

И даже если принять в качестве эталона один из катетов, например, а, что означает a(%) = 0,(0), т.е. бесконечную точность его измерений и равенства нулю его относительной погрешности, то все равно относительная погрешность измерения второго катета останется 100%.

Вот что означает на практике это небрежное брошенное условие равенства единице длин обоих катетов.

И что мы получим при измерении гипотенузы таким эталоном э?

Вариантов ответа два: с = 1 или с =.

В первом случае погрешность измерения гипотенузы равна 100%, как и в случае катета, а во втором случае – 50%. Ясно, что второй ответ более точен, хотя тоже не очень хорош.

Что мы теперь имеем по теореме Пифагора? Катеты равны 11, т.е. их можно считать равными 1 или 2, а гипотенуза и вовсе может быть равной 1 или 2, или даже 3. Причем каждый из этих ответов по-своему верен с известной степенью точности.

Но в то же время 12+1212 или 22 и уж тем более 32.

И второй возможный вариант тоже дает: 22+2212 или 22 или 32.

И даже принятие в качестве эталона одного из катетов тоже дает: 12+2212 или 22, или 32. Другими словами требуемое равенство не достигается ни при каком варианте таких измерений.

Точность повышается при уменьшении величины эталона э, например, в 10 раз.

В этом случае а = 10 1, b = 10 1, c = 14 1, a = 10%, b = 10%, c = =7%.

Или в 100 раз, когда а = 1001, b = 1001, c = 1411, a = 1%, b = 1%, c = =0,7%, и т.д.

При этом однако все еще остается: а2+b2c2, т.е. теорема Пифагора по-прежнему не выполняется.

Это достигается только при бесконечной точности измерений, когда величина эталона э = 0,(0), а = 10000…=, b = 10000…=, c = 14142135623730950488016887242097141…=,

Или при выражении через исходный эталон э: а = 1,(0), и b = 1,(0), c = 1,4142135623730950488016887242097141…

В этом и только в этом случае теорема Пифагора справедлива, принимая однако вид: а2 + b2 = c2 .

В обычном понимании это может выглядеть сложновато, однако уже не содержит более никакого логического противоречия.

И что же все это значит?

А вот что: теорема Пифагора, как и вообще все теоремы геометрии без всякого исключения справедливы при условии выполнения еще одной теоремы.

Ввиду ее всеобщности и исключительной важности, она может быть названа Великой Геометрической Теоремой (ВГТ).

Ее содержание таково: все геометрические теоремы верны при одном обязательном условии - бесконечной точности измерений.

А значит, в рассматриваемом нами частном случае никаких таких целых чисел 1 обоих катетов нет и быть не может, а может быть только лишь бесконечная десятичная дробь вида: а = 1,(0), и b =1,(0).

При этом все рассуждения о сократимости или несократимости бесконечных дробей и соответственно четности или нечетности с необходимостью сразу же отпадают, т.к. это возможно только в одном единственном случае: когда рассматриваемая нами дробь является конечной. Это легко достигается простым обрывом бесконечности, т.е. нарушением бесконечной точности. Но именно в этом случае теорема Пифагора тотчас же нарушается, т.е. перестает выполняться.

А значит и вся рассматриваемая проблема сразу и бесповоротно снимается!

Из всего этого следует, что, во-первых, любая точка на геометрической прямой задается в виде бесконечной дроби, и здесь нет никакой разницы или особенности ни у катета, ни у гипотенузы.

И что, во-вторых, все числа без исключения, задающие положение любых геометрических точек, должны считаться “иррациональными” ввиду простой бесконечности их дробей, либо же нужно принять, что никаких иррациональных чисел вовсе не существует.

Именно потому, что выполненное рассмотрение приводит к полному снятию логического противоречия, вынудившее некогда их измыслить.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.sciteclibrary.ru

Похожие работы:

  • Основные проблемы и понятия философии досократиков

    Реферат >> Философия
    ... философии. Тема: Основные проблемы и понятия философии досократиков. ... почти все досократики обращались к проблеме объяснения природных явлений, движения, ... наз. «явления несоизмеримости», т.е., проблемой иррациональных чисел. Пытаясь найти отношение между ...
  • Исторические проблемы математики. Число и арифметическое действие

    Статья >> Математика
    ... числа целые, дробные, иррациональные и трансцендентные”. Все возрастающая роль иррациональных чисел в механике, математическом анализе ... других ИНС, могут быть бесконечны. Проблемой СС является именно это бесконечное ...
  • Решение иррациональных уравнений

    Реферат >> Математика
    ... проблемам. Древние математики нашли довольно быстро логически строгое доказательство иррациональности ... 428-365 до н.э.) доказал иррациональность чисел вида . Теодор из Кирены ... до н.э.) установил иррациональность квадратного корня из чисел 3,5,6,…,17, которые ...
  • Решение иррациональных уравнений

    Реферат >> Математика
    ... проблемам. Древние математики нашли довольно быстро логически строгое доказательство иррациональности ... 428-365 до н.э.) доказал иррациональность чисел вида . Теодор из Кирены ... до н.э.) установил иррациональность квадратного корня из чисел 3,5,6,…,17, которые ...
  • Геометрия чисел

    Реферат >> Математика
    ... чисел, а также упростил и развил теорию аппроксимации иррациональных чисел рациональными ... = 0 из рассмотрения исключается (“однородная проблема”). Обычно рассматриваются оценки, применимые не ... ” Другим общим типом проблемы является следующая типичная « ...
  • Геометрия чисел

    Курсовая работа >> Математика
    ... чисел, а также упростил и развил теорию аппроксимации иррациональных чисел рациональными ... = 0 из рассмотрения исключается (“однородная проблема”). Обычно рассматриваются оценки, применимые не ... ” Другим общим типом проблемы является следующая типичная « ...
  • Иррациональные уравнения

    Курсовая работа >> Математика
    ... . Я старалась как можно доступнее охватить проблемы этой темы. Конечно, всё нельзя ... это условие выполняется для чисел и , т.е. . Получаем, что О т в е т:. 4.2. Иррациональные показательные уравнения Пример 1. Решить ...
  • Проблемы совершенствования порядка установления, начисления и взимания ...

    Реферат >> Банковское дело
    ... . К. Маркс называл процент «иррациональной формой цены». Процент в количественном ... программно с использованием процентных чисел. Процентное число представляет собой ... В случае неплатежа могут возникнуть проблемы с истребованием кредита. Неразвитость банковской ...
  • Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

    Реферат >> Математика
    ... дидактике основное внимание уделяется проблемам, связанным с содержанием обучения ... теоретическая сторона данной проблемы, характеризуется самостоятельная ... чисел привели к понятию алгебраической системы, в частности, к понятию кольца и поля. Так, иррациональные ...
  • Зарождение и создание теории действительного числа

    Реферат >> Математика
    ... математики. Вслед за открытием иррациональности последовало открытие иррациональности чисел , сделанное Теодором(Феодором) из ... плодотворность и нужность математике, от этого проблема фундамента для интегрального и дифференциального исчисления ...