Реферат : Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора




Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я считаю нужным сказать о слабой сходимости.

Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.) , задано некоторое распределение с функцией распределения и  —  произвольная с. в., имеющая распределение .

Определение.

Говорят, что последовательность с. в. при сходится слабо  или по распределению  к с. в. и пишут:   ,  или   ,  или  ,
если для любого такого, что функция распределения непрерывна в точке , имеет место сходимость    при  .

Иначе говоря, слабая сходимость  —  это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Свойство 1.

Если , и функция распределения непрерывна в точках и , то

   и т.д. (продолжить ряд).

Наоборот, если во всех точках и непрерывности функции распределения имеет место, например, сходимость , то .

Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.

Свойство 2.

1. Если , то .

2. Если , то .

Свойство 3.

1. Если и , то .

2. Если и , то .

Несколько содержательных примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм  независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам центральная предельная теорема.

Я буду называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов: 1901), но сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае, т.е. для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Центральная предельная теорема.

Пусть  —  независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: . Обозначим через сумму первых случайных величин: .

Тогда последовательность случайных величин слабо сходится к стандартному нормальному распределению.

Доказательство.

Пусть  —  последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через математическое ожидание и через  —  дисперсию . Требуется доказать, что

Введем стандартизированные случайные величины  —  независимые с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть есть их сумма . Требуется доказать, что

Характеристическая функция величины равна

Характеристическую функцию с.в. можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты , . Получим

Подставим это разложение, взятое в точке , в равенство и устремим к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости :

распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному распределению, что и утверждается в ЦПТ.

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения любого нормального закона непрерывна всюду на , утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:

Следствие.

Пусть  —  независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.

  • Для любых вещественных при имеет место сходимость

  • Для любых вещественных при имеет место сходимость

  • Для любых вещественных при имеет место сходимость

  • Если  —  произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то



Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа.

Предельная теорема Муавра  —  Лапласа.

Пусть  —  событие, которое может произойти в любом из независимых испытаний с одной и той же вероятностью . Пусть  —  число осуществлений события в испытаниях. Тогда .

Иначе говоря, для любых вещественных при имеет место сходимость

Доказательство.

По-прежнему есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в., имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха :

Осталось воспользоваться ЦПТ.

Ниже я рассмотрю примеры использования ЦПТ.

Пример 1.

З а д а ч а.  Монета подбрасывается 10000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую.

Р е ш е н и е.   Требуется найти , где ,  —  число выпадений герба, а  —  независимые с. в., имеющие одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на и поделим на корень из дисперсии одного слагаемого.

Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра  —  Лапласа, последовательность

слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Рассмотрим произвольную с. в. , имеющую распределение .

Пример 2.

Прекрасным примером ЦПТ в экономике может служить ее использование в страховом деле. В большинстве случаев конкретный вид распределения потерь (размеров отдельных требований о выплате страховых сумм) не играет существенной роли, поскольку сумма исков, предъявляемых страховщику (величина суммарного иска), обычно зависит только от средней величины и дисперсии убытка. Дело в том, что если количество страховых случаев значительно превышает единицу, то в силу центральной предельной теоремы  распределение суммарного иска является нормальным распределением. Обозначив его дисперсию как DZ, а математическое ожидание (среднее значение суммарного иска) как <Z> = <N><Q>

- где <N>, <Q> - среднее значение числа страховых случаев и величины страховой выплаты, получаем следующее выражение для рисковой надбавки Тr:

Тr = [(Т0)/(<N><Q>)](<N>DQ + <Q>2DN) 0.5

- где DQ и DN -дисперсии величины страховой выплаты и количества страховых случаев.

В простейшем случае, когда все выплаты одинаковы (а, следовательно, их дисперсия равна нулю), имеем:

Тr = (Т0)/N0.5

Эта формула также дает неплохое приближение, если коэффициент вариации уровня страховых выплат значительно меньше единицы.

При включении в страховой полис нескольких независимых рисков ожидаемая величина страховых выплат в соответствии с теоремой о сложении вероятностей представляет собой сумму ожидаемых страховых выплат по каждому риску в отдельности, а рисковая надбавка вычисляется как среднеквадратичная величина всех рисковых надбавок.



Похожие работы:

  • Теория вероятности и мат статистика

    Реферат >> Математика
    ... ряд Маклорена имеет вид Формула Тейлора ... точек. Обозначим через xl - ... MX=0 У центральной нормированной величины ... величины X. Ей соответствует область ... случай. Предельные случайные последовательности ... доказательства приведем ряд фактов. 1. Аналог теоремы ...
  • Теория вероятности и математическая статистика

    Дипломная работа >> Математика
    ... ряд Маклорена имеет вид Формула Тейлора ... точек. Обозначим через xl - ... MX=0 У центральной нормированной величины ... величины X. Ей соответствует область ... случай. Предельные случайные последовательности ... доказательства приведем ряд фактов. 1. Аналог теоремы ...
  • Лекции по экономической теории

    Реферат >> Экономическая теория
    ... объектом широкого анализа после доказательства Р. Коузом его теоремы (1960). Удельный вес трансакционных ... обозначить предельный продукт в де­нежном выражении через MRP (Marginal Revenue Product), а пре­дельные издержки — через MRC ...
  • Математические модели в естествознании

    Шпаргалка >> Математика
    ... статистики S стремится к предельному распределению с m-1 ... формулу Бейеса (теорема гипотез), ... равновесия. Доказательство этого ... Тейлора ... рядом ... нейроне различают центральную часть ... через - матрицу, в строках которой находятся синаптические векторы . Ее ...
  • Математические модели естествознания

    Реферат >> Математика
    ... статистики S стремится к предельному распределению с m-1 ... рядом ... нейроне различают центральную часть ... через - матрицу, в строках которой находятся синаптические векторы . Ее ... формулу Бейеса (теорема гипотез), ... равновесия. Доказательство этого ... Тейлора ...
  • Культурологія

    Шпаргалка >> Культура и искусство
    ... в ряде течений ... ее собственному критическому суждению, ориентированному на доказательства ... релігії, Тейлор вважав, що ... и ее центральным звеном ... ) гармонии, предельной комфортности, в ... через всю науку, через всю философию, через ... Дюркгейма, теоремы К.Геделя (а ...
  • Курс Концепции современного естествознания

    Курсовая работа >> Наука и техника
    ... 1998: 40), теорема К. Геделя (1931 ... - порядок через флуктуацию, ... предельна, ... микромира (центральным понятием ... Экспериментальные доказательства самоорганизации химических ... Грин, Стаут, Тейлор 1990, т. ... выявили ряд признаков, ... противоположная ее упорядоченности. ...
  • Курс микроэкономики

    Реферат >> Экономическая теория
    ... теоремы Куна ... проходящую через точку (3,4), и найдите предельную ... и ее потреблением. ... смысле модель Вальраса – центральная (основная) модель ... для доказательства основной ... технологию (инновации). Тейлор и Ланге впервые ... сделаем ряд предварительных замечаний ...
  • Ассиметричное шифрование на базе эллиптических кривых

    Дипломная работа >> Информатика, программирование
    ... Тейлором) в доказательстве Великой теоремы ... информацию (ее автора ... производительности центрального ... 0,84 и выражая все через r1 получаем следующие значения ... Электробезопасность обеспечивается рядом организационных и ... соответствующих предельно допустимым ...
  • Черные дыры

    Реферат >> Математика
    ... состоянии, предельная масса ... например центральные об ... нет волос". Теорема об отсутствии ... Но, находясь рядом с массивным ... ее температура будет настоль-ко низкой, что она полностью испарится лишь через ... Джон Тейлор из ... явилось первым доказательством, действительно ...