Статья : Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Статья >> Математика


Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников




Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников.

Казакова Г.Г., доцент кафедры геометрии ХГПУ

Рисунок 1. Центроид треугольника

Применение методов векторной алгебры позволяет выявлять те особые свойства фигур, которые могут ускользнуть от нас при их наглядно-геометрическом рассмотрении, и при этом не потерять геометрическую наглядность изучаемого факта (как это часто бывает при применении метода координат).

Остановимся на некоторых фактах, связанных с геометрией треугольника, которые позднее будут применены к вырожденным треугольникам, что позволит получить интересные результаты.

Договоримся об обозначениях: точки будем обозначать заглавными буками обычным шрифтом (например: А, B) , а радиус-векторы точек (и обычные векторы) - жирным курсивом (например A, G, BC, b).

1. Центроид треугольника. Точка G пересечения медиан треугольника АВС называется его центроидом. Выразим радиус-вектор G центроида через радиус-векторы A, B, C вершин треугольника при любом выборе начала векторов - точки О.

По свойству медиан треугольника CG:GM=2 (смотри рис.1), следовательно G=(C+2M)/3, где М - середина стороны АВ, т.е. M=(A+B)/2. Итак,

G=(A+B+C)/3 (1)

Верно и обратное: если точки А, В и С не коллинеарны и имеет место условие (1), то точка G есть центроид треугольника АВС. В самом деле, пусть точка М - середина отрезка АВ, т. е. при любом выборе начала векторов О имеем M=(A+B)/2. Тогда из равенства (1) получим G=(C+2M)/3, т.е. G делит медиану СМ в отношении 2:1 и потому является центроидом треугольника АВС.

2. Ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера. Если за начало векторов взять центр О описанной вокруг треугольника АВС окружности, то радиус-вектор ортоцентра Н (точки пересечения высот) этого треугольника равен

H = A+B+C (2)

Рисунок 2. Ортоцентр треугольника

В самом деле, векторы A+B и H-C (смотри рис.2) коллинеарны, значит, A+B = l(H-C).

По этой же причине B+C = m(H-A).

После почленного вычитания этих равенств получаем:

A-C = (l - m)H - lC + mA или

(1 - m)A + (l - 1)C + (m - l)H = 0

и при этом сумма коэффициентов

(1 - m) + (l - 1) + (m - l) = 0.

Выполнение двух этих условий возможно только в двух случаях:

либо когда точки А, С и Н коллинеарны (это невозможно по условию), либо когда

(1 - m) = (l - 1) = (m - l) = 0.

Значит, имеет место последнее:

m = l = 1

и тогда H = A+B+C.

Так как при любом выборе начала векторов точки О

G=(A+B+C)/3

то в данном случае G = H/3, т. е. точки О, G и Н коллинеарны и OG : GH = 1:2. Прямая OGH называется прямой Эйлера для треугольника АВС.

Теорема 1: Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон и середин сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Рисунок 3.

Доказательство: Примем центр описанной окружности за начало радиус - векторов точек. Если точка Е1 симметрич­на Н относительно середины стороны ВС (смотри рис.3), то :

(B+C)/2 = (H+E1)/2, или

E1 = B + C - H = -A, т.е. точки A и E1 диаметрально противоположные и

E12 =A2 =R2.

Пусть прямая АН пересекает прямую ВС в точке К, а окружность - в точке Н1. Если ОД перпендикулярна ВС и ОF перпенди­кулярна АК, то:

K = D+F, D = (В+C)/2, F = (A+H2)/2 и, значит, K = (B+C+А+H2)/2 = (H+H2)/2 , т.е. Н1 симметрична точке Н относительно прямой ВС. Для точек Н2 и Н3 доказатель­ство аналогично.

Теорема 2: Во всяком треугольнике середины сторон, основания высот и три точки, делящие пополам отрезки высот от вершин до ортоцентра, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек треугольника.

Доказательство: За начало векторов примем центр О описанной около треугольника окружности (смотри рис.4). Обозначим через Оi середины сторон, через Нi основания высот, через Кi середины отрезков высот от ортоцентра до вершины (i =1, 2 ,3).

