Реферат : Теория вероятностей и математическая статистика (работа 2) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Теория вероятностей и математическая статистика (работа 2)




Задача 1.

Генерация случайных чисел с заданным законом распределения с помощью случайных чисел, равномерно распределенных на интервале (0,1):

  1. используя центральную предельную теорему, с помощью сумм 6 независимых равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных чисел получить 25 случайных числа со стандартным нормальным законом распределения; найти выборочное среднее и выборочную дисперсию;

  1. получить 11 случайных чисел с законом распределения Стьюдента с 10 степенями свободы; найти выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Решение:

С помощью сумм 6 независимых равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных чисел получим 24 случайных числа со стандартным нормальным законом распределения по формуле

, где zi - равномерно распределенные на интервале (0,1) случайные числа.

Получены следующие числа:

-1.235

-0.904

-1.674

1.918

-0.335

1.082

-0.584

-0.565

0.149

0.528

1.076

1.011

0.671

-1.011

-1.502

0.627

-0.489

-0.486

1.022

-0.472

-0.844

0.92

-0.583

0.645

-0.495

Найдем выборочное среднее по формуле

Найдем выборочную дисперсию по формуле

Получим 11 случайных чисел с законом распределения Стьюдента с 10 степенями свободы:

С
лучайные числа, распределенные по закону «хи квадрат» с 10 степенями свободы:

, где xi – нормальные независимые случайные величины.

Случайные числа, распределенные по закону Стьюдента с 10 степенями свободы:

,
где x – нормальная случайная величина, а 2 – независимая от x величина, которая распределена по закону «хи квадрат» с 10 степенями свободы.

Получены следующие числа:

-0.58

-2.496

-0.06

-0.932

1.547

0.418

1.658

1.51

-0.171

-0.821

-1.728

Найдем выборочное среднее по формуле

Найдем выборочную дисперсию по формуле

Задача 2.

Проверка статистической гипотезы:

  1. получить 100 случайных чисел {x1,…,x100}, распределенных по показательному закону с параметром  = 1/6, найти такое наименьшее целое число N, что N  xk для всех k = 1,…,100;

  1. разделить отрезок [0, N] на 10 равных отрезков; получить группированную выборку {n1,…,n10}, где ni – число чисел, попавших в i-ый интервал; построить гистограмму относительных частот; по группированной выборке найти оценку В параметра ;

  1. проверить с помощью критерия «хи квадрат» гипотезу о соответствии группированной выборки показательному распределению с параметром В при уровне значимости 0.05.

Решение:

Получим 100 случайных чисел {x1,…,x100}, распределенных по показательному закону с параметром  = 1/6:

4,9713

3,2905

2,7849

4,1093

2,1764

9,9659

10,343

4,6924

13,966

14,161

0,4258

0,6683

8,8884

5,3392

2,7906

4,7696

3,0867

0,9414

2,8222

3,4177

10,148

3,5312

8,4915

3,0179

3,2209

4,2259

1,8006

2,8645

1,3051

3,3094

0,5557

1,9075

2,4227

6,9307

7,1085

13,322

0,9665

11,19

15,203

2,6685

3,6408

5,3646

4,5871

11,277

1,823

1,142

0,8126

7,2223

12,371

1,4527

2,9692

15,762

2,5493

13,533

8,8944

0,5005

2,4678

4,2491

4,1972

4,0488

2,2424

3,0025

30,785

13,778

0,8824

1,7475

5,8036

3,5565

0,2718

10,404

12,166

0,297

21,487

17,302

12,166

0,875

1,9573

25,326

2,0727

9,1516

10,669

6,4555

6,005

1,3209

3,8486

1,3525

11,593

5,4617

11,946

16,293

3,3376

3,6084

7,0011

1,279

7,5471

0,6641

1,776

6,1109

8,857

8,8327

Находим такое наименьшее целое число N, что N  xk для всех k = 1,…,100:

N = 31

Разделяем отрезок [0, 31] на 10 равных отрезков и получим группированную выборку {n1,…,n10}, где ni – число чисел, попавших в i-ый интервал:

xi

Xi+1

ni

ni/n

0

3,1

39

0,39

3,1

6,2

25

0,25

6,2

9,3

12

0,12

9,3

12,4

12

0,12

12,4

15,5

6

0,06

15,5

18,6

3

0,03

18,6

21,7

1

0,01

21,7

24,8

0

0

24,8

27,9

1

0,01

27,9

31

1

0,01

Гистограмма относительных частот:

Находим выборочное среднее по формуле

По группированной выборке находим оценку В параметра  по формуле

Проверяем с помощью критерия «хи квадрат» гипотезу о соответствии группированной выборки показательному распределению с параметром В при уровне значимости 0.05:

Находим вероятности попадания X в частичные интервалы (xi, xi+1) по формуле

Вычисляем теоретические частоты по формуле

xi

Xi+1

ni

Pi

fi

(ni - fi)2 / fi

0

3,1

39

0,3955

39,55

0,0076

3,1

6,2

25

0,2391

23,91

0,0499

6,2

9,3

12

0,1445

14,45

0,4162

9,3

12,4

12

0,0874

8,74

1,2188

12,4

15,5

6

0,0528

5,28

0,0977

15,5

18,6

3

0,0319

3,19

0,0116

18,6

21,7

1

0,0193

1,93

0,4482

21,7

24,8

0

0,0117

1,17

1,1668

24,8

27,9

1

0,0071

0,71

0,1231

27,9

31

1

0,0043

0,43

0,7717

Находим наблюдаемое значение критерия по формуле

По таблице критических точек распределения «хи квадрат», по заданному уровню значимости 0.05 и числу степеней свободы 8 находим критическую точку

Гипотезу о соответствии группированной выборки показательному распределению с параметром В не отвергаем.

Задача 3.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий:

  1. получить 2 случайных числа, распределенных по стандартному нормальному закону с помощью сумм 5 независимых равномерно распределенных на интервале (0, 1) случайных чисел: аналогично, получить 9 случайных чисел, распределенных по стандартному нормальному закону с помощью сумм 9 независимых равномерно распределенных на интервале (0, 1) случайных чисел;

  1. проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий полученных совокупностей при уровне значимости 0.1.

Решение:

Получим 2 случайных числа, распределенных по стандартному нормальному закону с помощью сумм 5 независимых равномерно распределенных на интервале (0, 1) случайных чисел по формуле

, где zi - равномерно распределенные на интервале (0, 1) случайные числа.

Получены следующие числа:

-0,848

-1,662

Получим 9 случайных числа, распределенных по стандартному нормальному закону с помощью сумм 9 независимых равномерно распределенных на интервале (0, 1) случайных чисел по формуле

, где zi - равномерно распределенные на интервале (0, 1) случайные числа.

Получены следующие числа:

0.885

1.25

-0.365

-1.139

0.891

-1.176

0.237

1.807

-0.96

Проверим гипотезу о равенстве генеральных дисперсий полученных совокупностей при уровне значимости 0.1:

Найдем выборочное среднее первой совокупности по формуле


Найдем выборочное среднее второй совокупности по формуле

Найдем исправленную дисперсию первой совокупности по формуле

Найдем исправленную дисперсию второй совокупности по формуле

Вычислим наблюдаемое значение критерия (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей) по формуле


По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости 0.1 и числам степеней свободы 1 и 9 найдем критическую точку

Гипотезу о равенстве генеральных дисперсий полученных совокупностей при уровне значимости 0.1 не отвергается.

Задача 4.

Уравнение линии регрессии:

  1. получить 50 случайных независимых значений {x1,…,x50} случайной величины X, равномерно распределенной на интервале (0, 9); получить 50 случайных независимых значений {y1,…,y50} случайной величины Y следующим образом: yi – случайное число, распределенное по показательному закону с параметром

  1. найти уравнение прямой линии регрессии Y на X по этим данным;

  1. проверить с помощью критерия «хи квадрат» гипотезу о нормальном распределении с нулевым математическим ожиданием отклонений имеющихся данных от прямой регрессии при уровне значимости 0.05; при этом рассмотреть группированную выборку, разделив отрезок [-max, max] на 5 равных частей, где max – наибольшее по абсолютной величине отклонение yi от линии регрессии.

Решение:

Получим 50 случайных независимых значений {x1,…,x50} случайной величины X, равномерно распределенной на интервале (0, 9):

8.83174196071923

6.99053263384849

8.93890746776015

0.385410904884338

5.75393992289901

4.51090870331973

0.00656201597303152

7.97929550148547

6.6076143393293

4.54793028719723

1.40597840119153

2.18026433419436

5.0019520400092

5.61958408355713

0.148369995877147

4.25108801946044

4.77254802547395

1.53819094598293

6.14594876859337

0.812219920568168

6.2368449093774

1.69562757108361

0.777272606268525

2.94200689997524

7.07131071947515

2.973582518287

8.08092284202576

2.89726528152823

8.8169469544664

3.27939590346068

0.570096284151077

8.46246168483049

2.00763375777751

2.70446146745235

8.67470343410969

1.92118153441697

1.92350933980197

1.31150823365897

1.80795181263238

3.65427995938808

8.97048242390156

2.54362053237855

0.0568648930639029

6.36279229167849

1.68422971665859

4.25911642424762

2.50030734948814

4.91532963048667

7.35895295999944

4.39228433836252

Получим 50 случайных независимых значений {y1,…,y50} случайной величины Y следующим образом: yi – случайное число, распределенное по показательному закону с параметром :

