Статья : Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Статья >> Математика


Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана




Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

С.В. Никитин, Омский государственный университет, кафедра математического анализа

1. Введение

В 1973 г. Костант в своей работе [1] показал, что если G компактная группа и ее алгебра Ли, то для элемента X из подалгебры Картана алгебры выполнено равенство

где - ортогональная проекция (относительно формы Киллинга); - группа Вейля алгебры , означает выпуклую оболочку множества A.

Теорема Костанта о выпуклости является обобщением более ранних результатов Шура и Хорна. В 1923 г. Шур доказал, что диагональ эрмитовой матрицы A=(aij) порядка n с собственными числами содержится в выпуклой оболочке множества , где Sn - симметрическая группа, действующая на перестановками координат. Затем Хорн показал, что каждая точка этой выпуклой оболочки может быть получена таким способом.

Таким образом, проекция орбиты - это выпуклый многогранник с вершинами в точках . В 1982 г. Guillemin и Stenberg [2], а также Atiyah [3] дали интерпретацию теоремы Костанта как теоремы о выпуклости отображения моментов. Следующий естественный шаг - нахождение проекции инвариантной меры с орбиты на подалгебру Картана. Существует формула Duistermaat-Heckman'а [4, 5] для преобразования Лапласа проекции инвариантной меры, по которой она может быть восстановлена, но представляет интерес и прямая геометрическая конструкция для нахождения проекции инвариантной меры, которая предложена в этой статье.

2. Предварительные сведения

Пусть - конечномерная вещественная простая компактная алгебра Ли, - ее подалгебра Картана. Группа Ли G алгебры действует на с помощью коприсоединенного представления : , где , . Определим орбиту элемента :

На каждой орбите существует единственная с точностью до пропорциональности инвариантная мера , т.е. такая, что для любой непрерывной функции и для любого

Пусть ортогональная проекция. Определим проекцию меры на - это мера , задаваемая соотношением:

где - финитная непрерывная функция на . Мера абсолютно непрерывна и , где - плотность проекции меры . Нахождению плотности и посвящена эта статья.

Введем некоторые обозначения: - система корней алгебры , - множество положительных корней, - их полусумма. Пусть - решетка весов алгебры , кроме того, пусть обозначает множество , где - камера Вейля. представляет собой множество всех старших весов . Каждому неприводимому представлению группы G соответствует единственный старший вес . Если - характер этого представления, то формула Кириллова утверждает, что

где

Интеграл в правой части формулы Кириллова можно понимать как обратное преобразование Фурье от функции :

Таким образом, формулу Кириллова можно переписать в следующем виде:

или

Пусть неприводимое представление . Обозначим множество весов как . Если , то обозначает кратность веса в представлении . Известно, что

Поэтому, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства, получаем:

где - дельта-функция в точке . Найдя функцию , мы получим выражение для функции :

или

Точное выражение для функции в дальнейшем не требуется, нам достаточно знать, что это положительная, финитная, кусочно-непрерывная функция.

3. Функция

В этом разделе мы определим функцию , через которую выражается функция , а также укажем некоторые ее свойства.

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: d - ранг алгебры, т.е. размерность подалгебры Картана , s - число положительных корней, r - разность s-d, которая строго больше нуля для всех алгебр Ли (кроме алгебры A1). Для того чтобы определить , мы рассмотрим систему положительных корней как проекцию набора из s попарно ортогональных векторов. Остановимся на этом более подробно.

Пусть , где - векторное пространство, порожденное , т.е. линейная оболочка множества , . Рассмотрим некоторое векторное пространство L, в которое вложено как подпространство векторов, имеющих ненулевыми первые d координат. Имеется естественная ортогональная проекция . Нетрудно проверить, что если выбрать подходящую (достаточно большую) размерность пространства L, то в L можно найти набор из s векторов таких, что (ei,ej)=0, если и, кроме того, . Пространство V - линейная оболочка векторов , которые образуют в нем ортогональный базис. Введем следующее обозначение:

V+ - это конус в пространстве V, порожденный векторами . Определим на функцию следующим образом:

где mes - мера Лебега на .

Замечание. В случае алгебры Ли A1 множество 0-мерно. В этом случае можно считать, что функция имеет следующий вид:

Функция определена всюду в , непрерывна, кусочно-полиномиальна и определяется алгеброй с точностью до пропорциональности, т.е. при выборе другого базиса функция лишь умножается на константу.

Можно рассматривать функцию как непрерывное продолжение дискретной функции Костанта. Функция Костанта , где - решетка корней алгебры; - это число способов представить в виде суммы положительных корней, Q(0)=1. Пусть - решетка в V. Тогда равно числу элементов в множестве , а - это мера или объем . Для примера функция Костанта и функция для алгебры Ли A2 связаны следующим образом: , . Формула Костанта для кратностей весов в неприводимом представлении со старшим весом такова:

4. Основной результат

Теорема. Пусть . Тогда проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления, проходящей через точку , имеет плотность :

Кроме того, функция является непрерывной, кусочно-полиномиальной, инвариантной относительно действия группы Вейля функцией, носитель которой содержится в множестве .

НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. Докажем равенство (*) для . Сечение орбиты , проходящее через точку , имеет размерность r, поэтому . Таким образом, мы получаем:

Для вычисления используется формула Костанта для кратностей весов. Если , то

Затем обе части равенства умножаются на непрерывную финитную функцию , интегрируются по и, наконец, n устремляется к бесконечности (при этом сумма в правой части рассматривается как интегральная сумма). После некоторых преобразований получается следующее равенство:

Так как это верно для любой непрерывной функции , то получаем (*) для всех После этого, используя однородность функции , (*), доказывается для всех , , где , , а затем, используя предельный переход, и для всех . Непрерывность и кусочно-полиномиальность следуют из соответствующих свойств функции .

Докажем инвариантность относительно действия группы Вейля, т.е. равенство . Так как для функции j(X) выполнено равенство j(wX)=j(X), то верно и . Далее, если , то

Затем равенство доказывается для всех . Из равенства (*) легко получить, что . Так как функция -инвариантна, то .

Список литературы

Kostant B. On convexity, the Weyl group and the Iwasawa decomposition // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1973. N.6. С.413-455.

Guillemin V., Stenberg S. Convexity properties of the moment mapping // Invent. Math. 1982. N.67. С.491-513.

Atiyah M. Convexity and commuting hamiltonians // Bull. London Math. Soc. 1982. N.14. С.1-15.

Duistermaat J. J., and Heckman G. J. On the variation in the cohomology in the symplectic form of the reduced phase space // Invent. Math. 1982. N.69. С.259-268.

Neeb K.-H. A Duistermaat-Heckman formula for admissible coadjoint orbits, preprint.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/

Похожие работы:

  • Физика

    Реферат >> Физика
    ... диаметру земной орбиты. Орбита Юпитера, как ... длине проекции прямолинейного отрезка ... Электродинамический принцип относительности. Инвариантность относительно преобразований Лоренца. ... x’B x’A - x’B = l0 . Из мерим длину этого стержня в “покоящейся” системе ...
  • Лекции по физике

    Реферат >> Физика
    ... диаметру земной орбиты. Орбита Юпитера, как ... длине проекции прямолинейного отрезка ... x’B x’A - x’B = l0 . Из мерим длину этого стержня в “покоящейся” системе ... Электродинамический принцип относительности. Инвариантность относительно преобразований Лоренца. ...
  • Концепции современного естествознания

    Учебное пособие >> Биология
    ... = 1/2. Поэтому существуют только две разрешенные проекции S на выбранное направление +1/2 и -1/2, ... а их орбиты юыли близки к круговым. По мере роста масс ... законы классической и квантовой механики инвариантны относительно обращения времени. Прошлое ...
  • Концепция современного естествознания

    Реферат >> Физика
    ... понятие инварианта и инвариантности. Инвариантность означает независимость, неизменность ... движения планет по орбитам. С позиций современной ... объемном трехмерном пространстве проекцию четырехмерного куба. ... энергией (мерой движения) и массой (мерой количества ...
  • Структура аффинного пространства над телом

    Реферат >> Математика
    ... ; классы эквивалентности являются орбитами элементов ; фактормножество по ... выполнено , где - каноническая проекция и - действие на . ... и центральными симметриями. Если инвариантная подгруппа группы , образованная ... имело по меньшей мере одну неподвижную точку ...
  • Живая геометрия

    Дипломная работа >> Математика
    ... и «Роль принципов инвариантности в натуральной философии», выделим ... изменений. Каждое разветвление дерева, каждый ... тридцати спутников планет Солнечной системы, включая и орбиту ... на уровень научной дисциплины. "…Нужно научить пользоваться ...
  • Основные представления о специальной и общей теории относительности

    Реферат >> Естествознание
    ... перигелия орбиты Меркурия. Замкнутые эллиптические орбиты ... существующие по крайней мере в ядрах галактик. ... фаза электромагнитной волны должна быть инвариантна! k · r - t = k  · r  - ... наблюдателя ( в этом случае проекция скорости на направление луча ...
  • Общее языкознание - учебник

    Реферат >> Языковедение
    ... явилось наличие обобщенных инвариантных образов предметов, ... для них орбиту, выражать иное ... s? ––––––––––> r? — r? — r?   Уровень проекции S R На уровне проекции речевые стимулы кодируются в нервные ... обстоятельство в известной мере нейтрализовало его жаргоную ...
  • Билеты по Курсу физики для гуманитариев СПБГУАП

    Реферат >> Физика
    ... количественными характеристиками меры и движения ... задается вектором r(x,y,z) или его проекциями на оси OX, OY ... конц-я дальнодействия). Инвариантность означает независимость, неизменность ... v и r- маса, скорость и радиус орбиты электрона, h - постоянная Планка, а ...
  • Модели Атомного Ядра

    Реферат >> Физика
    ... ядерных сил является их изотопическая инвариантность, т. е. независимость от зарядового ... вообще есть) по меньшей мере в 103 раз слабее ... орбиты частиц. В связи с появлением физически выделенного направления — оси симметрии эллипсоида, сохраняется проекция ...