Если L - середина отрезка ОН, то

L = H/2 = (A + B + C)/2,

LO1 = O1 - L = (B + C)/2 -(A+B+C)/2 = -A/2,

LK1 = K1 - L = (A + H)/2 - H/2 = A/2.

Рисунок 4.

Таким образом, точки Оi и Кi (i =1, 2 ,3) симметричны относительно L, т.е. принадлежат окружности с центром L и радиусом, равным половине радиуса R описанной окружности, так как LO12 = LK12 = (±A/2)2 = R2/4. Углы ОiHiKi ( i=1, 2, 3) прямые и опираются на диаметры полученной окружности, а поэтому точки Hi этой окружности принадлежат. В дальнейшем остановимся на применении рассмотренных фактов к вырожденным треугольникам, т.е. таким треугольникам, у которых совпадает две или три вершины.

3. Треугольник с двумя совпавшими вершинами.

Если вершины В и С треугольника АВС совпали, то сторона ВС = а будет касательной к описанной около треуголь­ника окружности в этой точке, а длина стороны ВС будет равна нулю.

Итак, определить треугольник с двумя совпавшими вершинами (вырож­денный треугольник) можно двояко:

1) это хорда АВ окружности с одним двойным концом В;

2) это отрезок АВ и прямая, проходящая через его точку В.

В последнем случае описанная около треугольника АВС окружность касается прямой а в точке В, лежащей на ней. Такая окружность - единственная.

В полученном треугольнике с двумя совпавшими вершинами величина угла А равна нулю, а углы В и С - смежные, поэтому сумма внутренних углов треугольника равна 1800. Рассмотрим интерпретацию для данного треугольника свойств невырож­денного треугольника.

Так, при любом выборе начала О векторов G=1/3(A+2B), т.е. центроид G делит отрезок АВ в отношении л=2:1. Ортоцентр Н определится как тоже пересечение высоты АHi ^ а и двойной высоты, проходящей через точку В º С перпендикулярно к АВ. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то Н = А + 2В (рис.5).

Итак, векторы G и Н коллинеарны и OG : GH = 1 : 2.

Применительно к данному случаю теорема 1 звучит следующим образом:

Если АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры из точки А к прямой а из точки В у прямой АВ пересекаются в точке Н, то точки Е, F и K, симметричные Н соответственно относительно а, В и середины АВ, принадлежат данной окружности (рис.5).

Рисунок 5

Для обычного треугольника имеет место теорема Симпсона:

ортогональные проекции точки окружности на стороны вписанного в нее треугольника лежат на одной прямой, называемой прямой Симпсона для данного треугольника.

Для треугольника вырожденного этот факт тривиален: точки М1 и М2 совпали, а две точки М1 º М2 и М3 всегда определяют прямую линию (рис.6).

Однако, так как DММ1В~DММ3А, (они прямоугольные и углы МВМ1 и МАМ3 измеряются половиной дуги МnB), то МВ : МА = ММ2 : ММ3 или МВ · ММ3 = МА · ММ2, т.е. получаем теорему 3:

Если АВ - хорда окружности и а - касательная к ней в точке В, то произведение расстояний произвольной точки окружности до точки касания и до хорды равно произведению расстояний этой точки до второго конца хорды и до касательной.

Рисунок 7

Теорема 2 (об окружности девяти точек треугольника) для вырожденного треугольника может быть сформулирована так:

Если АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры АH2 к прямой а и FB к прямой АВ пересекаются в точке Н (рис.5), то основания H2 и В этих перпендикуляров и середины отрезков АВ, АН и ВН лежат на одной окружности, радиус которой равен половине радиуса данной окружности.

Треугольник с тремя совпавшими вершинами (дважды вырожденный треугольник).

Рисунок 6

Такой треугольник можно задать с помощью точки А окружности (рис.7). В этом случае все три стороны совпадают, ибо А=В=С, и являются касательной а к окружности в точке А. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то G=A и H=3A, т.е. ОАН - прямая Эйлера для вырожденного треугольника и OG:GH=1:2. Точка Н', симметричная Н относительно сторон и середин сторон вырожденного треугольника АВС, лежит на окружности (О,ОА), описанной около этого треугольника.

