Статья : Две замечательные теоремы планиметрии 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Статья >> Математика


Две замечательные теоремы планиметрии




Две замечательные теоремы планиметрии.

Мендель В.В., доцент кафедры геометрии ХГПУ

В этой статье речь пойдет о двух замечательных теоремах: Чевы и Менелая.

Эти теоремы не входят в обязательную программу школьного курса, но большинство авторов учебников по геометрии (А.Д. Александров, Л.С. Атанасян и другие) считают своим долгом включить эти теоремы в дополнительные главы.

Замечательным свойством теоремы Чевы является то, что она может служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольников в 9 классе. В частности, с её помощью легко доказываются следующие свойства:

1. медианы треугольника пересекаются в одной точке;

2. высоты треугольника пересекаются в одной точке;

3. биссектрисы внутренних углов; биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке;

В

С1 А1

В1

А С

рисунок 1. а) (прямая пересекает две стороны и продолжение третьей)

4. отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной(или вневписанной) окружности пересекаются в одной точке.

Кроме того, авторы предлагают для самостоятельного решения достаточное количество задач, предполагающих использование теоремы Чевы.

К сожалению, задач, предполагающих применение теоремы Менелая, в учебниках явно недостаточно.

Одна из целей данной статьи: показать, как эффективно может работать теорема Менелая при решении сложных (и не очень) геометрических задач.

Формулировки теорем Чевы и Менелая.

В

А С В1

А1

С1

рисунок 1. б) (прямая пересекает продолжения всех трёх сторон)

Теоремы Менелая и Чевы в разных источниках приводятся в различных формулировках: в векторной форме(с использованием направленных отрезков), в форме прямой и обратной теоремы. Здесь приводятся формулировки и доказательства, не требующие знания векторов и поэтому доступные для восьмиклассников.

Теорема Менелая.

Пусть в треугольнике АВС точка А1Î ВС, точка B1Î АС, точка С1 Î АВ. Точки А1, B1, С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:

(*)

на рис.1 а) и б) показаны возможные расположения прямой и треугольника.

Доказательство: Докажем прямое утверждение: если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то имеет место утверждение (*).

Будем рассматривать случай, соответствующий рис.1 а).

Опустим из вершины треугольника перпендикуляры АН1, ВН2 и СН3 на прямую А1 B1.(см. рис.2)


В

Н1

Н2

С1

А1 Н3

А С В1

рисунок 2

Мы получили три пары подобных прямоугольных треугольников А Н1С1 и В Н2С2, В Н2А1 и С Н3 А1, С Н3B1 и А Н1 B1.

(У первых двух пар равны верти-

кальные углы при вершинах С1 и А1 соответственно, у третьей пары общий угол с вершиной B1). Запишем отношения, вытекающие из этих подобий:

; ; .

Легко заметить, что произведение левых частей трех этих равенств равно единице. Отсюда следует, что произведение правых частей также равно единице. Что и соответствует утверждению (*).

Обратное утверждение удобно доказать методом “ от противного “: предположим, что имеет место равенство (*), но точки А1, B1 и С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1B1 пересекает прямую АВ в какой-то точке С2, отличной от точки С1. В силу прямой теоремы для С2 имеет место формула (*), откуда для отрезков АС2 и С2В имеет место равенство: в силу предположения, то же равенство выполняется и для отрезков АС1 и С1В:

.

Таким образом, точки С1 и С2 делят отрезок АВ в одном и том же отношении. Отсюда вытекает интуитивно ясное (хотя и не столь очевидно доказуемое) противоречие: нет двух различных точек, делящих один и тот же отрезок в одном и том же отношении(грубо говоря, у одного отрезка не может быть двух различных середин).

Доказательство для случая, соответствующего рис.1 б) аналогично.

Теорема Чевы.

Пусть в треугольнике АВС точка А1Î ВС, точка В1Î АС, точка С1 Î АВ. Прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется соотношение:

(**)

На рис.3 а) и б) показаны различные возможные варианты расположения точек на прямых АВ, АС и ВС.

