Реферат : Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения (работа 2) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения (работа 2)




Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Самарский государственный университет»

механико-математический факультет

кафедра дифференциальных уравнений и теории управления

специальность прикладная математика

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Курсовая работа

Выполнил студент

2 курса 1222 группы

Труфанов Александр Николаевич

Научный руководитель

Долгова Ольга Андреевна

__________

работа защищена

«___»___________200_г.

Оценка _______________

зав. Кафедрой профессор д.ф.-м.н.

Соболев В.А.

Самара 2004

Теорема существования и единственности решения уравнения

Пусть дано уравнение

с начальным условием

Пусть в замкнутой области R функции и непрерывны). Тогда на некотором отрезке существует единственное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Последовательные приближения определяются формулами:

k = 1,2....

Задание №9

Перейти от уравнения

к системе нормального вида и при начальных условиях

, ,

построить два последовательных приближения к решению.

Произведем замену переменных

;

и перейдем к системе нормального вида:

Построим последовательные приближения

Задание №10

Построить три последовательных приближения к решению задачи

,

Построим последовательные приближения

Задание №11

а) Задачу

,

свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения

б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.

Сведем данное уравнение к интегральному :

Докажем равномерную сходимость последовательных приближений

С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность

непрерывных функций, определенных на некотором отрезке , который содержит внутри себя точку . Каждая функция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства

i = 0, 1, 2 …

Если график функции проходит в области Г, то функция определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция , нужно, чтобы и график функции проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок достаточно коротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка , можно достичь того, чтобы для последовательности выполнялись неравенства:

, i = 1, 2, …,

где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:

, i = 1, 2, …,

Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим , например, на . На этом промежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:

что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.

С другой стороны, на нашем отрезке выполняется , что также совершенно очевидно. А так как последовательность сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.

Список использованной литературы

  1. Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

  1. А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998

  1. О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999

  1. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998

Похожие работы:

  • Дифференциальные уравнения I и II порядка

    Реферат >> Математика
    ... Существование решения дифференциального уравнения первого порядка. Задано дифференциальное уравнение вида или, иначе, . Пусть y=y(x) – решение данного уравнения ... интегральное уравнение. Последовательность функций, дающих приближенное решение уравнения, ...
  • Асимптотика решений дифференциальных уравнений

    Курсовая работа >> Математика
    ... возмущения решений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 2.3 Существование решении возмущенной ... обозначать ω(μ), ω1(μ) и т. д. Применим к уравнению (2.3.9) метод последовательных приближений и докажем, что ▲(t,μ) существует на сегменте ...
  • Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

    Реферат >> Математика
    ... уравнений с дифференциальными включениями, указываются условия их применимости. §1. Обоснование необходимости обобщения понятия решения дифференциального уравнения. Определение1. Решением дифференциального уравнения ... последовательностей ... существования решений ...
  • Устойчивость систем дифференциальных уравнений

    Реферат >> Математика
    ... приближению. 33 Заключение. 36 Список литературы. 37 Введение. Решения большинства дифференциальных уравнений ... решения. Заметим, что из существования и единственности решения ... Тогда , что противоречит свойству последовательности . 3.2. Теоремы второго метода ...
  • Устойчивость систем дифференциальных уравнений

    Курсовая работа >> Математика
    ... решения. Заметим, что из существования и единственности решения ... что противоречит свойству последовательности . 3.2. ... решение системы неустойчиво, что и требовалось доказать. 3.3. Устойчивость по первому приближению. Рассмотрим дифференциальное уравнение ...
  • Приближенное решение интегрального уравнения

    Курсовая работа >> Математика
    ... приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка. Сравнить результаты и сделать выводы. Необходимо найти приближенное решение линейного дифференциального уравнения ... существования экстремума III. Решение ... последовательных приближений ...
  • Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями

    Реферат >> Математика
    ... (24) отправляясь от значения , последовательно получать приближенные значения решения в точках Числа называют шагами ... борьбы за существование». Москва. «Наука»,1976. 2. Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер, “Решение обыкновенных дифференциальных уравнений”, I. ...
  • Методы решения некорректно поставленных задач

    Реферат >> Математика
    ... дифференциальных уравнений ... (s), ..., Znk (s), ...}, последовательности Е и функция z*(s) из ... существования единственного ... приближенного решения урав­нения (3; 0,1) регуляризованное решение. Таким образом, задача нахождения приближенного решения уравнения ...
  • Решение обратной задачи вихретокового контроля

    Реферат >> Физика
    ... системой уравнений Максвелла в дифференциальной форме[6] ... последовательность ... существование решения ... решений уравнения (5.1) Р={x : rF( Ax , fd ) £ d}, где fd - приближенная правая часть (5.1), известная с погрешностью d. В качестве приближенного решения ...