Чтобы выяснить положение прямой Симпсона, обратимся к рис.6. Так как ÐММ1В = ÐММ3В = 900 , то точки М1 º М2 и М3 принадлежат окружности диаметра МВ. Следовательно, если А=В, то прямая М1М3 Симпсона будет касательной в точке М1 к окружности диаметра МА=МВ (рис.7).

Окружностью девяти точек треугольника АВС является окружность, касающаяся описанной окружности в точке А (основание трех высот, середины трех сторон) и проходящая через середину отрезка НА, т.е. ее радиус равен половине радиуса данной окружности.

Список литературы

Майоров В.М., Скопец З.А. Векторное решение геометрических задач. М.- Просвещение, 1968.

Скопец З.А., Панарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. Ярославль, 1974.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru

Похожие работы:

  • Развитие аналитической геометрии

    Реферат >> Математика
    ... отрезков, построение тре­угольников и так называемые ... геометрия Описанная алгебраическая трактовка вопросов геометрии подготовля­ла почву для создания аналитической геометрии ... и о «вырождении» кривой второго порядка ... в глазах некоторых ученых являлось ...
  • Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... данных элементов, пример 2). 2.2.2. Некоторые вопросы теории геометрических построений. В теории ... или является его вырожденным случаем. Иногда план ... Геометрия линейки и геометрия циркуля, 1957. Клименченко, Д.В. Задачи на построение треугольников по некоторым ...
  • Ответы на вопросы госэкзамена по философии философского факультета СПбГУ

    Реферат >> Философия
    ... Начало этого вырождения - возникновение собственности ... наук. 1. Математика: а) исчисление. b) геометрия. с) механика. 2. Астрономия. 3. Физика. ... треугольники, в силу того, что некоторые ... Единственный серьезный вопрос - вопрос о самоубийстве, вопрос - стоит ...
  • Кандидатский по философии

    Реферат >> Философия
    ... превраща­ется в абстрактную чувственность геометра. Физиче­ское движение приносится ... формальной ло­гике и некоторым вопросам методоло­гии науки, ... бы три вершины треугольника, лежащего в ... регионов признаки физического вырождения, неудержимое, под­линно ...
  • Эстетика современной архитектуры на примере музея Гуггенхайма в Бильбао и в Нью-Йорке

    Реферат >> Культура и искусство
    ... черном» или «Интернейшенал». «Некоторые говорят, что музей на ... быстро произошло полное вырождение идеи. Осталась лишь ... и в острой постановке вопросов о том, что такое ... являет торжество строгой геометрии форм: треугольников, эллипсов, окружностей ...
  • Математическая мифология

    Реферат >> Религия и мифология
    ... с математической мифологией. 2. Вырождение математической мифологии: математические конструкции ... есть некоторый объект эмпирического мира, а поскольку этот треугольник ... популярно выражаясь, арифметика и геометрия - отвечает на вопрос “как” и “что ...
  • Cпособы преобразования комплексного чертежа, применение при изображении предметов

    Реферат >> Начертательная геометрия
    ... учебная дисциплина, изучающая вопросы изображения изделий на плоскости ... вращения вокруг некоторой оси до тех ... изменения оставлена вырожденная фронтальная проекция треугольника (А2В2С2=( ... Краткий курс начертательной геометрии С. К. Боголюбов, А. В. Воинов - ...
  • Место аналогии в обучении математике в школе

    Реферат >> Математика
    ... целесообразно подчеркивать аналогию между некоторыми плоскими и пространственными ... геометрии должен быть таким, чтобы он прежде всего побуждал учащихся к постановке вопросов ... мыслей (например, треугольник можно рассматривать как вырожденный вписанный 4 – ...
  • Художественные стилевые направления в искусстве

    Реферат >> Культура и искусство
    ... построениями на основе треуголь­ника, символа «божественной ... контрреформации. Все вопросы веры были ... изоб­ражением геометрии изобразительной по­верхности. В искусстве Востока некоторой аналогией ... всегда свидетельствует о вырождении одного и скором ...
  • Комплексные числа в планиметрии

    Курсовая работа >> Математика
    ... использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории ... не исключать случай вырождения параллелограмма, когда все ... прямоугольного равнобедренного треу­гольника АВС спроектированы параллельно некоторой прямой l ... на вопросе применения комплексных ...