В

С1

А1

О

А

В1

С

рисунок 3 а)

Доказательство: (прямая теорема)

Запишем теорему Менелая для треугольника АВВ1 и прямой С1О(С): (1)

проделаем тоже для треугольника В1ВС и прямой А1О(А):

(2)

В

А В1 С

О

С1 А1

рисунок 3 б)

Перемножив левые части равенств (1) и (2) и сделав необходимые сокращения мы получим выражение (**).

Обратное утверждение доказывается методом “ от противного“ также, как и в теореме Менелая.

Некоторые рекомендации по применению теоремы Менелая

для решения задач.

Одним из замечательных свойств геометрических задач является многообразие методов их решения. Это часто заводит в тупик школьников и абитуриентов, которым предлагается решить конкурсную(или олимпиадную) задачу, а метод решения не подсказан.

Итак, в каких случаях уместно применить теорему Менелая? Имеет смысл рассмотреть возможность применения этой теоремы если в условиях задачи:

1) идет речь об отношениях отрезков(иногда завуалированном: доказать равенство отрезков, доказать что точка является серединой отрезка и т.п.);

2) если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения).

Конечно есть случаи когда применение теоремы Менелая в решении не очевидно и требует дополнительных построений.

Заметим также, что иногда полезно применять обратную теорему (в частности, если нужно доказать, что какие-то точки лежат на одной прямой).

Примеры решения задач.

Начнем с достаточно простых.

1. Площадь треугольника АВС равна S. Отрезок АМ поделил сторону ВС в отношении ВМ:МС=4:3, а отрезок ВN поделит сторону АС в отношении АN:NС=5:3. Найдите площадь четырехугольника NKМС (K-точка пересечения АМ и ВN).

Решение:

SMKNC=SBNC-SBKM. Поэтому нам нужно найти площади треугольников NВС и KВМ(выразить их через S). Площадь первого из них найти просто: так как N делит сторону АС как 3:8. А так как у треугольников АВС и NВС высоты из В совпадают, то SNBC=SABC=S. Найдем теперь SBKM. Так как треугольник NВС и ВKМ имеют общий угол В, их площади относятся как произведения сторон, прилежащих к вершине В: SBKM:SNBC=(BK×BM):(ВN×BC)=BK/BN×BM/BC.

Второе отношение легко найти из условия задачи: ВМ:ВС=4:7.

Для того, чтобы найти отношение ВK:ВN воспользуемся теоремой Менелая: запишем её для треугольника NВС и точек М, K и А:

Второе и третье отношения нам известны, подставим их:

и

Подставив найденные отношения в приведенную выше формулу, получим:

,

зная площадь треугольника NВС (S) находим площадь треугольника ВKМ:

Теперь легко найти SMKNC: SMKNC= SBNC-SBKM=S-S=S.

Для самостоятельного решения можно предложить аналогичную задачу в более сложной редакции.

2. Площадь треугольника АВС равна S. Отрезки, проведенные из вершины В поделили сторону АС в отношении 1:2:3 (считая от А ). Отрезки, проведенные из вершины С, поделили сторону АВ в отношении 2:3:4 ( считая от А ). Найдите площадь четырехугольника, который “вырезали” из треугольника АВС четыре данных отрезка.

Следующая задача была предложена И.Ф. Шарыгиным во втором туре олимпиады в 1995 году для решения учащимся 10-11 классов.

3. Вокруг четырехугольника АВСD можно описать окружность. Пусть прямые АВ и СD пересекаются в точке М, а прямые ВС и АD в точке K (точки В и D лежат на отрезках АМ и АK соответственно). Пусть Р- проекция точки М на прямую АМ. Докажите, что прямая LР делит диагональ ВD пополам.

Решение: Совершенно естественным будет рассмотреть треугольник АDВ и

М

В



L Q С


А Д К Р

рисунок 4

прямую LQ(P). Запишем теорему Менелая:

Напомним, что ÐА+ÐC=ÐВ+ ÐD =180°.

Выразим отрезки АL и LD через перпендикуляр KL: АL=KL×ctgÐD. Отсюда

Теперь выразим отрезки ВР и РА через МР: BP=MP×ctgÐA (из D AMP),

BP=MP×ctgÐMBP=MP×ctg(180°-ÐB)=MP×ctgÐD (из D MBP).

Отсюда

рисунок 5

Подставив найденные отношения в полученную выше формулу имеем:

откуда что и требовалось доказать.

(Авторское решение построено на рассмотрении групп подобных треугольников).

В заключение вниманию читателей представляется задача, предложенная в этом году на краевой олимпиаде.

4. На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок АF пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС. Докажите, что ВF=FЕ.

Решение: запишем теорему Менелая для треугольника САF и прямой DЕ(В):

т.к. СD=DА и АЕ=ВС, то получаем: FВ:ЕF=1 или FВ=ЕF. Что и требовалось доказать.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru

Похожие работы:

  • Элементы планиметрии

    Статья >> Математика
    ... -либо вершины данного многоугольника. 3. Некоторые замечательные теоремы планиметрии. 3.1. Теорема Менелая. Точки А1, В1 и С1 ... площадь четырехугольника. Площадь треугольника равна 5, две стороны 3 и 4. Найдите площади треугольников, на ...
  • Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

    Реферат >> Математика
    ... и равенство невозможно. ч.т.д Т:Пусть А В С и A’ B’ C’ – две тройки точек общего положения (т.е. не ... вправе применять к ней все теоремы планиметрии. Программой предусмотрено изуч. неск ... пед. сис., автором замечательных учительских книг. Своею деятельностью ...
  • Использование компьютерных технологий в изучении наглядной геометрии

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... личность. Все эти замечательные характеристики геометрии делают ... качестве обязательного материала в курс планиметрии 8-9 классов. Геометрические преобразования ... приводится доказательство теоремы, а затем рассматривают две основные теоремы о движении плоскости ...
  • Элективные курсы по математике в профильной школе

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... Гуманитарный профиль: «Замечательные теоремы и факты геометрии»: теорема Пифагора, различные ... в течение 8 часов в две недели, что соответствует требованиям программы ... вероятность», «Исследование в задачах по планиметрии». 11 класс. «Задачи с параметром» ...
  • Комплексные числа в планиметрии

    Курсовая работа >> Математика
    ... . В.И.Ленина Комплексные числа в планиметрии (Курсовая работа) Подготовила: студентка ... классических теорем элементарной геометрии. Теорема Ньютона. В описанном около ... . Рассмотрим одну замечательную пару окружностей. Две пересекающиеся окружности называются ...
  • Элективный курс по теме: "Сюжетные задачи"

    Дипломная работа >> Математика
    ... между сферической геометрией и планиметрией; сферическая тригонометрия; перемещение ... уравнения, неравенства, их системы; замечательные теоремы и факты геометрии; логическое строение ... задач наиболее часто используются две разновидности этого метода: ...
  • Решение задач на построение в курсе геометрии основной школы как средство развития логического мышления школьников

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... теореме (признаке касательной). Также в главе изучаются четыре замечательные ... прямых. в) 9 класс: содержит две главы. В главе 7 “Многоугольники ... Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. – Т.1: Планиметрия, преобразования плоскости / Я.П.Понарин. – М.: МЦНМО, ...
  • Основные этапы становления и структура современной математики

    Реферат >> Математика
    ... аксиоматики планиметрии Лобачевского. Все аксиомы планиметрии Лобачевского ... внутренней потребности математики. Замечательным примером такой теории ... доказательства выделяют две основные особенности. ... при доказательстве этой теоремы исключалось обращение к ...
  • Неевклидова геометрия

    Реферат >> Педагогика
    ... , то есть «равноотстоящей»); две прямые, содержащиеся в одной плоскости ... выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Например, если ... математикой. Феликс Клейн, замечательный математик, глубокий исследователь научного ...
  • Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... А именно выполняется теорема. Теорема. Всякое тело, ... - аналогия стереометрии с планиметрией, све­дение стереометрических задач ... Вследствие чего возможны две последовательности изложения темы ... «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены ...