Статья : Способ доказательства теоремы Ферма в общем виде с помощью методов элементарной математики 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Статья >> Математика


Способ доказательства теоремы Ферма в общем виде с помощью методов элементарной математики




Способ доказательства теоремы Ферма в общем виде с помощью методов элементарной математики

Н.И.Пичугин

Ученые-математики вот уже 400 лет безуспешно бьются над доказательством теоремы Ферма. Они категорически отрицают доказательство теоремы элементарными способами. Столь длительные попытки доказательства, по-видимому связаны с отсутствием регулярной работы над темой и малой ее актуальной значимостью. Ведь нашли же российские ученые при крайней нужде, в срочном порядке, методы защиты отечественных кораблей от магнитных мин противника. Некоторые ученые считали доказательство теоремы даже неразрешимой задачей. Тем не менее, наконец в 1995 году обнародовано доказательство теоремы Ферма английским ученым А.Уайлсом. Оно базируется на последние достижения математической науки и является по существу результатом коллективного труда определенного круга математиков, работающих в различных направлениях математических исследований.

А.Уайлс в своем доказательстве исходит из того, что теорема Ферма вписывается, является следствием гипотезы Таниямы о модулярных эллиптических образованиях. Такое заключение сделано на основании ограниченного количества точек x,y,z из теоремы Ферма, которые позволяют утверждать автору, что эти точки характиризуют все сочетания x,y,z и n в качестве причастных к модулярным эллиптическим кривым. Доказательство А. Уайлса – сложное и трудоемкое, т.к. потребовалось доказать справедливость самой теоремы Таниямы и причастность элементов теоремы к модулярным эллиптическим кривым. При этом становится неясным: то ли доказывается справедливость гипотезы Таниямы с помощью недоказанной теоремы Ферма, то ли доказывается теорема Ферма с помощью недоказанной гипотезы Таниямы. Доказательство любой теоремы должно базироваться на общепризнанных постулатах. Доказательство А. Уайлса занимает 150 страниц печатного текста и изложено специальным математическим языком, мало доступным большинству интересующихся. Но главный его недостаток – оно не является прямым и непосредственным. Вызывает сомнение отсутствие взаимосвязи показателей степеней n>2 со степенями n=1 и 2 , не показана распространенность условий теоремы Ферма по плоскости XOY и в частности на целые отрицательные числа. Я не берусь подвергать сомнению подобное доказательство, но считаю необходимым утверждать, что любые три точки xn ,yn ,zn могут вписываться в степенные числовые ряды, в треугольники Пифагора или, как будет показано ниже, станут исходными при доказательстве теоремы элементарными методами. Это свидетельствует о том, что доказательство теоремы Ферма с помощью модулярных элептических кривых не является единственно возможным и приемлемым в общем виде. Могут появиться и другие доказательства, в том числе и с использованием элементарной математики.

После опубликования доказательства А.Уайлса в математических журналах в интернете появляются новые доказательства любителей математики, что свидетельствует о их неугасающем интересе к теме и стремлении к поиску более простого и доступного к пониманию непосредственного доказательства теоремы Ферма. Этот процесс в большинстве своем не преследует каких-либо корыстных целей, а скорее всего носит бескорыстный спортивный или престижный характер.

Вопреки мнению ученых математиков, ниже предлагается к обсуждению официальным лицам из института им. В.А. Стеклова и любителям математики из Интернета компактный, практически на 2-х страницах способ элементарного доказательства теоремы Ферма в общем виде, основанный на разложении уравнений Ферма по биному Ньютона на его составляющие. Это позволяет после преобразования уравнений Ферма

xn +yn =zn (1)

к виду

(x - a)n + xn - (x+b)n = 0 (2) где x, a и n – целые числа, а b - целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x, a и n; одновременно:

- упростить доказательство, сведя его к одному неизвестному;

- Выяснить взаимосвязь b с параметрами x, a и n;

- определить структурную формулу для x в поисках целых решений при всех показателях степеней n; - выявить причину образования нецелых z при n>2;

- показать, что на плоскости XOY уравнения Ферма имеют нецелые решения для z при n>2, как для положительных, так и для отрицательных чисел x и y , за исключением квадрантов II и IV при нечетных n, где теорема Ферма не имеет смысла.

Итак, приступим к разложению уравнений (2) по биному Ньютона относительно основополагающего параметра x:

(x–a)n + xn = 2xn - nxn-1 a + cn2 xn-2 a2 - cn3 xn-3 a3...... +an

-(x+b)n = xn +nxn-1 b + cn2 xn-2 b2 + cn3 xn-3 b3.......+bn

Δ= xn - nxn-1 (a+b) + cn2 xn-2 (a2-b2) - cn3 xn-3 (a3+b3)…+(an+bn) =0 (3)

Мы получили основное уравнение (3) для поиска целых решений z

Упростим уравнение (3), приняв в нем а=b=1,2,3…. При этом доказательство теоремы сводится к решению задачи с одним неизвестным х (обоснование принятия а=b=1,2,3… см. ниже). В этом случае выражение (3) после решения его относительно х примет вид:

xn = 2nxn-1 a + 2cn3 xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5 + ... (an + an )… (4)

Обозначим через P(a,n) = 2cn3 xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5 +... ( an + an ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда оно примет вид: xn = 2nxn-1 a + P(a,n). Разделив левую и правую части уравнения (5) на xn-1 , получим искомое структурное выражение для х:

x=2na+P(a,n)/xn-1 (5)

в котором 2na – целое число, а добавка P(a,n)≥0 – функция, от которой зависит доказательство теоремы Ферма. При P(a,n)=0 для n =1и 2 имеют место решения z в целых числах; для n>2 P(a,n)>0 и z при решении получаются нецелыми. В этом заключаются отличия уравнений Ферма степеней n=1 и 2 от уравнений степеней n>2. Следовательно, доказательство теоремы Ферма сводится к доказательству того, что функция P(a,n)/xn-1 при n>2 всегда является нецелым числом.

Перед доказательством предварительно введем понятие исходных x,y,z, играющих основополагающую роль при доказательстве. Собственно в основном все доказательство теоремы сводится к доказательству ее при исходных x,y,z. Из допущений а=b=2,3,4… примем а=b=1. Тогда получим

x=2n+P(1,n)/xn-1 y=x-1 и z=x+1 (6)

Эти параметры и будем считать исходными при доказательстве теоремы Ферма. Другие параметры x,y,z, соответствующие выражению а=b=2,3,4…повторяют результирующие характеристики исходных x,y,z на более удаленных х , пропорционально числам 2,3,4.

Возвращаясь к доказательству, предварительно сократим числитель и знаменатель в добавке P(1,n)/ xn-1 на общие сомножители и приведем ее к виду:

P(1,n)/ xn-1= 2cn3 /x2 + 2cn5 /x4+ 2cn7 /x6+…( 1+ 1 )/xn-1 (7)

В числителе каждого члена разложения представлены сочетания cnk – целые числа, распределение которых симметрично относительно центра с максимумом в точке (n+1)/2. В знаменателе – функция х2, нарастающая по квадратичному закону. В первой половине разложения (7) из-за нарастания числителя и относительной малости знаменателя образуется большая числовая сумма. Во второй половине разложения из-за убывания числителя и резкого увеличения знаменателя образуется числовая сумма значительно меньше первой. Отметим, что непосредственное определение параметра х предлагаемым способом доказательства предусматривается осуществлять с помощью метода последовательных приближений, при котором все подставляемые х, кроме начального, являются нецелыми числами. Следовательно, суммы в первой и второй половине разложения (7) , как результат деления числителей на нецелые знаменатели, будут нецелыми. Результат их суммирования будет также нецелым. Если в исключительном случае (что невероятно) предположить, что в полученной общей сумме после запятой вычислялись значащие цифры до принятого порядка, например 109 и все они оказались равными нулю, то последующий расчет до порядка 1010 , из-за малого приращения сделает сумму обязательно нецелой. Нецелой становится и P(1,n)/ xn-1 , а это означает, что теорема Ферма доказана для n>2 .

Обратимся теперь к правомочности принятия допущения а=b=1,2,3…. При доказательстве теоремы принято а=b=1. В общем случае а изменяется в пределах от 0 при у=х и n=1 до х при у=0. Ему соответствует изменение b в пределах 2 при а=0, n=1, до 0 при а=х. При х>y имеем:

. . Отсюда b≤x . (n√2-1). Это неравенство соблюдается при всех изменениях а. Нас интересует выбор a и b. За исходное принято а=1 потому, что при нем обеспечивается максимальное значение z и оно наиболее близко к предельному z=x n√2. Соответствующее ему b=1 принято из следующих соображений. С ростом n величина b уменьшается , проходя через точку b=2 при n =1, точку b=1,657 при n=2, далее переходит через точку b=1 при неизвестном n и, становясь меньше 1, уменьшается до 0 при увеличении n до бесконечности. b=1 оказывается единственным целым числом для n>2, при котором возможны целые z.

Полнота и общность предлагаемого доказательства может быть проиллюстрирована также возможностями частных доказательств теоремы, вытекающих из следствий общего доказательства, при целых положительных и отрицательных x и y. Благодаря допущению a=b=1, исходные x, y, z оказываются расположенными рядом на расстоянии 1 друг от друга в следующей последовательности: x-1, x , x+1. Это свойство может быть использовано для доказательства теоремы Ферма при помощи треугольников Пифагора, числовых степенных рядов и др. Треугольники Пифагора при n>2 отражаются на плоскости xOy в виде остроугольных треугольников в квадрантах плоскости xOy I и IV или тупоугольных квадрантах II и III. Для первых характерно xn+(x-1)n<(x+1)n и положительный

cos B = 0,5-1,5/(x-1).

Для вторых xn+(x-1)n>(x+1)n и отрицательный cos B. Нецелость теоремы Ферма доказывается через нецелость cos B в искаженных треугольниках.

При использовании элементов уравнений Ферма xn, yn, zn в качестве составляющих элементов числовых степенных рядов представляется возможным при n>2 и a=b=1,2,3… непосредственно убедиться в нецелостности z при суммировании в рядах xn=(2n)n и yn=(2n-1)n .

Особого внимания заслуживает вероятностный подход к доказательству теоремы Ферма. Его сущность заключается в использовании степенных рядов, состоящих из порядковых натуральных чисел 1,2,3… и их степеней 1n,2n,3n…Между степенями размещаются порядковые целые числа, к примеру, между 22 и 32 находятся числа 5,6,7,8. Из них нельзя извлечь целые квадратные корни так как они находятся между двумя рядом стоящими целыми числами. Это позволяет утверждать, что любая степень в ряду содержит сумму всех предыдущих степеней, которые при извлечении из них корней дает как целые, так и нецелые корни при всех степенях n. Следовательно, для каждого x можно определить вероятность (частость) P= x/xn , где в числителе целые x, а в знаменателе – сумма целых и нецелых x, или после сокращения на x: P=1/xn-1 , где 1 – одиночное событие, а xn-1 – МОЖ, Математическое ожидание количества экспериментальных попыток для получения 1-го события (широко используется в артиллерийской практике). Если теперь предположить, что в степенных рядах находятся уравнения Ферма xn+yn=zn, удовлетворяющие условию a=b=1,2,3… и они дают нецелые решения z в рядах(см. изложенное выше), то для них в тоже время можно определить вероятность получения целых z P=1/(xa+a)n-1 и МОЖ = (xa+a)n-1 .

Рассмотрим на конкретном примере условия получения целого z для n=4 при условиях: a=b=1; x=2*4=8; z=8+1=9. Для них P=1/93 и МОЖ=729 – Столько потребуется экспериментальных попыток из сочетания x и y , чтобы получить одно целое z. (Число m=38 определяется из соотношения =m!/2!(m-2)!=((m-1)*m)/2=729. Решая уравнение m2-m-1458=0, получим m примерно равно 38) Для нецелых z =36<<729, чего явно не достаточно для выявления целого z и с позиции экспериментатора оно остается нецелым числом, т.к. реализация вероятности P=1/93 возможно только при условии =МОЖ=729.

С ростом x и n МОЖ резко возрастает, что ставит под сомнения возможности экспериментальных проверок. При n=3 и 4 эти возможности реально существуют и могли бы стать подтверждением наличия целых z при n>2 для n=3 в окрестностях x=6, y =5 при МОЖ=49; для т=4 x=8; y=7; при МОЖ=729. Это позволило бы судить о двойственности теоремы Ферма более конкретно, а с другой стороны, оценить правомочность вероятностного подхода к оценки теоремы Ферма.

В заключение, помимо сказанного, следует добавить: предложенный способ доказательства достаточно просто и убедительно освещает причину нецелых решений z при n>2 и целых решений при n=2. Он позволяет рассматривать доказательство, как единый процесс, распространенный на все показатели степеней, начиная с n=1 и расстояний от исходного x=2 при n=1 до бесконечности.

Теорема на плоскости xOy – достоверна, как при положительных целых x, y так и отрицательных x, y, за исключением квадрантов II и IV плоскости xOy при нечетных n, где она не имеет смысла (рассмотрение xn-yn=zn теоремой не предусмотрено)

Есть основание полагать что при n>2 уравнения Ферма могут иметь целые решения для z, что потребует трудоемких экспериментальных исследований для их подтверждения.

С уважением: Н.И.Пичугин, ветеран ВОВ и ВС Инвалид II группы

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ref.com.ua

Похожие работы:

  • Пьер де Ферма

    Реферат >> Математика
    ... придерживаться сугубо геометрических методов доказательств, восходящих к античной математике. Ферма первый понял, ... доказательства теоремы Ферма элементарными средствами. Стало ясно, что Ферма никогда не имел и не мог иметь доказательства теоремы в общем виде ...
  • Пьер де Ферма

    Реферат >> Математика
    ... придерживаться сугубо геометрических методов доказательств, восходящих к античной математике. Ферма первый понял, ... доказательства теоремы Ферма элементарными средствами. Стало ясно, что Ферма никогда не имел и не мог иметь доказательства теоремы в общем виде ...
  • Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

    Сочинение >> Математика
    ... элементарными средствами, то думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом ... Общий вид ... . Великая теорема Ферма для доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения ... математике: Построение с помощью ...
  • Элективные курсы по математике в профильной школе

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... методы их решения. Гуманитарный профиль: «Замечательные теоремы и факты геометрии»: теорема Пифагора, различные способы её доказательства ... содержание обучения математике (понятия, теоремы, способы деятельности и т.д.). С помощью задач устанавливаются ...
  • Полный курс лекций по математике

    Реферат >> Математика
    ... математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция. Индукция – метод исследования, в котором общий ... доказательств. Теорема – утверждение, вытекающее из аксиом. Доказательство ... двумя способами. первый способ. = ... элементарных функций с помощью ...
  • Методы и формы научного познания

    Реферат >> Философия
    ... науке эле­ментарных частиц, единиц наследственности, химических элементов, новых биологических видов и т. п. Способы выдвижения ... метод имеет в математике. Оперируя математическими абстракциями и строя свои рассуждения на весьма общих поло­жениях, математики ...
  • Математика и физика в средней школе

    Реферат >> Педагогика
    ... что основным методом математики является метод абстракции. По способу отражения действительности ... доказательств. Поэтому на уроках математики, например, производную сумму вводить при помощи ... на интервале , то (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума: ...
  • История математики. Александрийская школа

    Реферат >> Математика
    ... общем виде. Фалесу приписывают доказательство ... книге Начал. Доказательство с помощью метода исчерпывания, в ... о способах усвоения науки ... теоремой Ферма, построил арифметику для целых алгебраических чисел определенного вида ... Греции элементарной математики в ...
  • Решение задач на экстремум

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... появились общие методы изучения ... в виде теоремы сначала П. Ферма (для ... решать методами элементарной математики. ... Эта теорема является обобщением теоремы 3.) Доказательство. Пусть ... помощи интуитивных рассмотрений, либо, если это возможно, обоими способами ...
  • Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

    Реферат >> Математика
    ... ≡1(mod m)■ Теорема Ферма. Если m=p ... доказательство в школьном обучении. Индукция и дедукция в школьном курсе математики ... видов и форм, а также может осу­ществляться с помощью разнообразных методов. Методы контро­ля - это способы, с помощью ... элементарными ...