24.9323592452182

15.7441606069719

15.5028112434691

2.87790855039727

4.16156795216443

0.190460347139702

0.252207251176988

5.55884492608762

11.5417165759534

11.8189116910915

9.57191092954621

6.48268208064067

10.6729845988228

11.9201379351172

0.0563900402236241

6.07239051882238

10.8341890845962

2.77373256888689

1.4735808529829

0.683544240471081

1.536352690789

0.100495382422226

6.48630115206778

1.01940005703768

6.79791391486788

2.34472037157293

2.06912254815368

3.42524848981833

9.45107565557296

3.18848770214796

1.69800713475763

2.42887690987151

6.18175839336735

4.85432860734921

3.12088295311468

0.14473630724364

0.312712437424258

1.16492882917332

2.95306149294792

6.38190212865322

0.293019110223049

0.664514453422601

3.47608211592645

20.3599120342622

1.45318365215952

9.23209976014301

0.965294785502523

6.29747102157127

6.46689933291391

3.14474865192493

Найдем уравнение прямой линии регрессии Y на X по этим данным по формулам

Уравнение прямой линии регрессии Y на X:

Получены следующие значения отклонений имеющихся данных от прямой регрессии:

15.1803992483777

7.69319511536507

5.65184678474214

0.929060620003659

-2.74697588437076

-5.56971364166513

-1.34664251825399

-3.40558552590376

3.84450875080244

6.024535447371

6.68021544884769

2.87566537149934

4.45916201865442

5.13571824955786

-1.67346851299683

0.55225091890577

4.83230056456327

-0.240106987952807

-5.79711892247662

-1.65960963866345

-5.81832115202078

-3.05879142493402

4.17543322148284

-3.29134973659658

-1.32767811582337

-1.99520044159931

-6.98919595084991

-0.844166923187427

-0.287216028830924

-1.43395768887411

-0.421461708068378

-6.98192485416478

2.73422581111747

0.763034293093572

-6.48599757504491

-3.22292770452086

-3.0571021088348

-1.63949073262982

-0.309995654309725

1.41312147312541

-9.58711575629829

-3.27818755099385

1.8307602174006

12.8888821627727

-1.69557328905632

3.70454314781532

-2.93739249325208

0.163674237751803

-1.9244299300759

-2.50583465100064

Проверим с помощью критерия «хи квадрат» гипотезу о нормальном распределении с нулевым математическим ожиданием отклонений имеющихся данных от прямой регрессии при уровне значимости 0.05:

Найдем наибольшее по абсолютной величине отклонение yi от линии регрессии:

Рассмотрим группированную выборку, разделив отрезок [-max, max] на 5 равных частей:

zi

zi+1

ni

-15.1803992483777

-9.10823954902661

1

-9.10823954902661

-3.03607984967554

12

-3.03607984967554

3.03607984967554

25

3.03607984967554

9.10823954902662

10

9.10823954902662

15.1803992483777

2

Вычислим шаг:

Вычислим выборочное среднее по формуле

Вычислим выборочное среднее квадратическое отклонение по формуле

Вычислим теоретические вероятности попадания в интервалы (zi, zi+1) по формуле

Вычислим теоретические частоты по формуле

zi

zi+1

ni

Pi

fi

(ni - fi)2 / fi

-15.1803992

-9.10823954

1

0.02546995

0.02546995

0.02546995

-9.10823954

-3.03607984

12

0.23264461

0.23264461

0.23264461

-3.03607984

3.036079849

25

0.48256076

0.48256076

0.48256076

3.036079849

9.108239549

10

0.23264461

0.23264461

0.23264461

9.108239549

15.18039924

2

0.02546995

0.02546995

0.02546995

По таблице критических точек распределения «хи квадрат», по заданному уровню значимости 0.05 и числу степеней свободы 3 находим критическую точку:

Гипотезу о нормальном распределении с нулевым математическим ожиданием отклонений имеющихся данных от прямой регрессии при уровне значимости 0.05 не отвергаем.

Похожие работы: